計算問題，整数問題高校入試　数学　良問・難問

正直者が馬鹿を見る（2020年札幌第一）

2021/01/03

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あけおめです。

さて，新年のあいさつはどうでもいいとして，早速新年一発目の問題紹介です。

当ブログでよく登場する，札幌の最近は超がんばっている私立「札幌第一高校」の計算問題。

「ご一緒にホタテはいかがですか？」をまじでやってる問題です。あのコントを思い出しますね。

後，正直者が馬鹿を見る問題です。

今年も気を付けて生きましょう。

芸術的な難問高校入試　第46回
「正直者が馬鹿を見る」
出典：2020年度　北海道　私立　札幌第一高校
範囲：計算（中1でも解ける）　難易度：★★★☆☆☆　美しさ：★★★★★☆
＜問題＞

＜PDF,解答例はこちら↓↓＞

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前回の開成高校（東京の私立）の問題，えげつないアクセス数稼いで，味をしめたので，今回は，そんな開成高校（高校入試）の，工夫して計算する問題を紹介します。

流石開成高校，大問1からぶっ飛ばしますね。でも，ぎりぎり，中学範囲です。それなりの塾用テキストには載っている問題ですね。いかにここを速く乗り切るかが勝負。

※道民にとっては，札幌開成中高一貫校があるので，ややこしい，(笑)　ちなみに2校は全くの無関係である。

「工夫して計算の難問」
出典：2018年度　開成高校（高校入試）
範囲：色々　難易度：★★★★★
＜問題＞

＜PDF,解答例はこちら↓↓＞

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割り算と自然数（2013年度立川高校）

2020/11/11

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中学校の授業で，整数問題はあまり触れられませんが，高校入試においては平気で出てきますよね。

対策は塾に行くか，自学（通信教育，問題集......）しかありません。

今回は立川高校の，比較的優しめな整数問題を紹介します。

割り算と自然数
目標時間：9分　難易度：★★★★☆　範囲：整数　
出典：平成25年度立川高校　

＜問題＞

＜PDF，解答例はこちら↓↓＞

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＜解答例＞

＜PDF＞

＜.pdf＞
・グーグルサーバー

・シーサーサーバー

※A5サイズにしたので，印刷する際は2in1にした方が良いと思われる！

＜コメント＞
日本語読解の問題です。いかに問題文の条件に合わせて考えられるかです。

問1…
表などを書けば，ミスしなければ解ける問題。

問2…
10以上65以下なので，7で割ると4余る自然数を全て書き出せばいいだけですね。

問3…
これも変な問われ方していますが，11以上20以下を全て書き出せば余裕です。

＜まじで余談＞
M1グランプリ2020，2回戦，変ホ長調追加合格しませんでした......（やっぱり噛んじゃったのがいけなかったか......面白いのに）。

このお方たち，アマチュアだから，M1出られなくなったら，果たしてどこで彼女らの漫才が見られるのか！？

アマチュアだからラストイヤーとか無いよ～と，プロの芸人も何人かおっしゃっているらしいですが，来年普通に出てくれたりしないかな......。

いや，プロでも難しい15年間で続けるということをやり遂げたのだから，もうきついか......。

ちなみに，今のところ（2020年11月11日現在），この動画が，2回戦の動画でTOPの再生回数！

変ホ長調さんらは

M-1グランプリ2回戦動画上がってました。出番順を見たときも驚きましたが、動画も出番順なのですごい人達と一緒になっていて、たくさん見てもらえてラッキーです。https://t.co/fUMcMC6JFG
— オダヒトミ (@oda_henho) November 1, 2020

「からし蓮根さんと見取り図さんのおかげでたくさん再生されてる～」と大喜びです。どちらも昨年度のファイナリストですからね。

それにしても再生回数えげつなかったから，たぶん変ホ長調さんの人気もあると思います。

はい，M1ラストイヤー芸人さんが敗退したとき，そのファンは悲しむことが多いらしいですが，その気持ちがようやくわかった管理人でした。

その他の整数問題など一覧はこちら

..end

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割り算と式（2016年度函館ラサール高校）

2020/06/21

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入試範囲が狭くなったら，代わりに出題される可能性の高い問題の1つとして「整数問題」があります。

