2等分線と垂直からアレ(2010年度:ラ・サール高校)ベクトル禁止?

2019/07/28

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芸術的な高校入試第7回
出典:2010年度 鹿児島ラサール(高校)
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★☆☆
総試験時間:90分 配点:7点/100点?

 下の図のようにAB=3,AC=2の△ABCがあります。∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとします。直線AD上に,∠AEB=90°となるように,点Eをとります。次の問いに答えなさい。
Screenshot_20190728-183426.png
問1 AD:DEを求めなさい。
問2 △ADCと△BDEの面積比を,最も簡単な整数の比で表しなさい。

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comment (-) @ 平面(計算メイン)

(2016年度日比谷高校)例外最短距離

2019/07/27

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シンプルな図ながら,結構長い計算を要求されます。しかし,答え,計算過程は非常にキレイです。解いていて気持ちよいです。上手くいけば。

芸術的な高校入試第6回
出典:2016年度 都立日比谷高校

難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
下の図に示した立体A-BCDは,AB=6 cm,BC=8 cm,CD=6 cm,BD=10 cm,∠ABC=∠ABD=90°の三角錐である。立体EFG-BHIは,点E,点F,点G,点H,点Iが,それぞれ辺AB,AC,AD,BC,BD上にある三角柱である。AE=x cmとする。次の問いに答えなさい。
Screenshot_20190727-160138.png
問1 立体A-BCDの表面積を求めなさい。
問2 立体A-EFGの体積をVcm3,立体FG-HCDIの体積をW cm3とする。V:W=1:2のとき,xの値を求めなさい。
問3 以下の図は,x=3のとき,線分GI上にある点をP,辺CD上にある点をQとしたものである。EP+PQが最も短くなるとき,EP+PQの長さを求めなさい。
Screenshot_20190727-160459.png


↓解答解説などは続きから



comment (-) @ 立体図形

【改】半円における難問証明と等脚台形(2015年立川高校など)

2019/07/26

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シンプルな図ながら,色々な能力が適度に問われます。

証明問題は,様々な解法があります。採点大変そう!

芸術的な高校入試第5回
出典:2015年度 東京都立 立川高校など 大問3
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★☆☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点

2015 立川 証明 円周角 難問 高校入試



<PDF,解答例はこちら↓↓>



comment (-) @ 平面(証明メイン)

シンプルな図だが補助線(2010年新宿高校)【改】

2019/07/24

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※メールフォームで,ご意見をいただいたので,解法を追加しました。

与えられた図は非常にシンプルですが......?
条件の与え方がわざとらしいことに着目出来れば勝ちです。

芸術的な高校入試第4回
出典:2010年度 東京都立 新宿高校 大問3
難易度:★★★★★★+ 美しさ:★★★★★★+
総試験時間:50分 配点:23点/100点

 下の図のように,AB<DC,∠ABC=∠BCD=90°の台形があります。∠BADの二等分線が,線分BCと交わるとき,交点をPとします。次の問いに答えなさい。
2010 新宿高校 過去問 数学 大問3 証明 難問
問1 AB+DC=ADとします。
(1)点Pは辺BCの中点であることを証明しなさい。
(2)AB=4 cm,DC=9 cmのとき,線分APの長さを求めなさい。
問2 点Pから辺ADに平行な直線を引き,辺DCとの交点をQとします。
(1)点Qを,定規とコンパスを用いて作図しなさい。ただし,作図に用いた線は消さないでおくこと。
(2)AB=4 cm,DC=9 cm,BP:PC=2:3のとき,線分CQの長さを求めなさい。

<PDF,解答解説はこちら↓↓>



comment (-) @ 平面(証明メイン)

【改】図が簡素な長い証明(2016年立川高校など)

2019/07/23

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※2021/01/11 解答例追加

図が簡素な証明ですが......?


今後,このブログでこの図を大量に見ることになると思います。


芸術的な高校入試第3回
出典:2016年度 東京都立 立川高校など(グループ作成校) 大問3
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★☆☆
総試験時間:50分 配点:18点/100点
 下の図のように,鋭角三角形ABCがあります。頂点B,Cからそれぞれ辺AC,ABに垂線を下ろし,交点をそれぞれD,Eとします。次の問いに答えなさい。
2016 立川 数学 過去問

問1 △ABC∽△ADEを証明しなさい。
問2 AB=13 cm,AC=14 cm,BC=15 cmとします。線分DEの長さを求めなさい。


【解答,コメント等は続きからをクリック↓】








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高校入試は道具を使える【2015年度北海道】

2019/07/23

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PDFリンクは,一番下の「続きから」をクリックしてください。
高校入試という箱舟の中でしか作られない問題です。

