2020年度 学力テストB 社会 ただの感想

2020/10/22

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またまた北海道ローカルの受験の話をします。

10月15日(木)に学力テストABCのBが行われました。

※北海道の全ての中学校で行われる学力テスト。この学力テストABC(笑)を用いて,中学校では進路指導が行われる。
が,テストの質がお粗末である。最近は道コンを中学校の先生に持っていけばある程度考えてはくれる。あ,内申点とか入試に影響は全くない,あくまでも進路指導に使われるだけ(推薦入試は知らん!)

ちなみに,「北海道教育文化協会」という謎の組織が作っている。たしか1個220円と採点を中学校の先生に任せるくせに結構な値段する。

問題の質としては入試にまるっきり似せるつもりがないのはしょうがないとしても

社会…作問者の難易度の上げ方下手すぎ
国語…作問者性格悪い

で,まともに試験しているのは理科ぐらい。最近はクレームが来たのか,全体的におとなしめの,無難なテストに仕上がっていますが,それでも「う~ん?」が多い問題。

ということで,今回は社会の感想でも書いておきます。(というか元々はこのブログ,北海道高校受験用に作ったしね,北海道のアクセス東京都の1/10だけど)

2013年度~2017年度あたりの社会はクソ問題のオンパレードでしたが,最近はマシです。



※このブログ,日頃は中学数学の良問や難問を紹介しています。
良問一覧はこちらです。

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2020年度 学力テストB 数学 感想

2020/10/17

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久々に北海道ローカルの受験の話をします。

10月15日(木)に学力テストABCのBが行われました。

※北海道の全ての中学校で行われる学力テスト。この学力テストABC(笑)を用いて,中学校では進路指導が行われる。
が,テストの質がお粗末である。最近は道コンを中学校の先生に持っていけばある程度考えてはくれる。

数学の感想だけでも書こうと思います。

まず1言。


超簡単でしたね!


満点とっても,SS70いかないとおもいます,60点でSS67とか,そんなもんでしょう。

だから,
上位層(札幌南高校とか受ける人):満点近くとれて当たり前
中位層:いつもよりは点が良い!
という感じです。

逆に下位層はそんなに変わらないと思われます。

要は全体的に問題の難易度が真ん中ぐらいに設定されていたような気がします。

(だからぶっちゃけ受験の何の参考にもならない)


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正答率の答え合わせ(2020年度北海道)

2020/07/05

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3月22日に,当ブログでは,今年度の北海道高校入試の,数学裁量問題の解説と,正答率予想を行いました。

こちらが記事

6月16日に,北海道から正式な正答率が発表されていました!気づくの遅すぎ!

正答率予想との答え合わせを行っていこうと思います!


問1~グラフを読み取る問題~
graph_2020_1.png

(1)予想正答率85% 実際の正答率90.4%

これはほぼ正解ということで良いでしょう。すごく簡単な問題でしたね!


(2)予想正答率30% 実際の正答率12.6%

これは......少し難易度見誤ってますね。反省します。
方程式の立て方も若干複雑ですしね。



問2~資料の整理~
hist_2020_2.png

(1)予想正答率75% 実際の正答率74.0%

ほぼ当たってしまいました! しかし,本音,もう少し多くの中学生が解いてほしい......!


(2)予想正答率10% 実際の正答率22.0%

逆にこちらは結構頑張りましたね中学生。推理問題は得意なのね。



問3~平面図形,回転体~
Screenshot_20200322-141132.jpg

(1)予想正答率90% 実際の正答率53.9%

これは大きく見誤りました!最後の問題というのもありましたが,意外に難しい問題だこれは!
大反省!!