学校の授業ではあまり扱われませんが「問題文を読めばわかるでしょ」というノリで出題されます。

ちなみに過去の北海道高校入試では，明らかに特殊な対策必要な問題が回出題されています。

・これの2010年度とか

今回の函館ラサールの問題は，特殊な対策は必要ありません。問題文を読めれば，小学生でも解けます。しかし，入試で出題されたら，少なくない中学生が「面倒だ」という理由で放棄しそう......。

「割り算と式」
出典：2016年度　函館　ラ・サール高校　過去問
範囲：関数，相似，回転体
難易度：★★★☆☆☆

.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/18Vg6djCnTwwAdFFogHjTfraGeBaDpZsG/view?usp=sharing

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規則性と整数（2017年裁量問題解説）

2019/11/21

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今回は2017年度北海道高校入試数学，裁量問題の解説です。
標準問題の関数がやや難しかった年ですね。裁量問題は，トリッキーな問題が多かったです。整数問題が多い。
珍しく関数が出題されていません。

整数問題の練習としては、こういう問題がいいですね。知らないと解けません。

TITLE：2017年度　裁量問題　数学　解説
出題分野：規則性，整数問題，平面図形，，三平方，円周角
出典：平成29年度　北海道　公立高校入試　過去問
URL：http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1WPQvQ3ovB7I5An3GLTZZltRbUNQoYwyc
＜検索用コード＞

学校裁量問題の問題と解説⑨
【出典：2017年度　北海道　高校入試　過去問】
-----------------------------------------------------------------------
問1　 xは自然数とします。1辺の長さがx cmの正四面体について，各辺をx等分する点とすべての頂点に●印をつけることとします。
　　　例えば，1辺の長さが2 cmの正四面体のときは，右の図のように●印が10個つきます。
（1）1辺の長さが3 cmの正四面体のときにつく●印の個数を求めなさい。
（2）1辺の長さがx cmの正四面体のときにつく●印の個数をy個とするとき，yをxの式で表しなさい。

問2　1辺の長さがa cmとb cmの2つの正三角形があります。この2つの正三角形の面積の差を，
(49√3)/4 cm^3 とします。このときのaとbの値を，次
　　のように求めるとき，　ア　，　イ　に当てはまる数を，　　　には解答の続きを，それぞれ書き入れて，解答を完成させなさい。
　　　ただし，a，bは自然数とし，a＞bとします。
＜解答＞
　2つの三角形の面積は，それぞれ
　　ア　a2cm3，　ア　b2 cm3
と表すことができる。
　この2つの正三角形の面積の差は (49√3)/4 cm^3 なの
で，
　　ア　a^2-　ア　b^2=(49√3)/4
　a^2-b^2=　イ　　(a+b)(a-b)=　イ　である。

　

問3　下の図のように，線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Cがあります。線分ABの中点を点Oとします。次の問いに答えなさい。

（1）AC＝BCとします。△ABCを，線分ABを軸として1回転させてできる立体をP，半円を，線分ABを軸として1回転させてできる立体をQとします。
　　　立体Pの体積は，立体Qの体積の何倍ですか，求めなさい。
（2）線分ACが線分ABより1 cm短く，線分BCが線分ABより2 cm短いとき，線分ABの長さは何 cmになりますか。
　　　線分ABの長さをx cmとして方程式をつくり，求めなさい。
（3）線分ABを4 cmとします。点Cは，弧AB上を点Aから点Bまで移動するものとします。
∠ABCの二等分線と∠BACの二等分線との交点をDとするとき，点Dが描いてできる線の長さを求めなさい。
ただし，点Cが点Aの位置にあるとき，点Dは点Aの位置にあり，点Cが点Bの位置にあるとき，点Dは点Bの位置にあるものとします。また，円周率はπを用いなさい。

