関数で回転移動(2017年度国立高専)

2019/12/27

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初,高等専門学校の問題を紹介します。札幌では中学生の進路にはなりづらいのですが,函館高専や苫小牧高専がある地域では,進路の一つとなります。優秀な学生多いですよね。とにかくPCに強い強い,うらやましい。


入試過去問は,ここで紹介されています。どんな入試でも対策できそうな良い問題があったので,紹介します。

関数に回転移動を絡めた問題です。まあ回転移動の知識はほとんど使わず(?),計算ごり押しで解けます。
回転と聞くと,複素数平面などを使いたくなりますが,使わなくて大丈夫です。


第17回芸術的な難問高校入試
「関数で回転移動」
出典:2017年度 高専 過去問 範囲:関数,三平方の定理 
難易度:★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1VQTifEGIolyZE0uJTnuO0Stk8Hyx47na

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

<検索用コード>

芸術的な高校入試第17回
出典:2017年度 国立高等専門学校
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:15点/100点
 下の図のように,関数y=1/4 x^2のグラフ上に2点A,Bがある。A,Bのx座標をそれぞれ-6,4であるとき,次の各問いに答えなさい。

(1)直線ABの式を求めなさい。
(2)△AOBの面積を求めなさい。
(3)△AOBを原点Oを回転の中心として,時計の針の回転と同じ向きに,点Bが初めてx軸上にくるまで回転移動させる。この移動によって,点BがB’に,点AがA’にきたとき,A’の座標を求めなさい。
























































【解答例】
(1)(5点)
A(-6, 9),B(4, 4)である。
傾き 5/(-10)=-1/2,(4,4) を通るから,
y=-1/2 (x-4)+4 ,すなわちy=-1/2 x+6

(2)(4点)
ABとy軸との交点C(0, 6)とすると,
△OAB=△OCA+△OCB
=1/2×6×6+1/2×6×4=30

(3)(3点×2)
OB=OB’=4√2なので,△A’OB’において,A’からx軸に下ろした垂線の長さhは,
(4√2 h)/2=30 h=(15√2)/2 A^' のy座標は (15√2)/2
OA=OA'=√(36+81)=3√13 なので,A^' のx座標をt
とすると,
t^2+225/2=117 t^2=9/2 t>0より,t=(3√2)/2
A^' ((3√2)/2,(15√2)/2)



【コメント】
 (1),(2)は確実に解かなくてはならない問題です。(3)が実に面白い問題です。回転移動で,さらに∠BOB’=45°なので,この45°を利用したくなりますが,利用しないで解けます。解法を見ると「何だそれだけ」となりますが,思いつけるかどうか。




comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

接する球(2018年度愛知県B)

2019/12/27

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2018年度愛知県Bの問題です。

こういう問題といい,愛知県の問題は,入試の都合上,長い問題を作ることができません。北海道の裁量問題みたいな小問集合を練習するにはちょうど良い問題がたくさんあります。時間との闘いで大変そう......。

円と接線の図形的知識は常識です。慣れておきましょう。マナペディアなどでさらっと確認しておきましょう。

接する球
範囲:中3三平方の定理,中1空間図形 目標時間:6分
出典:2018年度 愛知県 高校入試 過去問
URL:https://www.zenkenmoshi.jp/nyushi/nyushi.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1tUqULVVtqxoB2VmtMKBUxyuB7s8P1Ddq

<検索用コード>

接する球
範囲:中3立体図形 難易度:★★★★☆
得点    /7
出典:2018年度愛知県B
下の図は,A,B,C,D,E,Fを頂点とする立体は底面の△ABC,△DEFが正三角形の正三角柱です。また,球Oは正三角柱ABCDEFに丁度入っています。球Oの半径を2 cmとするとき,次の問いに答えなさい。


(1)球Oの表面積を求めなさい。
(2)正三角柱ABCDEFの体積を求めなさい。


























































接する球 解答例
範囲:中3立体図形 難易度:★★★★☆
(1)(3点)
4πr^2=4π×2^2=16π cm^2
(2)(4点)
球の断面図のうち,中心Oを通る円は,正三角形に接する。

上の図で考える。ある点から円へ接線を引くと,長さは等しくなる。よって,上の図の場合,△PSO≡△PUOなので,OS=2 cm,∠OPS=30°,∠OSP=90°だから,OP=4 cm,よって,OR=4 cm。RS=6 cm。
PS=SQ=2√3 cmなので,底面積は,
1/2×4√3×6=12√3 cm^2
立体の高さは球の直径なので,4 cm。
答えは,48√3 〖cm〗^3
















【コメント】
 ちょうどよい問題です。(1)が解けるのは当たり前として,(2)は「円が内接する三角形」について,三平方の定理や円周角で色々な問題を解いておけば,解けるはず。(ただし,計算ミスは多発!?)