(2)予想正答率10% 実際の正答率12.1%

これはほぼ当たってますね。上位層は余裕で解けたということです。



塾講師や予備校講師,学校の先生など......何でも先生なら,試験の難易度を見極めることは非常に重要です。生徒に変な勉強,練習させなくて済みますからね。



上記の正答率の他に,得点分布などもございましたが,今年度は試験作成上手くいってますね。

昨年の酷い得点分布を「適切難易度だ」とか言ってた割にはしっかり難易度調整してきましたね,あんまりアテになりません。

みなさんも,北海道の高校を受験するならぜひチェックしてみましょう~。

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2020年度 裁量問題 数学 解説

2020/03/22

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昨年よりはさすがに難しくなりましたが,当初のような裁量問題の勢いはもうありません。

相変わらず資料の整理はごり押しするようで。でも良い問題ですね。問2は問題集に採用されそう。
後は典型問題です。塾に高いお金払った人が可愛そう。(でもそれぐらいで良い気もします。)

TITLE:2020年度 裁量問題 数学 解説
出題分野:関数,資料の整理,平面図形,回転体
出典:令和2年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/r02gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1qmlaaKoIF7iaO4VVd94to0Ge7bF4w4KC
<検索用コード>

問1 太郎さんは,毎分60 mで歩いて中学校から図書館まで行き,図書館で調べものをした後,同じ道を同じ速さで歩いて図書館から中学校まで戻ってきました。下の図は,このときの中学校を出発してからの時間(x分)と中学校からの道のり
(y m)の関係を表したグラフです。ただし,図書館の中での移動はないものとしています。次の(1),(2)に答えなさい。

(1)中学校から図書館までの道のりは何mですか,求めなさい。


(2)太郎さんは,全体の所要時間を変えずに,同じ道のりで中学校から図書館まで行き,30分間滞在して中学校に戻ってきたいと考えました。そのために,往路の速さを復路の2倍とすることにしました。このときの往路の速さは毎分何mですか,求めなさい。






問2 図書委員である桜さんは,自分のクラス25人に対して,夏休みと冬休みに読んだ本の冊数をそれぞれ調査しました。図1は,夏休みの調査結果をヒストグラムにまとめたものです。次の(1),(2)に答えなさい。
図1

(1)夏休みに読んだ本の冊数の平均値を求めなさい。

(2)図2は,冬休みの調査結果をヒストグラムにまとめたものですが,7冊から9冊の部分は,未完成となっています。また,下の資料は,桜さんが,夏休みと冬休みの調査結果からわかったことをまとめたものです。資料をもとにして,解答用紙に未完成の部分をかき入れ完成させなさい。

(資料)
・読んだ本の冊数の範囲は,夏休みと冬休みで変わらなかった。
・読んだ本の冊数の平均値は,夏休みと冬休みで変わらなかった。
・読んだ本の冊数の中央値は,夏休みが7冊で,冬休みは8冊であった。
・読んだ本の冊数の度数(人)が0であったのは,夏休みでは0冊のみであったが,冬休みでは0冊と6冊であった。
問3 下の図のように,線分ABを直径とする半円があり,AB=8 cmとします。弧AB上に点Cを,∠ABC=30°となるようにとります。線分ABの中点を点Dとし,点Dを通り線分ABに垂直な直線と線分BCとの交点をEとします。次の(1),(2)に答えなさい。

(1)線分DEの長さを求めなさい。
(2)△BCDを,線分ABを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし,円周率はπを用いなさい。





























































【解答例】              21点/60点
-----------------------------------------------------------------------
問1(1)(3点)
(1)毎分60m は 1分で60 m 30倍して,
30分で1800m 
問1(2)(3点)
<解法1>
全体の所要時間は80分なので,50分で往復すればよいから,
復路 50×2/3 分
往路 50×1/3 分 (速さ2倍なので,時間は半分)
50×1/3分で,1800 m歩くから,
50分で5400 m
10分で1080 m
1分で108 m 毎分108 m
<解法2>
往路の速さを分速2v mとすると,復路の速さは分速v mと表される。道のりは1800 mだから,
往路の時間 1800/2v 復路の時間 1800/v と表せ,
1800/2v+1800/v=50 900+1800=50v
v=54 往路は,2v=108 m
-----------------------------------------------------------------------
(1)は小学生レベルです。(2)は方程式を立てることもできますが,たぶん想定解答は<1>です。というか,(2)も小学生でも解けます。簡単ではないですが。もうすこし捻っても良いのでは?
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問2(1)(3点)

人数×冊数をそれぞれ求め足すと,
2+8+3+8+5+6+21+40+27+30=150 と全員が借りた合計冊数が分かる。これを25で割って,平均6冊。
問2(2)(4点)
・読んだ本の冊数の範囲は,夏休みと冬休みで変わらなかった。→0冊はいない