【解答例】　　　　　　　　　　　　配点21点/60点
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問1（1）（2点）正答率69.4％
1辺に4個●印がつく。頂点につくのを抜いて，4－2＝2個。2×6＝12個。
頂点は，4個あるので，12+4＝16個
※計算を思いつかなくても，数えればいいだけ。
問1（2）（3点）正答率47.3％
（1）のように考えると，
y=(x+1-2)*6+4=6x-2
思いつかなくても，高校入試は，1次関数か，原点を通る2次関数しか出ないことを逆手にとって，
【1次関数と仮定する】
y=ax+bとする。（2, 10）（3, 18）なので，連立方程式を解くと良い。
【原点を通る2次関数と仮定する】
（2, 10），（3, 18）を通るy=ax^2のグラフは無い。
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問2（アイ各1点，連立方程式1点，ab各1点）
正答率8.7％
ア）1/2*a*√3/2 a=√3/4 a^2　ア）√3/4 b^2
a^2-b^2=イ）49　(a+b)(a-b)=イ）49
a，bも自然数であるから，(a+b)も(a-b)自然数である。a＋b＞a－bであるから，
{█(a+b=49@a-b=1)┤
これを解いて，a＝25, b＝24
【コメント】
　北海道，整数問題好きですね。
ア）イ）は常識だから埋めよう。それ以外は……なんでこんなに正答率高いのかが不思議である。
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問3（1）（3点）　正答率30.2％
半径rとする。AC＝BCだから，△ABCは直角二等辺三角形。
P)　おとなしく，△OACと△OBCに分ける。
体積同じなので，2倍すればよい。
P：πr^2*r*1/3*2=2/3 πr^3
Q)　ただの球。
Q：4/3 πr^3　PはQの 1/2 倍
（2）（4点）　正答率30.7％
△ABCは直角三角形であるから，
AB^2=BC^2+CA^2
x^2=(x-2)^2+(x-1)^2【2点】
x^2-6x+5=0　【1点】
(x-5)(x-1)=0
2＜xであるから，x=5　5 cm【1点】

（3）4点　正答率3.3％

∠CAB＋∠CBA＝90°で一定で，∠OAD＋∠OBDはその半分だから，∠OAD＋∠OBD＝45°で一定。よって，∠ADBは常に135°だから，同一円周上を動くと言える。
すると，どこかに中心がある。円の中心Eは，弦（線分AB）の垂直2等分線上にあるので，直線DO上にある。円周角の定理より，∠ADB＝135°だから，∠AEBの大きい方の角は135°×2＝270°より，∠AEBの小さいほうの大きさは90°
OB＝2 cmだから，Dが動くおうぎ形の半径は，
2×√2=2√2 cm　中心角90°なので，
4√2×90/360×π=√2 π cm
【コメント】
　円のように動くんだろうなという認識が大事です。より詳しい解説をブログに乗せています。
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　極端に難しい問題は出題されませんでした。

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読解力と整数（2014年裁量問題）

2019/11/18

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2014年度は昨年度みたいに露骨に易しい問題は出題されませんでしたが，露骨に難しい問題も出題されませんでした。バランスはよさげです。しかし，標準問題が易しすぎたという。

問1みたいにひたすら読解力試される整数問題は，北海道にしては珍しいですね。

TITLE：2014年度　裁量問題　数学　解説
出題分野：関数，整数問題，相似
出典：平成26年度　北海道　公立高校入試　過去問
URL：http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1uwfjuNTq2C0jL9xVg12RPChpFRuG9TyW