【何となく似ている問題】
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-66.html
→ひたすら難しい相似証明
 接線関連の問題
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-90.html
→2019年度中3第4回道コン
 だいぶえげつない問3
 上記2つともえげつない難易度なので注意。

 最低限,この愛知県の問題は解けるようにしておくと,よいことあります。


comment (-) @ 立体図形

円周角証明の究極系(オリジナル)

2019/12/24

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高校入試で出題される図形の証明は,「三角形の合同,相似を証明しなさい」という,比較的方針がたてやすい問題が多いですが,捻ると「二等辺三角形を証明しなさい」等,少し方針がたてづらくなります。

方針がたてづらいものの究極系の1つは「直角を証明しなさい」です。本当に何していいか分かりません。模範解答を見ると,ただ合同を証明しているだけなど,結構簡単なことが多いのですがね。
具体例:2010年度北海道高校入試

あと,複雑な図が描かれている証明は,基本大したことありません。一番タチ悪いのは,シンプルな図(見た目は簡単)のくせに,えげつない問題です。
具体例:
2010年度都立新宿高校
2018年度都立立川高校

この問題はそれを意識してみました。特に北海道では「は?」という証明が出されることが他県に比べて多いので,満点取りたいなら慣れておきましょう。

円周角証明の究極系
目標時間:6分 難易度:★★★★☆ 範囲:中3円周角

<問題>
円周角 証明 良問 難問



<PDF,解答例はこちら↓↓>




comment (-) @ 平面(証明メイン)

平成31年度 北海道高校入試 数学 予想問題3

2019/12/21

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昨年度は,北海道の高校受験用に,数学の予想問題を3つ作成しました。

1つ目はここで公開中です。

せっかくなので3つ目の予想問題も公開しておきます。

ちなみに可能な限りすべてオリジナル問題としたのですが,生徒に「変な問題多くない?」と突っ込まれたので,今年からは都道府県の過去問使うようにしています。

何かの役に立つかもしれません,どうぞお使いください。


いうまでもないですが,北海道の高校入試は,2021年度までは,45分×5で行われます!

平成31年度 北海道 公立高校 数学 予想問題3

問題用紙(Googleサーバー)

問題用紙(Seesaaサーバー)



解答用紙(Googleサーバー)

解答用紙(Seesaaサーバー)


<正答例は↓↓>




comment (-) @ 問題集

(2015年度日比谷高校)いたって普通の関数正方形の難問

2019/12/21

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関数の問題に,平面図形の知識を融合させた問題は多くありますが,正方形は計算難の問題になることが多いです。

今回の問題は,日比谷高校の過去問。いたって普通の計算が大変な難問です。何を計算すればよいのか,判断が必要になります。
hibiyaseihou.jpg

第15回芸術的な難問高校入試 「正方形関数難問」
難易度:★★★★★☆美しさ:★★★☆☆☆
【出典】2015年度 東京都立 日比谷高校 過去問
URL:http://www.hibiya-h.metro.tokyo.jp/SelectedEntrants/TestTheme.html
※3年分しかないので,購入するしかありません。

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=18t5h5FtQosubSxCcE6cnfnoJI69Sr9RV

<検索用コード>

芸術的な高校入試第16回
出典:2015年度 都立 日比谷高校
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★☆☆☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点

曲線fはy=ax^2のグラフである。2点A,Dはx軸上にあり,点Aのx座標は6,点Dのx座標はt(0<t<6)である。四角形ABCDと四角形CEFGはそれぞれ正方形で,辺FGはy軸上,点Cのy座標は正の数で,点Eのy座標は点Cのy座標より大きい。曲線fが点Cを通るとき,次の問いに答えなさい。

