2009年度 裁量問題 数学 解説

2019/11/10

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入試前には,どんな入試でも過去問を解いて,本番に備えるでしょう。

北海道の公立高校入試なら,北海道のホームページや,問題集で演習し,解説を読んで理解するのでしょうが,たまに,その解説だけじゃ物足りないということがあると思われます。

昔生徒用に解説を作ったことがあるので,せっかくなので公開していこうと思います。

TITLE:学校裁量問題解説 2009年度

出題内容:規則性,文字式応用(平方根・素因数),確率,関数,作図


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学校裁量問題の問題と解説①
【出典:2009年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1 下の表は,ある規則にしたがってつくった式と,その式の値を,1行目からa行目まで並べたものです。この表のa行目の式の値と(a-1)行目の式の値の差が2009となるとき,aの値を求めなさい。
式 式の値
1行目
2行目
3行目
4行目
5行目
6行目



a行目 1
2+2
3+3+3
4+4+4+4





・ 1
4









問2 1つのさいころを2回投げて1回目に出た目の数をa,2回目に出た目の数をbとします。この
とき,√(432/(a×b)) が整数になる確率を求めなさい。

問3 点Aの座標を(1, -2),点Bの座標を(a, b)とします。a,bはともに正の整数とします。点Oは原点とします。△OABの面積が5となるa,bの値の組を4つ求めなさい。

問4 下の図のように,長さ4 cmの線分ABを直径とする半円があります。点Pをこの半円の周上の点とします。面積が2 cm2で,AP<BPである△PABを,定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし,作図に用いた線は消さないこと。

【解答例】           配点 15点/60点
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問1(4点)
n行目で,nをn回足していることはすぐわかる。よって,a行目の式は,a+a+a+a…=a×a=a^2
a-1行目は,(a-1)^2 差が2009だから,
a^2-(a-1)^2=2009 これを計算して,a=1005
【コメント】
 よくある規則性の問題ですが,非常に易しめです。入試の緊張感の中でも解けなくてはなりません。裁量ってほどでもない。
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問2(4点)
√(432/(a×b))=12√(3/(a×b))
a×b=3×平方数 となれば整数となる。
a×bの6×6表をおとなしく書く。
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
答えは,6/36=1/6
【コメント】
気づけば割と簡単ですが,たぶん数え間違え,素因数分解間違えが起こると思われます。おとなしく表を書きましょう,書かないと余計間違えます。冷静に。
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問3(1点×4)

【出題者が想定した解答】
線分OAの長さは,√(1+4)=√5 だから,BからOAに
垂線を下ろし,その垂線の長さが,2√5となれば良い。

OA⊥OBとなるには,OAの傾き-2だから,直線OBの傾き(※)は,1/2 となる。B(t,1/2 t)と置き,
√(t^2+1/4 t^2 )=√5/2 t=2√5 を解くと,t=4 1点は,
B(4, 2)となる。このBを通る傾き-2の直線を引くと,(等積変形)他の点は,(3, 4)(2, 6)(1, 8)
※2直線が垂直に交わるとき,傾きをかけると-1となる。左下のようにグラフ用紙無しでは難しい。
【増○会とか○成会が教えてそうな解答】
3点(0, 0),(a, b),(c, d)が作る三角形の面積は,
1/2 |ad-bc|
| |は絶対値にしろって記号。 |-2|=2 |573|=573
サラスの公式とか,クロスチョップとかそんな名前が付いています。|-2a-b|は,a>0,b>0だから,
2a+bが10となればよい。
(a, b)=(1, 8)(2, 6)(3, 4)(4, 3)
【コメント】
1個ぐらい思いつくかな。捨て問。
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問4(3点)
Pから線分ABに垂線を下ろし,その垂線の長さが,
1/2×4×1=2 より1 cmになればよい。
ABの垂直2等分線と半円の弧との交点をQとすると,Qと線分ABとの距離は2 cmだから(半径),その半径をさらに垂直2等分線を引いて,AP<BPとなる方に点Pを打てばよい。
【コメント】
 ひらめき力が試される。
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 2008年度まで物凄く簡単だった入試から,急に裁量問題という難しい問題が出題されました。導入初年度なので,難しすぎて騒がれました。今となっては問3以外そこまで難しくないですね(十分な対策がされたため)。


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