関数で回転移動(2017年度国立高専)

2019/12/27

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初,高等専門学校の問題を紹介します。札幌では中学生の進路にはなりづらいのですが,函館高専や苫小牧高専がある地域では,進路の一つとなります。優秀な学生多いですよね。とにかくPCに強い強い,うらやましい。


入試過去問は,ここで紹介されています。どんな入試でも対策できそうな良い問題があったので,紹介します。

関数に回転移動を絡めた問題です。まあ回転移動の知識はほとんど使わず(?),計算ごり押しで解けます。
回転と聞くと,複素数平面などを使いたくなりますが,使わなくて大丈夫です。


第17回芸術的な難問高校入試
「関数で回転移動」
出典:2017年度 高専 過去問 範囲:関数,三平方の定理 
難易度:★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1VQTifEGIolyZE0uJTnuO0Stk8Hyx47na

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

<検索用コード>

芸術的な高校入試第17回
出典:2017年度 国立高等専門学校
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:15点/100点
 下の図のように,関数y=1/4 x^2のグラフ上に2点A,Bがある。A,Bのx座標をそれぞれ-6,4であるとき,次の各問いに答えなさい。

(1)直線ABの式を求めなさい。
(2)△AOBの面積を求めなさい。
(3)△AOBを原点Oを回転の中心として,時計の針の回転と同じ向きに,点Bが初めてx軸上にくるまで回転移動させる。この移動によって,点BがB’に,点AがA’にきたとき,A’の座標を求めなさい。
























































【解答例】
(1)(5点)
A(-6, 9),B(4, 4)である。
傾き 5/(-10)=-1/2,(4,4) を通るから,
y=-1/2 (x-4)+4 ,すなわちy=-1/2 x+6

(2)(4点)
ABとy軸との交点C(0, 6)とすると,
△OAB=△OCA+△OCB
=1/2×6×6+1/2×6×4=30

(3)(3点×2)
OB=OB’=4√2なので,△A’OB’において,A’からx軸に下ろした垂線の長さhは,
(4√2 h)/2=30 h=(15√2)/2 A^' のy座標は (15√2)/2
OA=OA'=√(36+81)=3√13 なので,A^' のx座標をt
とすると,
t^2+225/2=117 t^2=9/2 t>0より,t=(3√2)/2
A^' ((3√2)/2,(15√2)/2)



【コメント】
 (1),(2)は確実に解かなくてはならない問題です。(3)が実に面白い問題です。回転移動で,さらに∠BOB’=45°なので,この45°を利用したくなりますが,利用しないで解けます。解法を見ると「何だそれだけ」となりますが,思いつけるかどうか。




comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

接する球(2018年度愛知県B)

2019/12/27

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2018年度愛知県Bの問題です。

こういう問題といい,愛知県の問題は,入試の都合上,長い問題を作ることができません。北海道の裁量問題みたいな小問集合を練習するにはちょうど良い問題がたくさんあります。時間との闘いで大変そう......。

円と接線の図形的知識は常識です。慣れておきましょう。マナペディアなどでさらっと確認しておきましょう。

接する球
範囲:中3三平方の定理,中1空間図形 目標時間:6分
出典:2018年度 愛知県 高校入試 過去問
URL:https://www.zenkenmoshi.jp/nyushi/nyushi.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1tUqULVVtqxoB2VmtMKBUxyuB7s8P1Ddq

<検索用コード>

接する球
範囲:中3立体図形 難易度:★★★★☆
得点    /7
出典:2018年度愛知県B
下の図は,A,B,C,D,E,Fを頂点とする立体は底面の△ABC,△DEFが正三角形の正三角柱です。また,球Oは正三角柱ABCDEFに丁度入っています。球Oの半径を2 cmとするとき,次の問いに答えなさい。


(1)球Oの表面積を求めなさい。
(2)正三角柱ABCDEFの体積を求めなさい。


























































接する球 解答例
範囲:中3立体図形 難易度:★★★★☆
(1)(3点)
4πr^2=4π×2^2=16π cm^2
(2)(4点)
球の断面図のうち,中心Oを通る円は,正三角形に接する。