問1 正方形ABCDと正方形CEFGの面積が等しいとき,aの値を求めなさい。

問2 a=1のとき,直線BEの式を求めなさい。途中計算も書きなさい。

問3 曲線f上にある点をHとし,点Fと点Hを結んでできる線分FHの中点が点Eに一致したとき,     点Hの座標を求めなさい。

















































【解答例】
問1(7点)
点Aのx座標は6なので,各々の正方形の一辺の長さ  は,3である。よって,C(3, 3)なので,
3=9a a=1/3

問2(10点)
a=1のとき,C(t,〖 t〗^2 )
正方形ABCDは正方形だから,AD=6-t,CD=t^2と表せるので,
6-t=t^2 t^2+t-6=0 (t+3)(t-2)=0
t>0だから,t=2 C(2, 4)
よって,E(2, 6),B(6, 4)
この2点を通る直線は,
傾き (6-2)/(4-6)=-1/2,(2,6)を通るから切片7
y=-1/2 x+7

問3(8点)
E(t,〖at〗^2+t),F(0,〖at〗^2+t)と表せる。Hのy座標も,〖at〗^2+tである。
FHの中点がEなので,Hのx座標は2tと表せるから,
at^2+t=4at^2
3at^2-t=0 t(3at-1)=0
t>0より,t=1/3a
正方形ABCDにおいて,
6-1/3a=〖a(1/3a)〗^2=1/9a
4/9a=6 54a=6 a=2/27
t=1/3×27/2=9/2
よって,Hのx座標は2倍して9,y座標は,
81×2/27=6 H(9,6)




【コメント】
 いたって普通の難問ですが,正方形の扱いの良い練習となります。
 問2までは誰でも解けてほしいかも。



その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html



comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

台形と文字式関数

2019/12/21

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久しぶりにオリジナル問題を投下します。

関数において,文字がたくさん出てくると,内容が簡単でも一気に正答率が下がって面白いですよね。文字式に慣れていない中学生は多いです。

文字式を扱う練習として作った関数の問題を紹介します。

問1は例の公式の証明となっています。塾では暗記させられるやつです。計算できない子用に,意地でも3点は取らせるための公式。賛否両論ありますが,得点とらせないといけませんからね。

台形と例の公式
難易度:★★★☆☆
【出典】オリジナル 【範囲】中3関数

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1n5C3ftqBbrkWJlCDehuA6HCtmb_v4QmI

<検索用コード>

2次関数y=cx^2⋯①と1次関数y=dx+e⋯②のグ
ラフがあります。(c>0,d>0)①と②の交点を,点A,点Bとし,A,Bのx座標をa,b(a>b>0)とします。また,y軸上にAD//BC,∠BCD=90° となるよう,C,Dをとります。

問1 直線②の傾きdを,a,b,cを用いて表しなさい。
問2 台形ABCDの面積をa,b,cを用いて表しなさい。
問3 台形ABCDの面積が25/2,c=1,d=5のとき,a,b,eの値を求めなさい。






















































台形と例の公式 解答例
範囲:中3関数 難易度:★★★☆☆
問1(3点)
傾き,変化の割合の定義は,yの増加量/xの増加量 であるから,
d=〖〖ca〗^2-cb〗^2/(a-b)=c(a+b)(a-b)/(a-b)=c(a+b)

問2(3点)
CD=c(a^2-b^2),AD=a,BC=bなので,台形の面積は,
1/2×(a+b)×c(a^2-b^2 )=1/2 c(a+b)(a^2-b^2)

問3(4点)
問1~2,条件より,連立方程式
{█(a+b=5            @(a+b)(a^2-b^2 )=(a+b)^2 (a-b)=25)┤
ができる。
a+b=5を下の式に代入して,a-b=1 これを解くと,a=3,b=2 このとき,e=-6





















【コメント】
文字式になると,「うっ……」となりますが,聞かれていることはとっても単純。
文字式をそのまま扱うことに苦手意識を感じている中学生は多いので,1回演習しておきたい問題。





comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

60°と補助線(2015年度長野県)

2019/12/15

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正三角形と円周角,60°と補助線など,平面図形の応用要素がたくさん詰まった,一度は解いておきたい問題です。

応用ですが,誘導が丁寧になされており,無理なく解けます(たぶん)

ただ,長野県の証明の採点基準は気に食わないかも笑

この記事で紹介した問題のプリントです。(遅くなりましたが)復習に良いかも??