・読んだ本の冊数の平均値は,夏休みと冬休みで変わらなかった。
→25人で読んだ本の合計冊数は150冊のまま
→よって,7冊から9冊の合計冊数は150-67=83冊

・読んだ本の冊数の中央値は,夏休みが7冊で,冬休みは8冊であった。
→9冊は7人(合計63冊),8冊は2人(合計16冊)すると残り7冊だから7冊は1人。

・読んだ本の冊数の度数(人)が0であったのは,夏休みでは0冊のみであったが,冬休みでは0冊と6冊であった。

-----------------------------------------------------------------------
(2)ヒストグラム描かせる必要あったのでしょうか。単純に「7冊,8冊,9冊は何人でしょうか?」という問題でもよかった気がします。7冊1人だから少し焦りますね......。ちなみに「未完成は7~9冊」とあるので,ぶっちゃけ一番上と一番下の情報不要です。安心感にはつながりますが。
-----------------------------------------------------------------------
問3(1)(3点)
△EDBで,∠EDB=90°,∠EBD=30°だから,
DE:DB=1:√3 DB=4 cmなので,
DE=4/√3=(4√3)/3 cm


問3(2)(5点)
点Cから線分ABに垂線を下ろし交点をFとする。
△BCFを線分ABを軸として1回転させてできる立体の体積は,
∠ABC=30°より,∠ADC=60°なので,△ADCは正三角形となるから,CF=2√3 cm,また,BF=6 cm
となるから,体積は,
1/3×(2√3)^2 π×6=24π cm^3
同様に,△DCFを1回転すると,体積は,
1/3×(2√3)^2 π×2=8π cm^3
したがって,求める体積は,24π-8π=16π cm^3

-----------------------------------------------------------------------
(2)は言葉で説明しづらかったら,解答欄に図を描いて「ここがF,ここ60°」と図を描いて説明した方が良いですね。問題は簡単ですが,最後の問題で時間があったかどうかと,しっかり説明できたかで点差つきそう。
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※正答率は,発表され次第更新しようと思います。

※おまけで予想正答率
問1(1)85%
問1(2)30%
問2(1)75%
問2(2)10%
問3(1)90%
問3(2)10%

昨年よりは受験として機能してそう。



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2020年度 北海道高校入試感想

2020/03/05

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3/4水曜日,コロナウイルスが蔓延している中,北海道の高校入試は無事行われましたね。問題はこちらです。

数学は解説を作ろうと思うのですが,それはまた後で。とりあえず数学の感想だけでも述べようと思います。



①,全体構成
ページ数が従来の7ページから11ページに増えましたね。毎年夏頃に発表される高校入試の報告書で昨年「計算スペースの確保を」と述べられていたので,それが実行された感じです。まあ,問題自体に大きな傾向の変化はりませんが,相変わらず裁量問題で資料の整理はごり押しされるのですね。




②,標準問題
特に困る問題はありません。せいぜい問4のねじれの位置を間違えたり,問6で∠Cが直角と気づかないぐらいでしょう。




③,標準大問2,裁量大問1
問2のトランプの並べ替えが若干焦るかも。「ス1」「ス2」「ダ1」「ダ2」としておとなしく樹形図を描けるかどうか......。
作図は北海道ではあまり見たことがない,正三角形の60度から30度を生成する問題。まあ,よく問題集で見ますよね。
問4は新テストを意識しているのかな?でも,普通の良い問題。資料をよく読んで,計算すればよいだけ。




④,標準大問3,裁量大問2
当ブログでは「やたらと記述させる問題」と名付けておりましたが,昨年に続いて記述は出ませんでした。記述が出なかったら「方程式」「数の証明」が出るのですが,うるう年の規則性は予想外。道コンでたまに出るやつです。
でもこの問題は,変に数式立てず,うるう年だけに注目して
2020年 水
↓曜日が5つずれる
2024年 月
↓曜日が5つずれる
2028年 土
↓曜日が5つずれる
2032年 木
↓曜日が5つずれる
2036年 火
↓曜日が5つずれる
2040年 日
↓曜日が5つずれる
2044年 金
↓曜日が5つずれる
2048年 水
と気づき,28年毎に1周するから,次は2076年と,普段から図に描く習慣がついている中学生ならちゃんと解けたかも。
面白い問題ですね。ただ高校入試なのかは疑問。中学入試っぽい。後,2点×2でよくない?




