おつりを最も多くする方法

2020/01/25

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ティッシュペーパーを購入するとき,必ず電卓で「1枚当たりの価格」を調べて,最も安いものを選ぶと思われます。

例えば,160枚入×5パックが400円,200枚入り×5パックが600円であれば,160枚入りの方は1枚当たり0.5円,200枚入りの方は1枚あたり0.6円となって,前者の方が安いですね。

今回は,それのポテチバージョン。

おつりを最も多くする方法
範囲:場合の数,連立方程式
難易度:★★★★☆ 目標時間:7分

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=14o02QIYM9SVhA03n6iFhLKEkICGoiyQu




comment (-) @ 方程式の文章題

資料の整理の記述問題(長野県)

2020/01/25

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北海道の高校入試において,最近は大問2(標準大問3)で「資料の整理の記述問題」が出題されます。
道コンの大問3みたいな感じの問題です。(ここまで難しい問題は出ないと思われますが。)

今回は,そんな資料の整理記述問題を,2つご紹介します。どちらも長野県の問題です。北海道に似ているというか,全国的に資料の整理で記述問題と言ったら,こんな感じです。長野は分量がちょうどよい。

正しい平均
出典:2018年度 長野県 高校入試 過去問 範囲:資料の整理
難易度:★★★☆☆ 目標時間:5分

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1IfD4NeSgmetkwpE23LpzuQYVSDG_O7pa

代表値で説明
出典:2019年度 長野県 高校入試 過去問 範囲:資料の整理 連立方程式
難易度:★★★☆☆ 目標時間:5分

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1y7xXIWSULpa2Dh6KSok0HMLWXfkpnhDa

comment (-) @ 資料の整理

2019年度第5回道コン感想 (数学)

2020/01/18

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2020年1月11日に,第5回道コン(北海道学力コンクール,高校受験用模試,なんで道コンなんだ?)が開催されました。

数学に関して,感想ついでに復習に役立つ問題を紹介したプリントを貼っておきます,お役立てください。


.PDFのURL:https://drive.google.com/open?id=1owQdzcyl-HVAoUTCvMey59-1ymy_fCRm

<PDF表示されなかったとき用>
続きからをクリックお願いします。

comment (-) @ 北海道 高校入試 解説

円周角と三平方?(たぶん札幌市内の某中学校)

2020/01/13

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中学校の定期テストは,基本的にどの先生も出す問題は同じです。

出題の仕方で個性が出たりしますが,基本的にはその先生の授業をしっかり聞いて,対策すれば点は取れるもの。たまに平均点30点台とか,かなりテストの作り方間違えている先生もいますが。

今回の問題は,色々な学校の定期テストを見ていたら,見つけた良い問題です。たぶん札幌市内のどこかの中学校。もしかしたら問題集とか,入試問題から引用している可能性もありますが。

解法をすぐ思いつけたら流石。2022年度からの新北海道高校入試で出題されそうな問題。

第18回芸術的な難問高校入試「円周角と三平方?」
難易度:??????美しさ:★★★★★☆
【出典】たぶん札幌市内のどこかの中学校の定期テスト

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1We4tCKATzLFHQ2CMW0KGo5-zj5uK4BSm

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html


comment (-) @ 平面(計算メイン)

立方体切断で五角形(2019年度函館有斗)

2020/01/13

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函館の私立高校の過去問を見る機会があり,色々見ていたら面白い典型問題を発見。

さらっと(2)が難しいです。切断面が分かっても,普通にその面積を求めるのは結構きつい。

立方体切断の話で,もっと詳しいのは,2016年度北海道裁量問題解説で行っております。よろしければご覧ください。

私立はさらっと難しい問題を出してきます。いかに難易度を見極めるか大事。難易度を見極めるためにも,普段から難問にそれなりに挑戦しましょう。

立方体切断で五角形
範囲:中3三平方の定理 中1空間図形 目標時間:8分
出典:2019年度 函館大学附属有斗高校 過去問

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1LR72c2HnkobOAKqDx5StLhsSpVhPNZQH




立方体切断で五角形
範囲:空間図形・三平方 難易度:★★★★★
得点    /7
出典:2019年度 函館有斗高校
 下の図のように,一辺の長さが4 cmの立方体ABCD-EFGHがあります。辺BC,CDの中点をそれぞれM,Lとします。次の問いに答えなさい。

(1)線分EMの長さを求めなさい。
(2)3点E,M,Lを通る平面で立方体を切断すると,切り口は五角形となります。この五角形の面積を求めなさい。




























































立方体切断で五角形 解答例
範囲:空間図形・三平方 難易度:★★★★★
問1(3点)

MからFGに垂線を下ろし,交点をNとする。
△EFNで,EF=4 cm,FN=2 cmだから,
EN=√(16+4)=√20=2√5 cm
MN=BF=4 cm(長方形ができるから)
△EMNで,
EM^2=20+16=36 EM=6 cm