正三角形と円周角
難易度:★★★★☆
【出典】2015年度 長野県 公立高校入試 過去問
URL:https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/nagano/2015/math/question07.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1s_o1jyp_gwFcWJtnMu0rYHS8G36dZyEP

<検索用コード>

図1のように,線分AB上に点Cをとり,AC,CBを,それぞれ1辺とする正三角形△ACDと△CBEをABの同じ側につくる。また,AEとBDの交点をF,CEとBDとの交点をGとする。
 次の各問いに答えなさい。
図1

(1)∠DCEの大きさを求めなさい。
(2)△ACE≡△DCBを証明しなさい。
(3)∠BFE=60°であることを,次のように求めた。
(2)より,△ACE≡△DCBから,
∠AEC=∠DBC
だから,円周角の定理の逆より,4点B,E,あ,いは,同じ円周上にある。
よって,⏜BEに対する円周角は等しいから,
 ∠BFE=う
したがって,∠BFE=60°
① あ,いに当てはまる点を,それぞれ記号を用いて書きなさい。ただし,あ,いの順序は問わない。
② うに当てはまる最も適切な角を,記号を用いて書きなさい。

(4)AC=12 cm,CB=6 cmとする。
① 次のように,相似な2つの三角形を見つけることにより,その相似比から,CG:GEを求めることができる。
  えに当てはまる最も適切な三角形を記号を用いて書き,おに当てはまる最も簡単な整数の比を求めなさい。
△DCG∽えだから,CG:GE=おである。

② BGの長さを求めなさい。
③ △EFGの面積を求めなさい。








































正三角形と円周角 解答例
範囲:中3図形 難易度:★★★★☆
(1)(1点)
∠DCE=60°
(2)(4点)
△ACEと△DCBにおいて,
△ACDと△BCEは正三角形であるから,(※)
AC=DC,CE=CB…①
∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°
∠BCD=∠BCE+∠DCE=120°
であるから,∠ACE=∠BCD…②
①,②より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから,△ACE≡△DCB
(※)長野県では①を,「仮定より」と書いたら減点です。でも,正三角形の定義が「すべての辺が等しい」なので,仮定よりでも問題ないはずですけどね。角度の方②は定理なので1言書きましょう。
(3)①(完1点)
CとF
(3)②(1点)
∠BCG
(4)①(完2点)
△DCG∽△BEGだから,CG:EG=2:1
(※)DC//EBDC=12 cm,BE=6 cmを利用。
(4)②(3点)
△DCG∽△BEGであるから,
DC:BE=DG:BG=2:1
DからACに垂線を下ろし,ACとの交点をHとする
DH=6√3 cm
HはACの中点だから,BH=6+6=12 cm
△BDHで三平方の定理より,
BD^2=DH^2+BH^2=108+144=252
BD>0より,BD=6√7 cm 
よって,BG=BD÷3=2√7 cm

(4)③(3点)
同様にCG:EG=2:1なので,CG=4 cm。
GからBCに垂線を下ろし,交点をIとする。
∠GCI=60°なので,GC:GI=2:√3 
よって,GI=2√3 cm
故に,△BCG=1/2×6×2√3=6√3 〖 cm〗^2となる。
∠EFG=∠BCG,∠EGF=∠BGCより,△EFG∽△BCGなので,EG:BG=2:2√7=1:√7だから,面積比は,1:7なので,
△EFG=(6√3)/7 cm^2

【コメント】
 60°と補助線の典型的応用問題です。
応用問題ですが,非常に誘導が丁寧な問題です。数学が得意な受験生は,最後まで解くとよいでしょう。
 長野県の模範解答を見たら,正三角形の辺の長さ,円の半径まで「仮定より」とは書いてはいけないようです。長けりゃいいってものでもありませんが,証明は文句言われないようにクドく書いておきましょう。
(ちなみに北海道は仮定よりで問題ないと思われます)



その他の平面図形の問題




comment (-) @ 平面(計算メイン)

角度を丁寧に(2011年度都立立川高校)

2019/12/14

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図もシンプルですし,計算量もちょうどよい,いかに基本に忠実なのかを測っている良問です。
図に書き込まない人は解けません。
2011Tachikawa.png
第15回芸術的な難問高校入試「角度を丁寧に」
難易度:★★★★☆☆美しさ:★★★★★★
【出典】2011年度 東京都立 立川高校 過去問
URL:http://www.tachikawa-h.metro.tokyo.jp/zen/06005.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=14XpfUqr66JUdBXZFFmTAvmm8tCLQAkum