⑤,標準大問4,裁量大問3(関数)
嫌でも10点出る関数です。2017年度までは
問1,2 なめた問題
問3 難しい問題
という構成だったのですが,2018年度からは,
問1,2 普通の問題
問3 少し難しい問題
と難易度を調節してきています。下位層と上位層は差がつきません。中位層は差がつきます。
とはいえ,点A(t,t^2/2)B(-t,t^2/2)としっかり座標を書き込めば,余裕ですね。
問1より問2の方が簡単かもしれません。C(4,16)と置き,傾き-3ですから,y=-3x+bと置いて代入すれば瞬殺。
問3は中学生には難しい? 変化の割合は覚えていると思われるのですが,文字式で変化の割合を表されるかがポイント。
さらに答えも変な数値なので,不安になるかも......。以外に正答率低い!?
・台形と文字式
とりあえずこの問題おすすめしておきます。
後「傾き-2」だけは,この問題(昨年の予想問題ですが)で的中。ただし,意味なし(笑)




⑥,標準大問5,裁量大問4(証明)
問1は外角で一発。楽勝。
問2が明暗を分けたかもしれません。標準問題組はたぶん全滅,裁量問題組は,思いつかなかったら先に簡単な裁量問題をできたかがポイント。でも北海道の「図だけはシンプルで簡単そうだけど,実は難しい証明」は守られていますね。4点が同一円周上にあるは,学校や円周角の単元で一度はやったはず。だけど,多くの塾では対策していなかったでしょうね。
ちなみに当プリントサイトでは
・2016年度立川高校
・2014年度大阪府B
と2問用意してありました。しかも大阪府Bは私が更新さぼったおかげでこのブログの最新問題。
札幌南北高校や旭川東,釧路湖陵の受験生は出来て当然,他は仮定でいかに稼ぐかがポイント。
証明問題のプリントもっと増やしておこうと思います。とりあえず北海道は
図が簡単そうだけど実は難しい証明
覚えておきましょう。





⑥,裁量問題
昨年よりは難しいですが,例年に比べたらものすごく簡単です。一問ぐらいえげつない問題入れたっていいのに。
問1
(1)毎分60mで30分=1800m 小学生レベル......。
(2)これたぶん「往路」「復路」の意味を理解するのが一番難しい(笑)
「行くとき」「帰るとき」とか,日本語を優しくしてもよかったかもしれません。
日本語の意味さえ分かってしまえば,全体の所要時間は80分なので,50分で往復すればよいから,
復路 50×2/3 分
往路 50×1/3 分 (速さ2倍なので,時間は半分)
50×1/3分で,1800m歩くから,
50分で5400m
10分で1080m
1分で108m
と,計算できます。(公式使わない!楽な方法で計算する!)

問2
(1)道コンあるある「ただ計算が面倒くさい問題」です。ただ入試はそこまで面倒くさくないですね。計算ミスに気を付けたいところ。楽勝。
(2)は良い問題?推理問題ですね。ヒストグラムを書かせるという若干新傾向の問題。
・範囲は変わらない→0冊はいない
・平均値は変わらない→25人で読んだ本の合計冊数は150冊のまま
→よって,7冊から9冊の合計冊数は150-67=83冊
・冬休みの中央値は8冊→本を読んだ人ベスト12位と13位は8冊。
→9冊は7人(合計63冊),8冊は2人(合計16冊)すると残り7冊だから7冊は1人。
ヒストグラム描かせる必要あったのでしょうか。単純に「7冊,8冊,9冊は何人でしょうか?」という問題でもよかった気がします。
7冊1人だから少し焦りますね......。

問3
(1)∠EBD=30度,DB=4 cmを書き込めば,正直標準問題レベルの易しすぎる問題。もう少しひねってほしい。
(2)上位高校受ける子にとっては「時間が残っていれば」余裕。記述は端的に書く練習を塾などで練習しましょう。記述できない中学生の方が多いですがね。

問3の似たような問題をブログに載せたつもりでしたが,生徒に配っておしまいにしていました......。こういうこともあるよね。
北海道回転させるの好きですよね。
回転させた年は,2010年度,2013年度,2015年度,2017年度,そして今年です。

