球が内接(2019年度沖縄県)

2020/10/16

-スポンサーリンク-

三平方さえ何とかすれば,ぎり中学入試でも出せそうな,そんな問題。

なので,範囲が短くなった今年の入試でもなんとか出せる貴重な立体問題です,一度解いておきましょう,解かせておきましょう。


第33回芸術的な難問高校入試
「球が内接」
出典:平成31年度 沖縄県 高校入試 過去問
URL:https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/okinawa/2019/math/question08.html

<問題>
kyu1.png



<PDF,解答例はこちら↓>

comment (-) @ 立体図形

円錐の軌跡の良問(2019年度立川高校)

2020/08/30

-スポンサーリンク-

空間図形の良問です。平成31年度入試の立川高校。

円錐という題材だけで,様々な方向から知識を問うています。

特に,問1,2は中3図形の知識がほとんど必要ないので,範囲が大幅削除された今年度の入試でも大いに有効活用できます。

一度解いておいて損はない!?

※(PDFは下のmoreをクリックすると表示されます)

第30回芸術的な難問高校入試
「円錐の軌跡の良問」
出典:2019年度 東京都立 立川高校 過去問(独自作成校)
URL:http://www.tachikawa-h.metro.tokyo.jp/zen/06005.html
※以前は平成19年度まであったけど,消されちゃいましたね......まあ仕方ないか。

図1は,底面の半径がr cm,母線の長さが a cmの円すいを,頂点Oを中心として,側面が平面上をすべらないように出発地点Aから転がす様子を表している。次の各間に答えよ。

図1
スライド1

問1 
図1において,出発地点Aから転がり始めた円すいが,頂点Oのまわりをちょうどm周し,円すいがちょうどn回転したところで,出発地点Aに止まった。ただし,m,nは自然数とする。これを満たすrとaの値の組を,次の①~⑤から全て選び,番号で答えよ。
①,r=3,a=8     ②,r=2.5,a=7.6
③,r=2,a=2√5 ④,r=√2,a=3√2
⑤,r=1,a=2π

問2 
図2は,図1に おいて,r=1,a=√2の場合を表している。円すいが,頂点0のまわりをちょうど1周する間に,円すいの底面の円周が通過してできる曲面の面積は何cm2か。

図2
スライド2

問3
図3に示した立体は,底面の半径がl cm,母線の長さが4 cmの円すいVと,底面の半径がl cm,母線の長さが3 cmの円すいWの2つの円すいの底面をぴったり貼り合わせてできた立体である。  
図4は,図3に示した立体を,円すいVの頂点Oを中心として,円すいVの側面が平面上をすべらないように転がす様子を表している。この立体が,頂点Oのまわりをちょうど1周する間に,円すいWの頂点Pが描く曲線の長さは何cmか。ただし,答えだけでなく,答えを求める過程が分かるように,途中の式や計算なども書け。

図3
2019tachikawa.jpg
図4
スライド3


解答例等はコチラ↓

comment (-) @ 立体図形

立体線分比と軌跡(オリジナル)

2020/08/24

-スポンサーリンク-

「中1でも解ける空間図形」と題して可能な限り問題を集めたり作ったりしていますが,よくよく考えたら,北海道は元から立体図形の出題が少ないですね。問題作るの大変なんでしょうね。


今回は,私が作成した平成30年度の予想問題から抜粋。自分で作っておいて自分で好きな問題です。

~その予想問題~

https://hokkaimath.jp/blog-entry-47.html

(2)なら,ギリギリ相似以降カットの入試でも解けなくもない......?