＜検索用コード＞

学校裁量問題の問題と解説⑥
【出典：2014年度　北海道　高校入試　過去問】
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問1　次のように，xとyについての2つの二元一次方程式
　　　　ア　x＋　イ　y＝10…①
　　　　ア　x＋　イ　y＝2…②
があります。
　　　この2つの方程式の　ア　には，1，3，5のいずれか1つの数を当てはめ，　イ　には2，4，6のいずれか1つの数を当てはめます。次の（1）（2）に答えなさい。
（1）①，②の方程式を組みにして，連立方程式をつくります。この連立方程式をみたすx，yの値がともに整数となるのは，　ア　，　イ　にそれぞれどのような数を当てはめたときですか，その数の組を4つ求めなさい。
（2）①，②の方程式のグラフをかき，①，②のグラフとy軸によって囲まれる三角形をつくります。この三角形の面積が最小となる値を，次のように求めるとき，　ウ　～　オ　に当てはまる数を，それぞれ書きなさい。
＜解答＞
　①のグラフとy軸との交点をA，②のグラフとy軸との交点をBとし，①，②のグラフとy軸によって囲まれてできる三角形の底辺を辺ABとすると，辺ABの長さが最小となるときの値は
　ウ　である。
　また，三角形の高さは，①のグラフと②のグラフの交点のx座標であるから，三角形の高さが最小となるのは，x座標が　エ　のときである。
　よって，①，②のグラフとy軸によって囲まれてできる三角形の面積が最小となる値は
　オ　である。
問2　次の（1）（2）に答えなさい。
（1）下の図のように，線分ABを直径とする半円があります。点C，Dを弧AB上の点とし，点Aに近いほうから，点C，Dとします。AB//CD，AB：CD＝2：1である線分CDを，定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし，点を表す記号C，Dをかき入れ，作図に用いた線は消さないこと。
（2）下の図のように，線分ABを直径とする半円があり，線分ABの中点を点Oとします。点Oを通り線分ABに垂直な直線と弧ABとの交点をEとし，線分OEの中点をFとします。点A，Fを通る直線と弧ABとの交点のうち，点Aと異なる点をGとします。△AOFの面積が10 cm2のとき，△AGBの面積を求めなさい。
【解答例】　　　　　　　　　　　　配点18点/60点
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問1
（1）（1点×4）正答率55.6％
①＋②より，2　ア　x＝12　　ア　x＝6
よって，　ア　には6の約数である，1か3しか入らない。
①－②より，2　イ　y＝8　　イ　y＝4
よって，　イ　には4の約数である，2か4しか入らない。となると，（ア，イ）の組み合わせは
（1, 2）（1, 4）（3, 2）（3, 4）しかない。
【コメント】
たぶん本番こんな鮮やかな解き方はできません。がむしゃらに代入して解いたら，「5と6は無いな。」と言うことに3分ぐらいで気づくと思われます。
（2）（ウエ各2点，オ1点）正答率3.0％
①とy軸との交点は，x＝0を代入して
　イ　y＝10
y＝10/イ
②とy軸との交点も，x＝0を代入して，
y=-2/イ
イは2，4，6なので，ABの長さは
10/イ+2/イ=12/イ　イ＝6を代入して最小値　ウ）2

①と②との交点のx座標は，（1）より
x=6/ア　最小となるのはア＝5を代入し，エ）6/5
よって，三角形の面積が最小値は
1/2×2×6/5=オ）6/5
【コメント】
ア，イがa，bで置かれていたら正答率上がった気がします。所詮文字で置いてコネコネ中2でも解けます。冷静になることが出来たらって話ですが。無理ですね。
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問2
（1）（4点）正答率47.9％
まず線分ABの垂直2等分線を引く。次に線分OA，線分OBの垂直2等分線を引く。
道教委の模範解答は，OA＝AC，OB＝BDとなるように作図している。（正三角形がたくさんできて，中点連結定理）
↑は，線分CDを定規で結ぶ必要があります。引くの忘れていました。
（2）（5点）正答率5.7％
半径をrとする。OA=r,OF=r/2 だから，
△AOF=1/2×r×r/2=r^2/4=10　r=2√10　
三平方の定理より，AF=5√2,AB=4√10
△AOF∽△AGBだから，面積比は，
AF^2:AB^2=50:160=5:16なので，
△AGB=10×16/5=32 cm^2
【コメント】
　ちょうどよい難易度な気がします。部分点は，半径とFAで2点，BAで1点，5：16で1点もらえます。
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　極端に易しい問題は出題されませんでした。この年は標準問題が非常に易しかったので（易しいと気づけば）裁量に割く時間がたっぷりありました。このぐらいの難易度だと嬉しいですね。
　問1のように，ひたすら読解力が試される問題は，北海道では珍しいです。