<検索用コード>

芸術的な高校入試第15回
出典:2011年度 東京都立 立川高校 大問3
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★★
総試験時間:50分 配点:22点/100点
 下の図は,一辺の長さが2√2 cmの正方形ABCDと,4点A,B,C,Dを通る円Oを表している。
 円Oの内部に点Pをとる。
 次の各問に答えよ。

問1 △PBCが正三角形であるとする。
(1)点Oと点Pを結んでできる線分OPの長さは何cmか。
(2)点Dと点Pを結んだ線分DPを,Pの方向に延ばした直線と円Oとの交点をQとする。線分PQの長さは何cmか。

問2 下の図のように,点Pが点Bと点Dを結んだ線分BD上にあり,BC=BPであるとする。線分CPをPの方向に延ばした直線と円Oとの交点をRとする。△RBP≡△RCDであることを証明せよ。











































【解答例】
問1(1)(6点)

点Pから辺BCに垂線を下ろし,交点をHとする。
PH=√2×√3=√6,OH=√2 より,
OP=√6-√2 cm
問1(2)(6点)

角度を書き込んでいくと,上記のようになる。
⏜BDに対する円周角だから,∠PQB=90°
PB=2√2 より,PQ=2 cm













問2(10点)

△RBPと△RCDにおいて,
仮定より,BP=BC=CD…①
⏜RDに対する円周角だから,∠RBP=∠RCD…②
BDは正方形の対角線なので,∠BDC=45°
⏜BCに対する円周角だから,
∠BDC=∠BRP=45°…③
同様に,∠CBD=45°で,⏜CDに対する円周角だから,
∠CBD=∠CRD=45°…④
③,④より,∠BRP=∠CRD=45°…⑤
②,⑤より三角形の内角の和は180°なので,
∠RPB=∠RDC…⑥
①,②,⑥より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから,△RBP≡△RCD

【コメント】
 図も複雑でなく,計算量,計算の記述量もちょうどよいです。何より「いかに丁寧に角度を書いているか」が試される素晴らしい問題です。45°や60°に気づく必要はありますが,何より大事なのは,図に情報を書き込むという基本的なことができているかどうかです。



その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html


comment (-) @ 平面(証明メイン)

積分における1/6公式

2019/12/10

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数学2の積分においては,1/6公式,偶関数など,テクニックが結構存在します。

好き嫌い分かれますが,ただ覚えるだけではだめです,どうしてそうなるのか?を覚えていないと,結局公式を使いこなせません。たぶん。

1/6公式は,部分積分で証明するのがよいですね。どうせ理系は後でやるので早めにやっておいた方がよいでしょう。

色々紹介したPDFを,生徒用に作ってみたので,貼っておきます。


TITLE:積分における1/6公式

範囲:数学2の積分

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1yO8QvY-b1V8dmWQPEZmjt4rZnsJ6BQwL

今回,実験的に紙のサイズを変えてみました。こうすることにより,パソコン,スマホ上では,PDFが見やすいですね!反面,印刷には不向きですが......まあいいでしょう。元に戻しました。

<検索用コード>


<例1>
y=2x^2-x-3とy=x+1で囲まれた部分の面積Sを
求めよ。

<クソ真面目に解く>
y=2x^2-x-3とy=x+1との交点は,
2x^2-x-3=x+1 これを解いて,x=-1,2
-1≤x≤2で,2x^2-x-3≤x+1だから,
S=∫_(-1)^2▒{(x+1)-(2x^2-x-3)}dx
=∫_(-1)^2▒(-2x^2+2x+4) dx=-2[x^3/3-x^2/2-2x]_(-1)^2
=-2{(8/3-2-4)-(-1/3-1/2+2)}
=-2(-9/2)=9
-----------------------------------------------------------------------
しかし,直線と放物線で囲まれた面積を求めることがあまりにも多すぎて,次のような大学入試史上最も有名な裏技が存在する。
<1/6公式を用いた解答>
S=∫_(-1)^2▒{(x+1)-(2x^2-x-3)}dx
=∫_(-1)^2▒(-2x^2+2x+4) dx=-2∫_(-1)^2▒(x^2-x-2)dx
=-2∫_(-1)^2▒〖(x+1)(x-2)〗 dx
 交点を求める際に,x=2,x=-1と解を出しているので,こう因数分解できるのは当然である。
 ここで,以下の公式を用いる。
∫_α^β▒〖(x-α)(x-β)〗 dx=-1/6 (β-α)^3
<上記の証明>
∫_α^β▒(x-α)(x-β) dx ※部分積分!
=[(x-α)^2/2 (x-β)]_α^β-∫_α^β▒〖(x-α)^2/2 dx〗
=0-1/2 [(x-α)^3/3]_α^β=-1/6 (β-α)^3
<解答の続き>
-2∫_(-1)^2▒(x+1)(x-2) dx
=-2∙(-1/6) (2+1)^3=54/6=9
と,大変簡単な計算で求めることができる。
 ちなみにセンターとか穴埋めなら使い放題。東北大に関しては,断り入れてから使った方がよい?
-----------------------------------------------------------------------
<慣れるために演習問題>
【1】次を求めなさい。
(1) y=x^2-2x-3とx軸で囲まれた部分の面積