上の図で考える。ある点から円へ接線を引くと,長さは等しくなる。よって,上の図の場合,△PSO≡△PUOなので,OS=2 cm,∠OPS=30°,∠OSP=90°だから,OP=4 cm,よって,OR=4 cm。RS=6 cm。
PS=SQ=2√3 cmなので,底面積は,
1/2×4√3×6=12√3 cm^2
立体の高さは球の直径なので,4 cm。
答えは,48√3 〖cm〗^3
















【コメント】
 ちょうどよい問題です。(1)が解けるのは当たり前として,(2)は「円が内接する三角形」について,三平方の定理や円周角で色々な問題を解いておけば,解けるはず。(ただし,計算ミスは多発!?)

【何となく似ている問題】
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-66.html
→ひたすら難しい相似証明
 接線関連の問題
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-90.html
→2019年度中3第4回道コン
 だいぶえげつない問3
 上記2つともえげつない難易度なので注意。

 最低限,この愛知県の問題は解けるようにしておくと,よいことあります。


comment (-) @ 立体図形

円周角証明の究極系(オリジナル)

2019/12/24

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高校入試で出題される図形の証明は,「三角形の合同,相似を証明しなさい」という,比較的方針がたてやすい問題が多いですが,捻ると「二等辺三角形を証明しなさい」等,少し方針がたてづらくなります。

方針がたてづらいものの究極系の1つは「直角を証明しなさい」です。本当に何していいか分かりません。模範解答を見ると,ただ合同を証明しているだけなど,結構簡単なことが多いのですがね。
具体例:2010年度北海道高校入試

あと,複雑な図が描かれている証明は,基本大したことありません。一番タチ悪いのは,シンプルな図(見た目は簡単)のくせに,えげつない問題です。
具体例:
2010年度都立新宿高校
2018年度都立立川高校

この問題はそれを意識してみました。特に北海道では「は?」という証明が出されることが他県に比べて多いので,満点取りたいなら慣れておきましょう。

円周角証明の究極系
目標時間:6分 難易度:★★★★☆ 範囲:中3円周角

<問題>
円周角 証明 良問 難問



<PDF,解答例はこちら↓↓>




comment (-) @ 平面(証明メイン)

平成31年度 北海道高校入試 数学 予想問題3

2019/12/21

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昨年度は,北海道の高校受験用に,数学の予想問題を3つ作成しました。

1つ目はここで公開中です。

せっかくなので3つ目の予想問題も公開しておきます。

ちなみに可能な限りすべてオリジナル問題としたのですが,生徒に「変な問題多くない?」と突っ込まれたので,今年からは都道府県の過去問使うようにしています。

何かの役に立つかもしれません,どうぞお使いください。


いうまでもないですが,北海道の高校入試は,2021年度までは,45分×5で行われます!

平成31年度 北海道 公立高校 数学 予想問題3

問題用紙(Googleサーバー)

問題用紙(Seesaaサーバー)



解答用紙(Googleサーバー)

解答用紙(Seesaaサーバー)


<正答例は↓↓>




comment (-) @ 問題集

(2015年度日比谷高校)いたって普通の関数正方形の難問

2019/12/21

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関数の問題に,平面図形の知識を融合させた問題は多くありますが,正方形は計算難の問題になることが多いです。

今回の問題は,日比谷高校の過去問。いたって普通の計算が大変な難問です。何を計算すればよいのか,判断が必要になります。
hibiyaseihou.jpg

第15回芸術的な難問高校入試 「正方形関数難問」
難易度:★★★★★☆美しさ:★★★☆☆☆
【出典】2015年度 東京都立 日比谷高校 過去問
URL:http://www.hibiya-h.metro.tokyo.jp/SelectedEntrants/TestTheme.html
※3年分しかないので,購入するしかありません。

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=18t5h5FtQosubSxCcE6cnfnoJI69Sr9RV

<検索用コード>

芸術的な高校入試第16回
出典:2015年度 都立 日比谷高校
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★☆☆☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点

曲線fはy=ax^2のグラフである。2点A,Dはx軸上にあり,点Aのx座標は6,点Dのx座標はt(0<t<6)である。四角形ABCDと四角形CEFGはそれぞれ正方形で,辺FGはy軸上,点Cのy座標は正の数で,点Eのy座標は点Cのy座標より大きい。曲線fが点Cを通るとき,次の問いに答えなさい。