問2(4点)
次のように切断面ができる。

M―O―Pの線は,最短距離となるように引かれる。
したがって,図に書くと,次のようになる。

EM=√(16+36)=√52 より,OM=√52/3
同様に,PL=√52/3
LM=2√2 OE=PE=(2√52)/3
四角形OPLMと△EOPに分けて考える。
OP=4√2
・四角形OPLM
OP//LMより,四角形OPLMは台形。
MからOPに垂線を下すと,垂線は,
√(52/9-2)=√34/3
四角形OPLM=1/2×(2√2+4√2)×√34/3=2√17 cm^2
・△EOP
EからOPに垂線を下すと,垂線は,
√(208/9-8)=(2√34)/3
△EOP=1/2×4√2×(2√34)/3=(8√17)/3 cm^2
したがって。五角形の面積は,
2√17+(8√17)/3=(14√17)/3 〖cm〗^2

【コメント】
 函館の私立高校の過去問を見る機会があったので,
作成してみました。(1)は易しいですが,(2)はとても難しい。たぶん目的は「難しい問題と気づいて次の問題に行けるか」です。この次の問題は関数なのですが,とても簡単です。
 立方体切断,忘れたころにどの高校入試でも出題されます。北海道の公立高校入試では,2016年度。
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-88.html
 上記で「立方体切断の方法」について詳しく解説しておりますので,この解説だけで物足りなかったらどうぞご覧ください。





comment (-) @ 立体図形

正六角柱(2018年度日比谷高校改題)

2020/01/01

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あけおめです。

新年早々,異常に難しい問題をご紹介します。2018年度日比谷高校の過去問を元に作成しました。

問1はオリジナル,問2は日比谷の問題を少しアレンジ。いかに立体を平面で考えるかが重要です。

こんなに難しい問題は,北海道では100%出ませんね。

日比谷と,北海道の札幌南は,同じ公立同士だからか?よくセンター試験の平均点で競い合ったり,授業見学をしたりしているらしいです。確かにどちらも公立TOPだけど,日比谷は周りに東京開成だの,有名私立ある中で,生徒募集で戦っていますからね。どう考えても南の方が有利?(札幌は南以外のTOP高校と言ったら,北と北嶺ぐらい?)


正六角柱
範囲:中3三平方の定理 中1空間図形 目標時間:??分
出典:2018年度 日比谷高校 過去問 改題
URL:http://www.hibiya-h.metro.tokyo.jp/SelectedEntrants/TestTheme.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1L659K3xgDDduWJXZpZs46cICgz-xOCHk


<検索用コード>

正六角柱
範囲:中3三平方の定理 難易度:★★★★★++
得点   /10
以下の図のように,AB=6 cm,AG=a cmの正六角柱ABCDEF-GHIJKLがあります。辺GH上に点M,辺CI上に点Nを取ります。次の問いに答えなさい。

問1 a=4とします。三角錐E-BGIの体積を求めなさい。

問2 a=9,GM=4 cm,CN=x cm,∠ENM=90°とします。xの値を求め,△EMNの面積を求めなさい。
























































正六角柱 解答例
範囲:中3三平方の定理 難易度:★★★★★++
問1(8点)
△BGIは,BG=BI=√(36+16)=2√13,GI=6√3の二等辺三角形。【辺の長さの2乗各1点】
BからGIに垂線を下ろすとその垂線の長さは,
√(52-27)=5 cm 【1点】
よって,
△BGI=1/2×6√3×5=15√3 cm^2 【1点】
次に,△BGIを底面としたときの高さEYを考える。
GIの中点をXとする。【中点Xを考える 1点】
(△GHIは,GH=HI=6,∠GHI=120°の二等辺三角形なので,)HX=3,(中点連結定理より,HK=12なので,)KX=9となる。すると,
EX=√(81+16)=√97 BX=√(9+16)=5となる。
BY=yと置くと,XY=5-y
EY^2=97-(5-y)^2=144-y^2 【方程式1点】
これを解いて,y=36/5
EY=√(144-1296/25)=√(2304/25)=48/5 cm 【1点】
したがって,体積は,
1/3×15√3×48/5=48√(3 ) cm^3 【1点】


問2(6点)
△GMKで,GK=6√3 cmだから,
KM=√(16+108)=2√31 cm 【1点】
△EKMで,
EM=√(124+81)=√205 cm 【1点】
点Iから直線MHに垂線を下ろし交点をOとする。
∠IHM=120°だから,IO=3√3 cm,HO=3 cm
MI=√(25+27)=√52 cm 【1点】
CN=xだから,NI=9-x
EN=√(108+x^2 )
MN=√(52+(9-x)^2 )
EM^2=EN^2+MN^2 より,
205=108+x^2+52+(9-x)^2 【式1点】
整理して,x^2-9x+18=0 (x-6)(x-3)=0
0EN=√126=3√14,MN=√98=7√2となるから,
△EMN=1/2×3√14×7√2=1/2×42×√7
=21√(7 ) cm^2【1点】

【コメント】
 2018年度日比谷高校の過去問をもとに,問2はややアレンジ,問1は作ってみました。
 こんなに面倒くさい体積問題は,日比谷(と都立西?)でしか出せません。いったい何人ぐらいの受験生が解けるのでしょう,気になるな。



comment (-) @ 立体図形