(2)y=x,y=4x-x^2で囲まれた部分の面積











【解答】(1) 32/3 (2) 9/2
【2】次のような問題でも,1/6公式が計算していると出てくるので,用いてみなさい。
(1) y=x^2-2 と,y=-x^2-2x+2で囲まれた部分の面積















(2) y=x^3-xと,y=x^3-3x^2+2xで囲まれた部分の面積



















【解答】(1) 9 (2) 1/2
・y=x^2-2と,y=-x^2-2x+2のグラフ

交点を求める際,x^2-2=-x^2-2x+2
2x^2+2x-4=0 2(x+2)(x-1)=0
と,二次方程式の形になる。
-----------------------------------------------------------------------
・y=x^3-xと,y=x^3-3x^2+2xのグラフ

こちらも,x^3-x=x^3-3x^2+2x
3x^2-3x=0 3x(x-1)=0
と,二次方程式の形になる。
-----------------------------------------------------------------------
 上記のように,「直線と曲線」または,「曲線と曲線」で囲まれた部分の面積において,交点βから交点αまで積分するときは,積分計算の中で,
∫_α^β▒〖(x-α)(x-β)〗 dx=-1/6 (β-α)^3
を用いることができる。常識らしい!
 ちなみに,もっと一般化して,瞬殺できる公式もあるにはあるが,あまり頼りすぎるのもアレなので,載せない。上記が使えていれば,よほどのことがない限り十分。あまりにも気になるなら,ググろう。
 


 放物線,接線とy軸に平行な直線に囲まれた部分の面積にも,裏技的公式が存在する。
<例1>
 C:y=x^2-4x+3 のx=5における接線lを引く。x=2と,C,lで囲まれる部分の面積を求めよ。

<真面目に解く>
y^'=2x-4より,x=5を代入して,y^'=6,x=5における接線の方程式は,y^'=6(x-5)+8=6x-22
求める面積は,
∫_2^5▒{(x^2-4x+3)-(6x-22)}dx
=∫_2^5▒〖(x^2-10x+25〗)dx
=∫_2^5▒(x-5)^2 dx=[(x-5)^3/3]_2^5=-(-27/3)=9
 接線(重解)を扱うことから,積分する関数は( )^2の形になることは当然である。
-----------------------------------------------------------------------
 この( )^2の形を利用して,次のように一般化できる。
 C:y=ax^2+bx+c から,x=β における接線lを引
く。a>0,β>αとし,C,l,x=α によって囲まれる部分の面積を求める。
 y^'=2ax+b なので,x=β における接線の方程式は,y=(2aβ+b)(x-β)+aβ^2+bβ+c すなわち
y=(2aβ+b)x-aβ^2+c
 求める面積は,
∫_α^β▒{ (ax^2+bx+c)-(2aβ+b)x-aβ^2+c}dx
=∫_α^β▒(ax^2-2aβx-aβ^2 ) dx
=a∫_α^β▒〖(x-β)^2 dx〗=a∙1/3 [(x-β)^3 ]_α^β=-a/3 (α-β)^3
=a/3 (β-α)^3 ※y=ax^2 の場合に限定して証明も可
 接線がるので重解を持つ。そのため上記のようにきれいな式となる。時間短縮などのために,知っておくと,たまによいことあるかもしれないし,悪いかもしれない。(受験サイトによると常識らしい)たいていの問題は,接線と,y軸に囲まれているので,α=0 とすればよい。(積分区間はその都度確かめて)
<非記述式で解く>
1/3 (5-2)^3=9
-----------------------------------------------------------------------
 ちなみに,aが負でも使える。
<例2>
 C:y=〖-2x〗^2+4x+6 のx=-2における接線lを引く。x=2と,C,lで囲まれる部分の面積を求めよ。

