積分における1/6公式

2019/12/10
カテゴリ:@ 大学入試

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数学2の積分においては,1/6公式,偶関数など,テクニックが結構存在します。

好き嫌い分かれますが,ただ覚えるだけではだめです,どうしてそうなるのか?を覚えていないと,結局公式を使いこなせません。たぶん。

1/6公式は,部分積分で証明するのがよいですね。どうせ理系は後でやるので早めにやっておいた方がよいでしょう。

色々紹介したPDFを,生徒用に作ってみたので,貼っておきます。


TITLE:積分における1/6公式

範囲:数学2の積分

out_of_gravity.pdf




極値と変曲点の幾何学 (2016年度北海道大)

2019/12/07
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数学2の微分分野でよく出題されるのが,3次関数です。

3次関数では,次のような幾何学的性質があり,知っているとごくたまに役に立ちます。

①,変曲点の座標は,極大点と極小点の中点
②,変曲点まわりの主要部が,横4個,縦2個の合同な平行四辺形で埋め込まれる。


<例>
bibun_1.jpg


極大値と極小値の中点が,変曲点となります。また,極値から接線を引き,他の交点を考えると,合同な長方形で埋め込まれます。(簡単な計算で,座標を求めることができる!)

bibun_2.jpg

極値だけでなく,任意の接点でも扱えます。

任意の接点から接線を引く。引いた接線の傾きと同じになる他の接点を見つけ,接線を引く。変曲点からも同じ傾きの直線を引く。すると,この場合も,合同な平行四辺形で埋め込まれ,接点の中点が,変曲点となる。

接点と変曲点について証明させた問題が,次の問題です。紹介しておきます。

TITLE:極値と変曲点の幾何学

出典:2016年度 北海道大学 過去問 範囲:微分



<PDF,解答例はこちら↓↓>



最終手段座標設定【2016年度北海道大学】

2019/11/13
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大学入試で図形問題が出た時,様々な解法があります。今の過程だと,数Aの幾何的に解く,数2の図形と方程式を利用する,数Bのベクトル,数3の複素数平面がありますね。

解けないとき,最終手段として,数2の図形と方程式があります。計算量は多くなりますが,機械的に解くことが出来ます。こういうところで介されています。

大抵は,60°や45°など,有名角が出てくると使いやすいですね。


ちなみに中学数学でもたまに使えます。(そのうち問題紹介します。)

今回は,2016年度北大の問題で,例を紹介します。模範解答は他のサイト見てください。(笑)

TITLE:最終手段座標設定

出典:2016年度 北海道大学 過去問 範囲:三角比,三角関数,ベクトル


<PDF,解答例はこちら↓↓>



2004年度 センター試験1A 数列

2019/10/28
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センター試験にしては,大変易しい問題です。2003や2005は,問題数は少ないのですが,何か「?」となる問題が多めなのに対し,2004は問題数も少なく,非常に解きやすい。珍しい年なので紹介しておきます。

TIITLE:易しい数列の問題
出典:2004年度センター試験1A 本試験 過去問

2004 センター試験 数列 簡単 基礎


<PDF,解答例はこちら↓↓>



三角関数で落とし穴【1998年度センター試験2B】cos型合成

2019/10/10
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sinの方の公式は覚えているけど,cos合成は覚えていない!思わぬ落とし穴!
と言いたいところですが,合成の導出をしっかりやっていれば解ける問題。でも平均点は低く,センター試験史上2番目に低い。
上位(下位?)3位に共通することは,

「平均点が低いとき,三角関数が難しい!」


ということ。基本的に簡単な三角関数が難しくなると,悲劇をうむ。

「1998年度 センター試験 数2B 三角関数」

<問題>
※現行課程に合わせて,rad表記にしている。
1998 センター試験 数学2B 三角関数 難問


<PDF,解答解説はこちら↓>



作問者はたぶんそれを基礎事項だと思っている【2004年度センター2B】

2019/10/10
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センター試験史上3番目に平均点が低い,2004年度数学2B。TOP(ワースト?)3の問題に共通なことは,

三角関数が難しい

である。基本的に三角関数何て,公式を適用していけばちゃらんぽらんに簡単な問題ばかりなのだが,この問題は下手したら最初でやられる。正攻法意外に,2つほど解法があるので,何が何でも思いついたものが勝ち。

2004 センター試験 数学 2B 三角関数


<PDF,解答例はこちら↓↓>