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2009年度　裁量問題　数学　解説

2019/11/10

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入試前には，どんな入試でも過去問を解いて，本番に備えるでしょう。

北海道の公立高校入試なら，北海道のホームページや，問題集で演習し，解説を読んで理解するのでしょうが，たまに，その解説だけじゃ物足りないということがあると思われます。

昔生徒用に解説を作ったことがあるので，せっかくなので公開していこうと思います。

TITLE：学校裁量問題解説　2009年度
出題内容：規則性，文字式応用（平方根・素因数），確率，関数，作図

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学校裁量問題の問題と解説①
【出典：2009年度　北海道　高校入試　過去問】
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問1　下の表は，ある規則にしたがってつくった式と，その式の値を，1行目からa行目まで並べたものです。この表のa行目の式の値と（a－1）行目の式の値の差が2009となるとき，aの値を求めなさい。
式式の値
1行目
2行目
3行目
4行目
5行目
6行目
・
・
・
a行目 1
2+2
3+3+3
4+4+4+4
・
・
・
・
・
・ 1
4
・
・
・
・
・
・
・
・

問2　1つのさいころを2回投げて1回目に出た目の数をa，2回目に出た目の数をbとします。この
とき，√(432/(a×b)) が整数になる確率を求めなさい。

問3　点Aの座標を（1, －2），点Bの座標を（a, b）とします。a，bはともに正の整数とします。点Oは原点とします。△OABの面積が5となるa，bの値の組を4つ求めなさい。

問4　下の図のように，長さ4 cmの線分ABを直径とする半円があります。点Pをこの半円の周上の点とします。面積が2 cm2で，AP＜BPである△PABを，定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さないこと。

【解答例】　　　　　　　　　　配点　15点/60点
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問1（4点）
n行目で，nをn回足していることはすぐわかる。よって，a行目の式は，a+a+a+a…=a×a=a^2
a－1行目は，(a-1)^2　差が2009だから，
a^2-(a-1)^2=2009　これを計算して，a＝1005
【コメント】
　よくある規則性の問題ですが，非常に易しめです。入試の緊張感の中でも解けなくてはなりません。裁量ってほどでもない。
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問2（4点）
√(432/(a×b))=12√(3/(a×b))
a×b=3×平方数　となれば整数となる。
a×bの6×6表をおとなしく書く。
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
答えは，6/36=1/6
【コメント】
気づけば割と簡単ですが，たぶん数え間違え，素因数分解間違えが起こると思われます。おとなしく表を書きましょう，書かないと余計間違えます。冷静に。
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問3（1点×4）

【出題者が想定した解答】
線分OAの長さは，√(1+4)=√5 だから，BからOAに
垂線を下ろし，その垂線の長さが，2√5となれば良い。

OA⊥OBとなるには，OAの傾き－2だから，直線OBの傾き（※）は，1/2 となる。B(t,1/2 t)と置き，
√(t^2+1/4 t^2 )=√5/2 t=2√5 を解くと，t＝4　1点は，
B（4, 2）となる。このBを通る傾き－2の直線を引くと，（等積変形）他の点は，（3, 4）（2, 6）（1, 8）
※2直線が垂直に交わるとき，傾きをかけると－1となる。左下のようにグラフ用紙無しでは難しい。
【増○会とか○成会が教えてそうな解答】
3点（0, 0），（a, b），（c, d）が作る三角形の面積は，
1/2 |ad-bc|
| |は絶対値にしろって記号。 |－2|＝2　|573|＝573
サラスの公式とか，クロスチョップとかそんな名前が付いています。|-2a-b|は，a>0，b>0だから，
2a＋bが10となればよい。
（a, b）=（1, 8）（2, 6）（3, 4）（4, 3）
【コメント】
1個ぐらい思いつくかな。捨て問。
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問4（3点）
Pから線分ABに垂線を下ろし，その垂線の長さが，
1/2×4×1=2 より1 cmになればよい。
ABの垂直2等分線と半円の弧との交点をQとすると，Qと線分ABとの距離は2 cmだから（半径），その半径をさらに垂直2等分線を引いて，AP＜BPとなる方に点Pを打てばよい。
【コメント】
　ひらめき力が試される。
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　2008年度まで物凄く簡単だった入試から，急に裁量問題という難しい問題が出題されました。導入初年度なので，難しすぎて騒がれました。今となっては問3以外そこまで難しくないですね（十分な対策がされたため）。

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