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うるう年,証明,ヒストグラムでいかに時間を使わないかがポイントの入試でした。難しい問題はありません。ただ当たり前ですが,平均点は昨年度より下がります。得点分布図は相変わらずちょっと変な形してそうですが。
来年裁量問題ラストイヤーですが......1問ぐらいえげつない問題だしてほしいかも(笑)2010,2013,2016年度並みの。

数学より今年は,国語(古文)の難しさが気になります。
そして相変わらず理科は頭〇かれてますね。褒めてます。理科だけ「レベル下げたくない!」という意地を感じます。もう少し簡単にしてもいいんじゃないのー?と思います。標準問題高校だったら,理科だけ明らかに平均点低いでしょ......。


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2019年度第5回道コン感想 (数学)

2020/01/18

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2020年1月11日に,第5回道コン(北海道学力コンクール,高校受験用模試,なんで道コンなんだ?)が開催されました。

数学に関して,感想ついでに復習に役立つ問題を紹介したプリントを貼っておきます,お役立てください。


.PDFのURL:https://drive.google.com/open?id=1owQdzcyl-HVAoUTCvMey59-1ymy_fCRm

<PDF表示されなかったとき用>
続きからをクリックお願いします。

comment (-) @ 北海道 高校入試 解説

2019年度 裁量問題 数学 解説

2019/12/03

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2019年度は何があったのでしょうかね。入試の意味を知っているのでしょうか。
たぶん,問2の予想正答率を見誤った気がします。

【訂正】
解答例の問2(1)
誤 720÷2=30
正 720÷24=30

TITLE:2019年度 裁量問題 数学 解説
出題分野:関数,平面図形,資料の整理
出典:平成31年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1iSVuUkDL35eeW5pq4GHcPNK8BYZSQ22u
<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説⑪
【出典:2019年度 北海道 高校入試 過去問】
-----------------------------------------------------------------------
問1 下の図のように,関数y=12/5 x ……① のグラフ上に点Aがあります。点Aのx座標は5とします。点Aからx軸に垂線をひき,x軸との交点をBとします。点Oは原点とします。
   次の(1),(2)に答えなさい。
           ①

(1)線分OAの長さを求めなさい。
(2)線分AB上に点Cをとり,点Cを通り線分OAに垂直な直線と線分OAとの交点をDとします。AD=3となるとき,2点O,Cを通る直線の式を求めなさい。

問2 下の表は,A中学校のバスケットボール部員2,3年生24人の握力について調査し,まとめたものです。
   次の(1)~(3)に答えなさい。
階級(kg) 階級値(kg) 度数(人) (階級値)×(度数)
以上 未満
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
15
25
35
45
55
3
 ア 
 イ 
2
1





計 24 720
(1)表から,24人の握力の平均値を求めなさい。
(2)表の ア , イ に当てはまる数をそれぞれ書きなさい。
(3)後日,1年生6人の握力を調査し,表に加えたところ,6人の握力は同じ階級に入り,表から求めた30人の握力の平均値は29 kgでした。1年生6人の握力が入った階級を,次のように求めるとき,
      に解答の続きを書き入れて,解答を完成させなさい。
<解答>
30人の握力の平均値が29 kgであることから,30人の(階級値)×(度数)の合計は,

【解答例】            配点21点/60点
-----------------------------------------------------------------------
問1(1)(3点)正答率87.6%
A(5, 12)となるから,三平方の定理より,
OA=√(25+144)=√169=13
問1(2)(5点)正答率24.7%