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鬼な計算（2010年裁量問題解説）

2019/11/10

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入試前には，どんな入試でも過去問を解いて，本番に備えるでしょう。

北海道の公立高校入試なら，北海道のホームページや，問題集で演習し，解説を読んで理解するのでしょうが，たまに，その解説だけじゃ物足りないということがあると思われます。

昔生徒用に解説を作ったことがあるので，せっかくなので公開していこうと思います。

今回は，北海道の入試史上最も難しい，2010年度の問題です。裁量問題だけでなく，標準問題部分（垂直の証明など）から難易度がむごく，エグぐ，平均点が恐ろしいものとなりました。裁量問題は，当時は本当に上位高校しか導入していないのに，正答率（プリントに貼ってあります）が恐ろしいことに......。

問1，2では，いまいち何の能力を測りたかったか分からない高校生でも難しい整数問題，問3は正答率0％の立体問題です。

過去問URL
http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/H22gakuryoku/h22suu_sai.pdf

TITLE：学校裁量問題解説　2010年度
出題内容：文字式応用（平方根・三平方の定理），空間図形

検索用コード

学校裁量問題の問題と解説②
【出典：2010年度　北海道　高校入試　過去問】
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問1　下の図のように，AB＝a cm，BC＝b cm，
CA＝2√15 cm，∠BCA＝90°の△ABCがあります。a，bがともに自然数となるa，bの値の組を2つ求めなさい。

問2　箱P，Qがあり，箱Pの中には，1，2，3，4，5，6の数字を1つずつ書いた6個のボールが，箱Qの中には，0，2，4，6の数字を1つずつ書いた4個のボールが入っています。箱P，Qの中からそれぞれ1個のボールを取り出すとき，箱Pの中から取り出したボールに書かれた数字をa，箱Qの中から取り出したボールに書かれた数字をbとし，（a, 3）を座標とする点をA，（b, a）を座標とする点をBとします。
　　　このとき，線分ABの長さが√5になる確率を求めなさい。

問3　下の図1のように，1辺の長さが4 cmの立方体ABCD-EFGHが平面Pの上にあります。辺CDの中点をMとします。この立方体に，次の【1】，【2】の操作を順に行います。図2は，【1】の操作を行った後の立方体です。このとき，次の（1），（2）に答えなさい。ただし，円周率はπを用いなさい。

【1】辺EFを軸として，2点A，Bが平面P上の点となるように，90°まわす。
【2】【1】によって動いた図2の立方体の辺AEを軸として，2点D，Hが平面P上の点となるように90°まわす。

図1

図2

（1）【1】，【2】のそれぞれの操作によって，点Gが動いてできた弧の長さの和を求めなさい。
（2）【1】，【2】のそれぞれの操作によって，線分DMが動いて出来た図形の面積の和を求めなさい。