芸術的な高校入試第2回
【出典:2015年度 北海道 高校入試 過去問】
難易度:測定不能 美しさ:★★★★★★

大小2つのさいころを同時に投げ,下の図にルールIまたはルールIIにしたがって点Pをとります。点Oは原点とします。次の問いに答えなさい。
image1.png
(ルールI)
 点Pのx座標は,大きいさいころの出た目の数とし,点Pのy座標は,小さいさいころの出た目の数とします。
 例えば,大きいさいころの出た目の数が1,小さいさいころの出た目の数が2のとき,点Pは(1,2)となります。
(ルールII)
 点Pのx座標は,大きいさいころの出た目の数が偶数ならばその数とし,奇数ならばその数の符号を負とした数とします。また,点Pのy座標は,小さいさいころの出た目の数が偶数ならばその数とし,奇数ならばその数の符号を負とした数とします。
 例えば,大きいさいころの出た目の数が1,小さいさいころの出た目の数が2のとき,点Pは(-1,2)となります。

(1)ルールIにしたがうとき,点Pが関数y=6/x のグラフ上の点になる確率を求めなさい。

(2) ルールIIにしたがうとき,点Pと点(1/2,1/2)との距離が5以下になる確率を求めなさい。

【解答等は,続きからをクリックしてください。】


comment (-) @ 平面(計算メイン)

書かせすぎな動点D(2017年度北海道)

2019/07/21

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図がシンプルなほど,恐ろしい問題です。数学においては,問題文が短いほど恐ろしいですね。

芸術的な難問高校入試 第1回
「書かせすぎな動点D」
出典:2017年度 北海道高校入試 過去問 裁量問題 問3



下の図のように,線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Cがあります。線分ABの中点を点Oとします。次の問いに答えなさい。
kakased.jpg

(1)
AC=BCとします。△ABCを,線分ABを軸として1回転させてできる立体をP,半円を,線分ABを軸として1回転させてできる立体をQとします。立体Pの体積は,立体Qの体積の何倍ですか,求めなさい。

(2)
線分ACが線分ABより1 cm短く,線分BCが線分ABより2 cm短いとき,線分ABの長さは何 cmになりますか。線分ABの長さをx cmとして方程式をつくり,求めなさい。

(3)
線分ABを4 cmとします。点Cは,弧AB上を点Aから点Bまで移動するものとします。∠ABCの二等分線と∠BACの二等分線との交点をDとするとき,点Dが描いてできる線の長さを求めなさい。
ただし,点Cが点Aの位置にあるとき,点Dは点Aの位置にあり,点Cが点Bの位置にあるとき,点Dは点Bの位置にあるものとします。また,円周率はπを用いなさい。

【コメント1】
与えられた図があまりにも簡素すぎる。他県の人が見た場合「なんて簡単な問題なんだ。」と思うであろう。

北海道は,いかに簡単な図で難しい問題を作るかに命かけている集団である。


思い切り他県と違う傾向はそこである。問題文を読むと「?」となるのである。こんな簡単な図で何をやらせようとしているのか。それでも(1)は普通,(2)はサービス問題である。(ちょっと条件の与え方がぶっきらぼうだが。)問題は(3)である。真面目に考えた瞬間アウトである。

【解答例】
kaka3.jpg
kaka1.jpg


【コメント2】
(1)(2)はどうでもいいとして,(3)が曲者である。「まあ円だろうな。」

「高校入試の軌跡は直線か円だけ。」

と頭を高校入試にすれば難なく解けた奴もいた。(難しいくせに正答率高いのはそのため。)

【(3)を高校数学で真面目に考える】

点Dの動きのアニメーション見たくない?ということで,GRAPESでアニメーションを作ってみました。

GIF
2017_Hokkaido_Enshu.gif


984.png

点Oを原点(0,0)とします。A(-2,0)B(2,0)。
直径ABの半円は,半径2 cmだから,
x^2+y^2=4 (y≥0) ∠BOC=a°とすると,
C(2cos⁡a,2sin⁡a)と表せる。
常に∠ADB=135°だから,点Dはある円周上を動く。中心を点Eとすると,円周角の定理より,∠AEB=90°
よって,点Eは,△AEBが直角二等辺三角形となる位置にあるので,E(0,-2)となる。半径はEB=2√2 cm
だから,Dの軌跡は,x^2+(y+2)^2=8 (y≥0)

点Eから,直線OBに平行な直線EFを引く。∠DEF=b°とする。
∠DAB=a/2°÷2=a/4°より,∠DBA=45°-a/4°
∠DBE=∠BDE=∠DBA+45°=90°-a/4°
∠DEB=180°-2×(90°-a/4°)=a/2°
∠BEF=45°だから,
b=a/2+45 となる。
したがって,D(2√2 cos⁡(a/2+45),2√2 sin⁡(a/2+45))

後はパラメタaを好きに動かすとアニメーションが出来る。



だから何だって話だなこれ。

(大して意味ないじゃないかこれ。)

【コメント4】
 入試問題作るとき,cosとかsinとか駆使して作ってそうな雰囲気の問題。

<PDFはこちらです↓↓>





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