立体線分比
範囲:中3図形,平方根 難易度:★★★★☆


1辺が6 cmの立方体ABCD-EFGHがあります。線分EF上に,PQ=2x cmとなる点P,QF=x cmとなる点Qを取ります。点Qを通り,正方形BCGFと平行な平面と,辺PB,辺PG,辺PCとの交点をそれぞれ点I,点J,点Kとします。次の問いに答えなさい。

rittai.png


(1)立方体ABCD-EFGHの体積Vが,立体QIKJ-FBCGの体積Wの5倍となるとき,xの値を求めなさい。

(2)xを0≦x≦2の変域で変化させます。このとき,線分DKが動いてできる図形の面積を求めなさい。ただし,x=0のとき,点Kは,正方形BCGFの内部にあり,CK:KF=1:2となる位置にあるとします。

PDFはmoreをクリック!

comment (-) @ 立体図形

中1空間図形の知識だけで解ける?(2018年度立川高校)

2020/08/23

-スポンサーリンク-

このブログでも何度か紹介しましたが,全国的に高校受験の範囲が削られております。

特に中3の三平方がカットされたので,空間図形の問題を作成するのが非常に難しい......。

そんな中,中1の知識だけで解ける立体図形の問題を紹介します。問3だけですが。中1だけの知識なので楽かと思いきや......?

第29回芸術的な難問高校入試
「四角錐の軌跡」
出典:2018年度 東京都立 立川高校 過去問(独自作成校)
URL:http://www.tachikawa-h.metro.tokyo.jp/zen/06005.html
※以前は平成19年度まであったけど,消されちゃいましたね......まあ仕方ないか。

下の図のように,1辺の長さが6 cmの立方体ABCD-EFGHがあります。点Pは,正方形ABCDの辺上を動く点です。次の問いに答えなさい。

30tachi.png


問1 点Pが辺AB上にあり,AP:PB=2:1のとき,四角錐P-EFGHの辺の中で,最も長い辺の長さは何cmか。

問2 点Pが辺CD上にあるとき,四角錐P-EFGHの側面積が最も小さくなる場合の四角錐P-EFGHの側面積は何cm2か。ただし,答えだけでなく,答えを求める過程が分かるように,途中の式や計算なども書け。

問3 点Pが,正方形ABCDの辺上をA→B→C→D→Aと1周するとき,四角錐P-EFGHが動いて出来る部分の体積を求めよ。





解答,およびPDFはmoreをクリック!





comment (-) @ 立体図形

発想と勘(2020年度日比谷高校)

2020/05/30

-スポンサーリンク-

もともと北海道の高校入試数学対策サイトとして作ったこのサイトですが,都道府県別アクセス数は北海道よりも他県の方が多いという。(東京,愛知,何故か新潟が多い。人口?)

ということで,気ままに高校入試の難問,ちょっとおもしろい問題を紹介していきます。

後ジャンル変更します。

久々に日比谷の問題の解説でもしてみます。日比谷の立体問題,計算が面倒臭いイメージしかありませんでしたが,今年度のは計算「は」楽ちんですね。ただ発想,細かい記述が厳しい。

問題の出典:日比谷のホームページ

第24回芸術的な難問高校入試
「発想と勘」
出典:2020年度(令和2年度)東京都立日比谷高校 過去問
範囲:立体図形,相似,三平方の定理
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1Db819fisxMN_SaGvy3HzFZVZAyOrVajE/view?usp=sharing

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

<検索コード>

芸術的な高校入試第24回
出典:2020年度 日比谷高校
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
 図1に示した立体OABCは,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA,OA=OB=6 cm,OC=8 cmの四面体である。次の各問に答えよ。
図1

問1 辺ABの中点をDとし,頂点Cと点Dを結び,線分CDの中点をEとし,点Eから平面OABに垂直な直線を引き,平面OABとの交点をFとし,頂点Oと点Fを結んだ場合を考える。線分OFの長さは何cmか。





問2 図2は,図1において,辺BC上にある点を点Gとし,頂点Oと点G,頂点Aと点Gをそれぞれ結んだ場合を表している。△OAGの面積が最も小さくなる場合の面積は何cm2か。ただし,答えだけでなく,答えを求める過程が分かるように,途中の式や計算なども書け。











































問3 図3は,図1において,辺OA上にある点をH,辺OB上にある点をIとした場合を表している。
OH=2 cm,OI=5/2 cmのとき,点Hを通り,辺
  OBに平行な直線と,点Iを通り辺OAに平行な直線との交点をJとする。点Jを通り,辺OCに平行な直線と平面ABCとの交点をKとし,点Kと頂点O,点Kと頂点A,点Kと頂点B,点Kと頂点Cをそれぞれ結ぶ。
   四面体KOABの体積をV cm3,四面体KOACの体積をW cm3とする。このとき,V:Wを最も簡単な整数の比で表せ。


























