<普通に解く>
y^'=-4x+4より,x=-2を代入して,y^'=12
接線の方程式は,y^'=12(x+2)-10=12x+14
求める面積は,
∫_(-2)^2▒{(12x+14)-(-2x^2+4x+6)}dx
=∫_(-2)^2▒{2x^2+8x+8}dx=2∫_(-2)^2▒(x+2)^2 dx
=2[(x+2)^3/3]_(-2)^2=128/3
最後の式の形が,a/3 (β-α)^3 となっていますね。aが
負の場合は,aを絶対値としてください。
<演習問題> ※普通に解いてもよい
※4STEPにこれを使う問題がなかった!
(1) y=1/2 x^2-x+1/2 とその上の点(3,2)における接線とy
 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。











(2) y=1/2 x^2-2x+2とy=1/4 x^2-2とy軸で囲まれた面
 積を求めよ。






















【解答】(1) 9/2 (2) 16/3

 そこまで強力じゃない気がするので,やめた。(気になるならググりましょう!)
 しかし,調べているうちに,これは教えておこうかと。
①,放物線における,2つの接線の交点のx座標は,2つの接点の平均

<証明せよ>
放物線を平行移動して,y=ax^2の場合に限定しても一般性を失わない。



















【証明例】
A(p,ap^2 ) B(q,aq^2 )における接線の方程式は,
y=2apx-ap^2, y=2aqx-aq^2
交点のx座標は,
2a(p-q)x=a(p^2-q^2 ) a≠0,p≠qだから,
2x=p+q x=(p+q)/2 となる。
②,左右の面積等しい

要は,緑と紫の部分の面積が等しくなる。
<証明例>
放物線を平行移動して,y=ax^2の場合に限定しても一般性を失わない。
A(p,ap^2 ) B(q,aq^2 )における接線の方程式は,
y=2apx-ap^2, y=2aqx-aq^2
2直線の交点のx座標は (p+q)/2 となるから,
求める面積は,
左側=∫_((p+q)/2)^p▒(ax^2-2apx-ap^2 )dx
=a∫_((p+q)/2)^p▒(x^2-2px-p^2 )dx=a∫_((p+q)/2)^p▒〖(x-p)^2 dx〗
=a/3 [(x-p)^3 ]_((p+q)/2)^p=-a/3 ((q-p)^3/2)=a/24 (p-q)^3
右側=∫_q^((p+q)/2)▒(ax^2-2aqx-aq^2 )dx
=a∫_q^((p+q)/2)▒〖(x-q)^2 dx〗=a/24 (p-q)^3
これを利用すると,放物線と2接線で囲まれた部分の面積は,(結局載せるという)
a/12 (p-q)^3
になるというこれまた裏技が登場する。
<演習問題>
y=1/2 x^2 とその上の点(-1,1/2),(2,2)における2本の
接線で囲まれた面積を求めよ。













【解答】 9/8
 結局1/3公式を2回使っているだけなので,無理して覚えなくてよいと思う。

関数y=f(x)が
奇関数(原点対称)なら,f(x)=-f(-x)
例:y=x,y=〖2x〗^3,y=sin⁡x
偶関数(y軸対称)なら,f(x)=f(-x)
例:y=a,y=x^2,y=cos⁡x
 積分区間がy軸対称なら積極的に使っていきたい。
<例1>
 y=x^2と,x=±α,x軸で囲まれた部分の面積

関数がy軸対称なのだから,右側の面積と左側の面積が等しくなる。したがって,面積は,
∫_(-α)^α▒x^2 dx=2∫_0^α▒x^2 dx=2[x^3/3]_0^α=2/3 α^3
-----------------------------------------------------------------------
<例2>
定積分∫_(-α)^α▒〖3x^3 〗 dx

関数が原点対称なのだから,右側の面積と左側の面積で相殺される!
∫_(-α)^α▒〖3x^3 〗 dx=0
※面積を求めるなら,絶対値付けるなり,2倍するなり。絶対値の扱いに関しては4STEPで頑張って!
-----------------------------------------------------------------------
 これじゃあごく限られた関数しか役に立たないではないか!と思ったでしょうが,積分の足し算引き算は認められている。
<例3>
 次の定積分を計算せよ。
∫_(-1)^1▒(4x^3-3x^2-14x+7)dx
=∫_(-1)^1▒〖4x^3 〗 dx-∫_(-1)^1▒〖3x^2 dx〗-∫_(-1)^1▒14x dx+∫_(-1)^1▒7dx
=0-2∫_0^1▒〖3x^2 〗 dx-0+2∫_0^1▒7dx
=-2[x^3 ]_0^1+2[7x]_0^1=12
 このように,奇関数を排除出来て,とっても気持ちがよい!