△OAB∽△CADとなるから,
OA:CA=AB:AD 13:CA=12:3
CA=39/12 となるから,Cのy座標は12-39/12=35/4
C(5,35/4)となるから,直線OC:y=7/4 x
【コメント】
 北海道の裁量問題は,誤答連鎖防止のため,(1),(2)は独立していることが多いのですが,2018年度,2019年度と,関数の問題は(1)の結果を利用することが多い気がします。(1)ミスするとすべてアウト。
 この問題は,簡単すぎて逆に不安になるパターンですね。
-----------------------------------------------------------------------
問2(1)(3点)正答率84.7%
720÷2=30 30 kg
問2(2)(4点)正答率67.2%
階級(kg) 階級値(kg) 度数(人) (階級値)×(度数)
以上 未満
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
15
25
35
45
55
3
 ア 
 イ 
2
1
45
25×ア
35×イ
90
55
計 24 720
表より,
3+ア+イ+2+1=24 すなわち ア+イ=18…①
45+25×ア+35×イ+90+55=720 すなわち
25ア+35イ=530…②
①,②を連立した方程式を解いて,ア10イ8
問2(3)(6点)正答率37.6%
30×29=870である。…【2点】
24人の(階級値)×(度数)の合計との差は,
870-720=150である。…【2点】
6人は同じ階級に入るから,150÷6=25
6人は階級値25 kgの階級…【1点】
すなわち,20 kg以上30 kg未満の階級に入る。【1点】
【コメント】
 この表から平均値を求めたりする問題好きじゃないです。(現実でやるんですかね?私の見識が狭いだけの可能性あり)
 問2(2)なんて数学の問題でしか出てきませんからね。無理やり難しい問題にしている気がします。
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 2016年度~2018年度と難易度がぶり返していましたが,何があったのでしょうね。易しすぎます。これじゃあ差がつかない。内申点高い子が有利ですね。
 内申点稼ぎにくい文教地区(中央区の例の中学校たち)はかなり不利になりました。
 入試としては大失敗なのですが,報告書によると「問題ない」とのこと。得点分布からして異常なんですがね??
 たぶんですが,問2の予想正答率を誤りすぎた気がします。



comment (-) @ 北海道 高校入試 解説

2018年度 裁量問題 数学 解説

2019/12/01

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2018年度です。この年で学校裁量問題導入10周年ですね。

この年は理科が異常な難易度,社会以外なんやかんや難しいということもあり,5教科平均点が下がりました。裁量導入当初並の低さ。

数学の裁量問題も,2017年度ほどトリッキーな問題はないですが「普通に難しい問題」が多かったですね。

ただ,すべて一度は演習しておきたい良い問題です。2010年以来の「結構難しめの立体図形」が出題されています。

TITLE:2018年度 裁量問題 数学 解説
出題分野:規則性,関数,立体図形
出典:平成30年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1ptQ548CwZVqXociw6dKCUm_DuLgndgxD
<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説⑩
【出典:2018年度 北海道 高校入試 過去問】
-----------------------------------------------------------------------
問1 ある10階建てのビルに3台のエレベーターA,B,Cがあり,それぞれを上昇,下降,停止させながら点検を行います。
   次の(1),(2)に答えなさい。
(1)Aの点検は次のように行います。
 1階からn階まで上昇させた後,1階まで下降させる。ただし,上昇時も下降時も2階からn階の各階に7秒ずつ停止させる。(3≦n≦10)
 Aが階を1つ上昇または下降するのにかかる時間を8秒としたとき,Aが上昇し始めてから,1階に戻るまでの時間をnの式で表しなさい。
(2)B,Cの点検は次のように行います。
<B> 1階から10階まで上昇させる。ただし,2階から9階までの各階に7秒ずつ停止させる。
<C> 10階から1階まで下降させた後,10階まで上昇させる。ただし,1階にだけ11秒停止させ,上昇時も下降時も2階から9階には停止させない。
 B,Cが階を1つ上昇または下降するのにかかる時間は,Bの方がCより2秒長く設定されています。B,Cの点検を同時に始めたところ,10階に同時につきました,B,Cが階を1つ上昇または下降するのにかかる時間は,それぞれ何秒ですか。
 B,Cが階を1つ上昇または下降するのにかかる時間を,それぞれx秒,y秒として,方程式を作り,求めなさい。

問2 下の図のように,関数 y=x…①のグラフがあります。①のグラフ上に点A(4, 4)をとります。点Bの座標を(0, 5)とし,線分OA上に点Pをとり,直線BP上に△OABと△OAQの面積の比が5:2となるように点Qを取ります。ただし,点Qのy座標は,点Pのy座標より小さいものとします。点Oは原点とします。
次の(1),(2)に答えなさい。

(1)点Pが点Oの位置にあるとき,点Qの座標を求めなさい。
(2)点Pが線分OAを点Oから点Aまで動くとき,線分PQが動いて出来る図形の面積を求めなさい。

問3 図1のように,1辺の長さが4 cmの正方形ABCDを底面とし,高さが2√2 cmの正四角錐OABCDがあります。次の(1),(2)に答えなさい。
図1
Screenshot_20191201-183840.jpg