【解答例】
問1(7点)
図より,点Fは点Eは線分ODの中点である。OD=3√2 cmなので,
OF=OD/2=(3√2)/2 cm




問2(10点)
OA⊥OB,OA⊥OCより,OA⊥平面OBCであるから,∠AOG=90°となる。△OAGで底辺をOAとすると,OGが高さとなる。よって,OGが最小のとき,△OAGの面積も最小となる。
OGが最小のとき,OG⊥BCである。
△OBC=1/2×6×8=24 cm^2
BC=√(6^2+8^2 )=10 cmだか
ら,
24=1/2×10×OGより,
OG=24/5 cm OA=6 cmだから,
△AOG=1/2×6×24/5=72/5 〖cm〗^2

問3(8点)
四面体KOABにおいて,底面を△OABとすると,高さはKJとなる。
HからOAに垂直な直線引き交点L,HJを延長し,ABとの交点をMとする。
(相似色々計算して)
LH=16/3 cm,
LM=10 cm,HM=4 cm
である。

JM=4-5/2=3/2 cmであるから,△LHM∽△KJM
より,LH:KJ=HM:JM
16/3:KJ=4:3/2 KJ=2 cm
よって,四面体KOABの体積は,
V=1/3×1/2×6×6×2=12 cm^3
四面体KOACは,△OACを底面とすると,高さはJH
となる。(Kから平面OACに垂線を下ろすと,平行で長さ等しくなる)
よって,
W=1/3×1/2×6×8×5/2=20 cm^3
V:W=12:20=3:5

※問1と問3は,簡単な説明を省いている。

【コメント】
 日比谷にしては計算が面倒臭くない立体図形問題です。「計算が面倒臭くない」=「問題が簡単」というわけではありません。問1~3,閃きというか,発想力が試されます。そして受験では「まあこうだろうな」
と信じて突き進む力も試されますね。(特に問3,説明はやたら長いが,勘を信じれば素早く解ける)
 日比谷の模範解答は,やたらと問2記述してありますね。相似の証明は不要な気がしますが「OA⊥OB,OA⊥OCより,OA⊥平面OBC」だから∠AOG=90°の説明は必須でしょう。
 計算は短いですが「最初に何やっていいかわからない」沼にはまりそうな問題です。



comment (-) @ 立体図形

立方体切断で五角形(2019年度函館有斗)

2020/01/13

-スポンサーリンク-

函館の私立高校の過去問を見る機会があり,色々見ていたら面白い典型問題を発見。

さらっと(2)が難しいです。切断面が分かっても,普通にその面積を求めるのは結構きつい。

立方体切断の話で,もっと詳しいのは,2016年度北海道裁量問題解説で行っております。よろしければご覧ください。

私立はさらっと難しい問題を出してきます。いかに難易度を見極めるか大事。難易度を見極めるためにも,普段から難問にそれなりに挑戦しましょう。

立方体切断で五角形
範囲:中3三平方の定理 中1空間図形 目標時間:8分
出典:2019年度 函館大学附属有斗高校 過去問

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1LR72c2HnkobOAKqDx5StLhsSpVhPNZQH




立方体切断で五角形
範囲:空間図形・三平方 難易度:★★★★★
得点    /7
出典:2019年度 函館有斗高校
 下の図のように,一辺の長さが4 cmの立方体ABCD-EFGHがあります。辺BC,CDの中点をそれぞれM,Lとします。次の問いに答えなさい。

(1)線分EMの長さを求めなさい。
(2)3点E,M,Lを通る平面で立方体を切断すると,切り口は五角形となります。この五角形の面積を求めなさい。




























































立方体切断で五角形 解答例
範囲:空間図形・三平方 難易度:★★★★★
問1(3点)