<演習問題> 次の定積分をせよ。
(1) ∫_(-2)^2▒(5x^4-4x^3 )dx















(2) ∫_(-π)^π▒(x^2-x+sin⁡x )dx




















【解答】(1) 64 (2) 〖2π〗^3/3




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極値と変曲点の幾何学 (2016年度北海道大)

2019/12/07

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数学2の微分分野でよく出題されるのが,3次関数です。

3次関数では,次のような幾何学的性質があり,知っているとごくたまに役に立ちます。

①,変曲点の座標は,極大点と極小点の中点
②,変曲点まわりの主要部が,横4個,縦2個の合同な平行四辺形で埋め込まれる。


<例>
bibun_1.jpg

極大値と極小値の中点が,変曲点となります。また,極値から接線を引き,他の交点を考えると,合同な長方形で埋め込まれます。(簡単な計算で,座標を求めることができる!)

bibun_2.jpg

極値だけでなく,任意の接点でも扱えます。

任意の接点から接線を引く。引いた接線の傾きと同じになる他の接点を見つけ,接線を引く。変曲点からも同じ傾きの直線を引く。すると,この場合も,合同な平行四辺形で埋め込まれ,接点の中点が,変曲点となる。

接点と変曲点について証明させた問題が,次の問題です。紹介しておきます。


TITLE:極値と変曲点の幾何学

出典:2016年度 北海道大学 過去問 範囲:微分

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1Wyqs1zCun8nfrnyMtncnTKxlOf6OX-rB

<検索用コード>

a,b,cを実数とし,f(x)=x^3+ax^2+bx+cとおく。曲線C:y=f(x)上に異なる2点P(s,f(s)),Q(t,f(t))がある。
(1)PにおけるCの接線の方程式を求めよ。
(2)PにおけるCの接線とQにおけるCの接線が平行になるための条件をs,t,aの関係式として求めよ。
(3)(2)の条件のもとで,線分PQの中点がC上にあることを示せ。

【解答例】
(1)
f^' (x)=3x^2+2ax+bより,f^' (s)=3s^2+2as+b
したがって,接線の方程式は,y=f^' (s)(x-s)+f(s) だから,y=(3s^2+2as+b)(x-s)+s^3+as^2+bs+c
整理して,y=(3s^2+2as+b)x-2s^3-as^2+c

(2)
f^' (t)=3t^2+2at+b 接線が平行になるとき,傾きが同じになるから,f^' (s)=f^' (t)
3s^2+2as+b=3t^2+2at+b 整理して,
3(s^2-t^2 )+2a(s-t)=0
(s-t)(3s+3t+2a)=0
s≠t だから,3s+3t+2a=0

(3)
(2)において, s+t=-2/3 a (a=-3/2 (s+t))
f((s+t)/2)=(f(s)+f(t))/2 を示す。
f((s+t)/2)=((s+t)/2)^3+a((s+t)/2)^2+b((s+t)/2)+c
=(-1/3 a)^3+(-1/3 a)^2+b(-1/3 a)+c
=2/27 a^3-1/3 ab+c⋯①
(f(s)+f(t))/2=1/2 (s^3+as^2+bs+c+t^3+at^2+bt+c)
=1/2 (s^3+t^3+a(s^2+t^2 )+b(s+t)+2c)
ここで,
s^3+t^3+a(s^2+t^2 )=s^3+t^3-3/2 (s+t)(s^2+t^2 )
=(s+t)^3-3st(s+t)-3/2 (s+t)(s^2+t^2 )
=(s+t)((s+t)^2-3st-3/2 (s^2+t^2 ))
=(s+t)(-1/2 s^2-st-1/2 t^2 )=-1/2 (s+t)^3=4/27 a^3
b(s+t)+2c=-2/3 ab+2cなので,

(f(s)+f(t))/2
=1/2 (4/27 a^3-2/3 ab+2c)=2/27 a^3-1/3 ab+c⋯②
①,②よりf((s+t)/2)=(f(s)+f(t))/2 だから,
(2)の条件のもとで,線分PQの中点はC上にある。





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