(1)OAの長さを求めなさい。
(2)図2は,図1の正四角錐OABCDを,△OBCが平面P上にくるようにしたものです。点Aから平面Pに垂線をひき,平面Pとの交点をHとします。線分AHの長さを求めなさい。
図2
Screenshot_20191201-183849.jpg


【解答例】            配点21点/60点
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問1(1)(3点)正答率8.4%
おとなしく図を描いて考える。
1階 → 2階 → 3階 → 4階 → …
   ⑧ ⑦  ⑧ ⑦  ⑧ ⑦  ⑧
1階 ← 2階 ← 3階 ← 4階 ← …
   ⑧ ⑦  ⑧ ⑦  ⑧ ⑦  ⑧
 冷静になって自分の図を見れば気づく。
・まず,1階からn階までの上昇
8秒間の上昇 (n-1)回
7秒間の停止 (n-1)回
・次に,n階から1階までの下降
8秒間の下降 (n-1)回
7秒間の停止 
n階では,上昇で数えているので,(n-2)回
したがって,解答は
8(n-1)+7(n-1)+8(n-1)+7(n-2)
=30n-37秒
問1(2)(式2点・答え各1点)正答率11.5%
2秒長く設定されていることから,x=y+2…①はすぐ書ける。
<Bの点検にかかる時間>
・1階から10階まで上昇するのにかかる時間 9x
・停止時間 8×7=56
<Cの点検にかかる時間>
・下降,上昇にかかる時間 18y
・停止時間 11
したがって,9x+56=18y+11
{█(x=y+2⋯①@9x+56=18y+11⋯②)┤
①を②に代入して,9(y+2)+56=18y+11
9y=63 y=7 x=9
B…9秒 C…7秒
【コメント】
 さあ,今年の裁量はどんな感じかな??と見た受験生は,1問目から「げっ」となったであろう。問題文が長すぎるのである。
 しかし,覚えておいてほしい。「問題文が長い問題は,大抵見掛け倒し!」この問題も正答率は低いものの,よく読めば,冷静になればどうってことない問題である!
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問2(1)(3点)正答率22.7%
 直線BP上に点Qはあるから,y軸上にある。高さ共通なので,面積は底辺の比となる。BP:PQ=5:2となるから,Q(0, -2)

問2(2)(4点)正答率2.6%
P,Q動いても,△OABは変わらない。よって,△OAQの点Qは,辺OAに平行な直線上を動けばよい。つまり,y=x-2上を動く。
 Qはy=x-2上を動く。PQが動いて出来る四角形の面積は,Aからy=x-2にy軸に平行な線を書き,交点をC(4, 2)とする。動く前のQをD,動き終わった後のQをEと呼ぶと,Eは,直線AB:y=-1/4 x+5と,y=x-2との交点なので,E(28/5,18/5)。
求める面積=平行四辺形ODCA+△ACE
=2×4+1/2×2×(28/5-4)=8+8/5=48/5

【コメント】
 誘導にのっとって,等積変形に気づけば解ける問題だが,中々難しいと思われる。
 入試の模範解答は,相似を用いてもう少し簡単に求めている。
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問3(1)(3点)正答率76.1%
BD=4√2,その半分は,2√2
よって,直角二等辺三角形ができるから,
OB=4 cm
問3(2)(4点)正答率1.0%
三角錐AOBCの体積は,正四角錐OABCDの半分なの
で,1/3×16×2√2×1/2=(16√2)/3 cm^3
また,三角錐AOBCの体積は,
1/3×△OBC×AH でも求められる。
△OBCは1辺が4 cmの正三角形なので,面積は,4√3 cm^2である。
(4√3)/3×AH=(16√2)/3         AH=(4√6)/3 cm

【コメント】
 (1)は解けてほしい。(2)も実は,三角錐の体積を2通りで表すと言う,よく出る典型問題なのですが,最後の問題である,また今回は四角錐で表されていることから,正答率は低くなったと思われる。
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 この年は,理科が異常難易度でしたが,数学もなんやかんや結構な難易度でした。反動なのか?翌年は優しすぎる出題となり……。



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