MからFGに垂線を下ろし,交点をNとする。
△EFNで,EF=4 cm,FN=2 cmだから,
EN=√(16+4)=√20=2√5 cm
MN=BF=4 cm(長方形ができるから)
△EMNで,
EM^2=20+16=36 EM=6 cm

問2(4点)
次のように切断面ができる。

M―O―Pの線は,最短距離となるように引かれる。
したがって,図に書くと,次のようになる。

EM=√(16+36)=√52 より,OM=√52/3
同様に,PL=√52/3
LM=2√2 OE=PE=(2√52)/3
四角形OPLMと△EOPに分けて考える。
OP=4√2
・四角形OPLM
OP//LMより,四角形OPLMは台形。
MからOPに垂線を下すと,垂線は,
√(52/9-2)=√34/3
四角形OPLM=1/2×(2√2+4√2)×√34/3=2√17 cm^2
・△EOP
EからOPに垂線を下すと,垂線は,
√(208/9-8)=(2√34)/3
△EOP=1/2×4√2×(2√34)/3=(8√17)/3 cm^2
したがって。五角形の面積は,
2√17+(8√17)/3=(14√17)/3 〖cm〗^2

【コメント】
 函館の私立高校の過去問を見る機会があったので,
作成してみました。(1)は易しいですが,(2)はとても難しい。たぶん目的は「難しい問題と気づいて次の問題に行けるか」です。この次の問題は関数なのですが,とても簡単です。
 立方体切断,忘れたころにどの高校入試でも出題されます。北海道の公立高校入試では,2016年度。
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-88.html
 上記で「立方体切断の方法」について詳しく解説しておりますので,この解説だけで物足りなかったらどうぞご覧ください。





comment (-) @ 立体図形

正六角柱(2018年度日比谷高校改題)

2020/01/01

-スポンサーリンク-

あけおめです。

新年早々,異常に難しい問題をご紹介します。2018年度日比谷高校の過去問を元に作成しました。

問1はオリジナル,問2は日比谷の問題を少しアレンジ。いかに立体を平面で考えるかが重要です。

こんなに難しい問題は,北海道では100%出ませんね。

日比谷と,北海道の札幌南は,同じ公立同士だからか?よくセンター試験の平均点で競い合ったり,授業見学をしたりしているらしいです。確かにどちらも公立TOPだけど,日比谷は周りに東京開成だの,有名私立ある中で,生徒募集で戦っていますからね。どう考えても南の方が有利?(札幌は南以外のTOP高校と言ったら,北と北嶺ぐらい?)


正六角柱
範囲:中3三平方の定理 中1空間図形 目標時間:??分
出典:2018年度 日比谷高校 過去問 改題
URL:http://www.hibiya-h.metro.tokyo.jp/SelectedEntrants/TestTheme.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1L659K3xgDDduWJXZpZs46cICgz-xOCHk


<検索用コード>

正六角柱
範囲:中3三平方の定理 難易度:★★★★★++
得点   /10
以下の図のように,AB=6 cm,AG=a cmの正六角柱ABCDEF-GHIJKLがあります。辺GH上に点M,辺CI上に点Nを取ります。次の問いに答えなさい。

問1 a=4とします。三角錐E-BGIの体積を求めなさい。

問2 a=9,GM=4 cm,CN=x cm,∠ENM=90°とします。xの値を求め,△EMNの面積を求めなさい。
























































正六角柱 解答例
範囲:中3三平方の定理 難易度:★★★★★++
問1(8点)
△BGIは,BG=BI=√(36+16)=2√13,GI=6√3の二等辺三角形。【辺の長さの2乗各1点】
BからGIに垂線を下ろすとその垂線の長さは,
√(52-27)=5 cm 【1点】
よって,
△BGI=1/2×6√3×5=15√3 cm^2 【1点】
次に,△BGIを底面としたときの高さEYを考える。
GIの中点をXとする。【中点Xを考える 1点】
(△GHIは,GH=HI=6,∠GHI=120°の二等辺三角形なので,)HX=3,(中点連結定理より,HK=12なので,)KX=9となる。すると,
EX=√(81+16)=√97 BX=√(9+16)=5となる。
BY=yと置くと,XY=5-y
EY^2=97-(5-y)^2=144-y^2 【方程式1点】
これを解いて,y=36/5
EY=√(144-1296/25)=√(2304/25)=48/5 cm 【1点】
したがって,体積は,
1/3×15√3×48/5=48√(3 ) cm^3 【1点】