問1 正方形ABCDと正方形CEFGの面積が等しいとき,aの値を求めなさい。

問2 a=1のとき,直線BEの式を求めなさい。途中計算も書きなさい。

問3 曲線f上にある点をHとし,点Fと点Hを結んでできる線分FHの中点が点Eに一致したとき,     点Hの座標を求めなさい。

















































【解答例】
問1(7点)
点Aのx座標は6なので,各々の正方形の一辺の長さ  は,3である。よって,C(3, 3)なので,
3=9a a=1/3

問2(10点)
a=1のとき,C(t,〖 t〗^2 )
正方形ABCDは正方形だから,AD=6-t,CD=t^2と表せるので,
6-t=t^2 t^2+t-6=0 (t+3)(t-2)=0
t>0だから,t=2 C(2, 4)
よって,E(2, 6),B(6, 4)
この2点を通る直線は,
傾き (6-2)/(4-6)=-1/2,(2,6)を通るから切片7
y=-1/2 x+7

問3(8点)
E(t,〖at〗^2+t),F(0,〖at〗^2+t)と表せる。Hのy座標も,〖at〗^2+tである。
FHの中点がEなので,Hのx座標は2tと表せるから,
at^2+t=4at^2
3at^2-t=0 t(3at-1)=0
t>0より,t=1/3a
正方形ABCDにおいて,
6-1/3a=〖a(1/3a)〗^2=1/9a
4/9a=6 54a=6 a=2/27
t=1/3×27/2=9/2
よって,Hのx座標は2倍して9,y座標は,
81×2/27=6 H(9,6)




【コメント】
 いたって普通の難問ですが,正方形の扱いの良い練習となります。
 問2までは誰でも解けてほしいかも。



その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html



comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

台形と文字式関数

2019/12/21

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久しぶりにオリジナル問題を投下します。

関数において,文字がたくさん出てくると,内容が簡単でも一気に正答率が下がって面白いですよね。文字式に慣れていない中学生は多いです。

文字式を扱う練習として作った関数の問題を紹介します。

問1は例の公式の証明となっています。塾では暗記させられるやつです。計算できない子用に,意地でも3点は取らせるための公式。賛否両論ありますが,得点とらせないといけませんからね。

台形と例の公式
難易度:★★★☆☆
【出典】オリジナル 【範囲】中3関数

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1n5C3ftqBbrkWJlCDehuA6HCtmb_v4QmI

<検索用コード>

2次関数y=cx^2⋯①と1次関数y=dx+e⋯②のグ
ラフがあります。(c>0,d>0)①と②の交点を,点A,点Bとし,A,Bのx座標をa,b(a>b>0)とします。また,y軸上にAD//BC,∠BCD=90° となるよう,C,Dをとります。

問1 直線②の傾きdを,a,b,cを用いて表しなさい。
問2 台形ABCDの面積をa,b,cを用いて表しなさい。
問3 台形ABCDの面積が25/2,c=1,d=5のとき,a,b,eの値を求めなさい。






















































台形と例の公式 解答例
範囲:中3関数 難易度:★★★☆☆
問1(3点)
傾き,変化の割合の定義は,yの増加量/xの増加量 であるから,
d=〖〖ca〗^2-cb〗^2/(a-b)=c(a+b)(a-b)/(a-b)=c(a+b)

問2(3点)
CD=c(a^2-b^2),AD=a,BC=bなので,台形の面積は,
1/2×(a+b)×c(a^2-b^2 )=1/2 c(a+b)(a^2-b^2)

問3(4点)
問1~2,条件より,連立方程式
{█(a+b=5            @(a+b)(a^2-b^2 )=(a+b)^2 (a-b)=25)┤
ができる。
a+b=5を下の式に代入して,a-b=1 これを解くと,a=3,b=2 このとき,e=-6





















【コメント】
文字式になると,「うっ……」となりますが,聞かれていることはとっても単純。
文字式をそのまま扱うことに苦手意識を感じている中学生は多いので,1回演習しておきたい問題。





comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