【解答例】　　　　　　　　　　配点　18点/60点
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問1（2点×2）正答率21.6％
三平方の定理より，
a^2=+60　a^2-b^2=60　(a+b)(a-b)=60
60=2^2×3×5，a＋b＞a－bだから，
a＋b a－b
60 1
30 2
20 3
15 4
12 5
10 6
ここにある連立方程式を全部解いて……とまではいかなくても，
{█(a+b=c@a-b=d)┤　とすると，c+d=2a,c-d=2b
だから，和と差が2の倍数である必要がある。
よって，ありえるのは色付けされたもののみ。
2つの連立方程式を解いて，
（a, b）＝（16, 14）（8, 2）
【コメント】
　随分面倒くさい問題ですね，中学生が連立方程式は2つしか解かなくて良いと思いつくのは難しいです。
　と思ったら，正答率21.6%です。頑張りましたね，受験生。
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問2（5点）正答率3.9％
地道にやるしかない。三平方の定理より，
AB＝√((a-b)^2+(3-a)^2 )
2乗するからどちらも平方数となるので，
1^2+2^2 の計算式になれば良い。
b＝0のとき，
√(a^2+(3-a)^2 )
a＝1, 2
b＝2のとき，
√((a-2)^2+(3-a)^2 )
a＝1, 4
b＝4のとき，
√((a-4)^2+(3-a)^2 )
a＝2, 5
b＝6のとき，
√((a-6)^2+(3-a)^2 )
a＝4, 5
(a, b)の組は全部で6×4＝24通りあるから，求める確率は，
8/24＝1/3
【コメント】
　もっと良い解法あるかもしれません。かなりきつい問題ですね。
　高校数学では，このような「場合分け」が重要です。だからって裁量でこんなムズイの出さなくていいと思います。
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問3
（1）（4点）正答率2.6％

【1】

【2】

【1】～【2】の操作で，上図のように動く。
【1】8π×1/4=2π
【2】8√2×1/4=2√2 π
合計(2+2√2)π cm

（2）（5点）正答率0.0％

【1】

【2】

【1】～【2】の操作で，上図のように動く。

【1】は，DもMも，円弧の一部を描く。したがって，
DMが縦の長さ，Dが作る弧が横の長さの長方形となるので，面積は，2×2√2 π=4√2 π

【2】は，赤い（網掛け）部分の面積が同じなので，結局おうぎ形の面積を求めればよい。
線分AMによるおうぎ形の面積
AM=√(16+4)=2√5 cm
2√5×2√5×π*1/4=5π
線分ADによるおうぎ形の面積
4×4×π×1/4=4π
5π-4π=π

合計面積は，(1+4√2)π 〖cm〗^2
【コメント】
　十二分に時間があれば解けそうですが，ただでさえ難しいこの年の入試問題で，最後とくれば，誰も解けません。
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　昨年度の裁量初導入の年の数学は，裁量といえども，何とか頑張れば解ける問題でした。今年度は全国的に見ても難しすぎる年でした。裁量問題の容赦のなさが半端ない。
　たぶん，2009年度意外に正答率高かったから，気合が入っちゃったのでしょうね。入試としては失敗です。
　（通しで解くなどの確認を怠っている気がします。かなり数学が出来る人でも厳しい気がします。）

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円錐と整数問題

2019/05/05

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整数問題って，記憶が正しければ高校でやった気がするのですが，簡単な問題は高校受験でも出るらしい！？
まず中学校の授業では触れられませんが，北海道も何度か出しています。（目立っているのは，2010年度，2017年度です。）

この問題をやる前に，まずこちらの簡単（？）な問題で，学習してみてください。

今回の問題は，やたら塾業界で流行っている，「側面積を一発で出す公式」の証明が出てきます。自信満々に教えている塾には要注意。
（こんな変な問題でもない限り）使わない！
って言ってみたけど，教えざるを得ない状況がたくさんあるのも事実なので，自信満々に「この公式のみを教えている先生はクソだ！」なんて言ってはいけませんよ。やる気ある生徒なら，嬉々として証明してくれますよ。

円錐と整数問題
範囲：中1図形，中3計算　難易度：★★★★★　目標時間：9分

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因数分解型整数問題

2019/05/05

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整数問題って，記憶が正しければ高校でやった気がするのですが，簡単な問題は高校受験でも出るらしい！？
まず中学校の授業では触れられませんが，北海道も何度か出しています。（目立っているのは，2010年度，2017年度です。）

塾などでは1回は触れられるかもしれませんが，せっかくたまたまこのサイトに来てしまったあなた，練習しておきましょう。

因数分解型整数問題
出典：2017年度　慶應義塾志木高校　範囲：中3計算　難易度：★★★★☆

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