問2(6点)
△GMKで,GK=6√3 cmだから,
KM=√(16+108)=2√31 cm 【1点】
△EKMで,
EM=√(124+81)=√205 cm 【1点】
点Iから直線MHに垂線を下ろし交点をOとする。
∠IHM=120°だから,IO=3√3 cm,HO=3 cm
MI=√(25+27)=√52 cm 【1点】
CN=xだから,NI=9-x
EN=√(108+x^2 )
MN=√(52+(9-x)^2 )
EM^2=EN^2+MN^2 より,
205=108+x^2+52+(9-x)^2 【式1点】
整理して,x^2-9x+18=0 (x-6)(x-3)=0
0EN=√126=3√14,MN=√98=7√2となるから,
△EMN=1/2×3√14×7√2=1/2×42×√7
=21√(7 ) cm^2【1点】

【コメント】
 2018年度日比谷高校の過去問をもとに,問2はややアレンジ,問1は作ってみました。
 こんなに面倒くさい体積問題は,日比谷(と都立西?)でしか出せません。いったい何人ぐらいの受験生が解けるのでしょう,気になるな。



comment (-) @ 立体図形

接する球(2018年度愛知県B)

2019/12/27

-スポンサーリンク-

2018年度愛知県Bの問題です。

こういう問題といい,愛知県の問題は,入試の都合上,長い問題を作ることができません。北海道の裁量問題みたいな小問集合を練習するにはちょうど良い問題がたくさんあります。時間との闘いで大変そう......。

円と接線の図形的知識は常識です。慣れておきましょう。マナペディアなどでさらっと確認しておきましょう。

接する球
範囲:中3三平方の定理,中1空間図形 目標時間:6分
出典:2018年度 愛知県 高校入試 過去問
URL:https://www.zenkenmoshi.jp/nyushi/nyushi.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1tUqULVVtqxoB2VmtMKBUxyuB7s8P1Ddq

<検索用コード>

接する球
範囲:中3立体図形 難易度:★★★★☆
得点    /7
出典:2018年度愛知県B
下の図は,A,B,C,D,E,Fを頂点とする立体は底面の△ABC,△DEFが正三角形の正三角柱です。また,球Oは正三角柱ABCDEFに丁度入っています。球Oの半径を2 cmとするとき,次の問いに答えなさい。


(1)球Oの表面積を求めなさい。
(2)正三角柱ABCDEFの体積を求めなさい。


























































接する球 解答例
範囲:中3立体図形 難易度:★★★★☆
(1)(3点)
4πr^2=4π×2^2=16π cm^2
(2)(4点)
球の断面図のうち,中心Oを通る円は,正三角形に接する。

上の図で考える。ある点から円へ接線を引くと,長さは等しくなる。よって,上の図の場合,△PSO≡△PUOなので,OS=2 cm,∠OPS=30°,∠OSP=90°だから,OP=4 cm,よって,OR=4 cm。RS=6 cm。
PS=SQ=2√3 cmなので,底面積は,
1/2×4√3×6=12√3 cm^2
立体の高さは球の直径なので,4 cm。
答えは,48√3 〖cm〗^3
















【コメント】
 ちょうどよい問題です。(1)が解けるのは当たり前として,(2)は「円が内接する三角形」について,三平方の定理や円周角で色々な問題を解いておけば,解けるはず。(ただし,計算ミスは多発!?)

【何となく似ている問題】
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-66.html
→ひたすら難しい相似証明
 接線関連の問題
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-90.html
→2019年度中3第4回道コン
 だいぶえげつない問3
 上記2つともえげつない難易度なので注意。

 最低限,この愛知県の問題は解けるようにしておくと,よいことあります。


comment (-) @ 立体図形