積分における1/6公式

2019/12/10

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数学2の積分においては,1/6公式,偶関数など,テクニックが結構存在します。

好き嫌い分かれますが,ただ覚えるだけではだめです,どうしてそうなるのか?を覚えていないと,結局公式を使いこなせません。たぶん。

1/6公式は,部分積分で証明するのがよいですね。どうせ理系は後でやるので早めにやっておいた方がよいでしょう。

色々紹介したPDFを,生徒用に作ってみたので,貼っておきます。


TITLE:積分における1/6公式

範囲:数学2の積分

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1yO8QvY-b1V8dmWQPEZmjt4rZnsJ6BQwL

今回,実験的に紙のサイズを変えてみました。こうすることにより,パソコン,スマホ上では,PDFが見やすいですね!反面,印刷には不向きですが......まあいいでしょう。元に戻しました。

<検索用コード>


<例1>
y=2x^2-x-3とy=x+1で囲まれた部分の面積Sを
求めよ。

<クソ真面目に解く>
y=2x^2-x-3とy=x+1との交点は,
2x^2-x-3=x+1 これを解いて,x=-1,2
-1≤x≤2で,2x^2-x-3≤x+1だから,
S=∫_(-1)^2▒{(x+1)-(2x^2-x-3)}dx
=∫_(-1)^2▒(-2x^2+2x+4) dx=-2[x^3/3-x^2/2-2x]_(-1)^2
=-2{(8/3-2-4)-(-1/3-1/2+2)}
=-2(-9/2)=9
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しかし,直線と放物線で囲まれた面積を求めることがあまりにも多すぎて,次のような大学入試史上最も有名な裏技が存在する。
<1/6公式を用いた解答>
S=∫_(-1)^2▒{(x+1)-(2x^2-x-3)}dx
=∫_(-1)^2▒(-2x^2+2x+4) dx=-2∫_(-1)^2▒(x^2-x-2)dx
=-2∫_(-1)^2▒〖(x+1)(x-2)〗 dx
 交点を求める際に,x=2,x=-1と解を出しているので,こう因数分解できるのは当然である。
 ここで,以下の公式を用いる。
∫_α^β▒〖(x-α)(x-β)〗 dx=-1/6 (β-α)^3
<上記の証明>
∫_α^β▒(x-α)(x-β) dx ※部分積分!
=[(x-α)^2/2 (x-β)]_α^β-∫_α^β▒〖(x-α)^2/2 dx〗
=0-1/2 [(x-α)^3/3]_α^β=-1/6 (β-α)^3
<解答の続き>
-2∫_(-1)^2▒(x+1)(x-2) dx
=-2∙(-1/6) (2+1)^3=54/6=9
と,大変簡単な計算で求めることができる。
 ちなみにセンターとか穴埋めなら使い放題。東北大に関しては,断り入れてから使った方がよい?
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<慣れるために演習問題>
【1】次を求めなさい。
(1) y=x^2-2x-3とx軸で囲まれた部分の面積






(2)y=x,y=4x-x^2で囲まれた部分の面積











【解答】(1) 32/3 (2) 9/2
【2】次のような問題でも,1/6公式が計算していると出てくるので,用いてみなさい。
(1) y=x^2-2 と,y=-x^2-2x+2で囲まれた部分の面積















(2) y=x^3-xと,y=x^3-3x^2+2xで囲まれた部分の面積



















【解答】(1) 9 (2) 1/2
・y=x^2-2と,y=-x^2-2x+2のグラフ

交点を求める際,x^2-2=-x^2-2x+2
2x^2+2x-4=0 2(x+2)(x-1)=0
と,二次方程式の形になる。
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・y=x^3-xと,y=x^3-3x^2+2xのグラフ

こちらも,x^3-x=x^3-3x^2+2x
3x^2-3x=0 3x(x-1)=0
と,二次方程式の形になる。
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 上記のように,「直線と曲線」または,「曲線と曲線」で囲まれた部分の面積において,交点βから交点αまで積分するときは,積分計算の中で,
∫_α^β▒〖(x-α)(x-β)〗 dx=-1/6 (β-α)^3
を用いることができる。常識らしい!
 ちなみに,もっと一般化して,瞬殺できる公式もあるにはあるが,あまり頼りすぎるのもアレなので,載せない。上記が使えていれば,よほどのことがない限り十分。あまりにも気になるなら,ググろう。
 


 放物線,接線とy軸に平行な直線に囲まれた部分の面積にも,裏技的公式が存在する。
<例1>
 C:y=x^2-4x+3 のx=5における接線lを引く。x=2と,C,lで囲まれる部分の面積を求めよ。

<真面目に解く>
y^'=2x-4より,x=5を代入して,y^'=6,x=5における接線の方程式は,y^'=6(x-5)+8=6x-22
求める面積は,
∫_2^5▒{(x^2-4x+3)-(6x-22)}dx
=∫_2^5▒〖(x^2-10x+25〗)dx
=∫_2^5▒(x-5)^2 dx=[(x-5)^3/3]_2^5=-(-27/3)=9
 接線(重解)を扱うことから,積分する関数は( )^2の形になることは当然である。
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 この( )^2の形を利用して,次のように一般化できる。
 C:y=ax^2+bx+c から,x=β における接線lを引
く。a>0,β>αとし,C,l,x=α によって囲まれる部分の面積を求める。
 y^'=2ax+b なので,x=β における接線の方程式は,y=(2aβ+b)(x-β)+aβ^2+bβ+c すなわち
y=(2aβ+b)x-aβ^2+c
 求める面積は,
∫_α^β▒{ (ax^2+bx+c)-(2aβ+b)x-aβ^2+c}dx
=∫_α^β▒(ax^2-2aβx-aβ^2 ) dx
=a∫_α^β▒〖(x-β)^2 dx〗=a∙1/3 [(x-β)^3 ]_α^β=-a/3 (α-β)^3
=a/3 (β-α)^3 ※y=ax^2 の場合に限定して証明も可
 接線がるので重解を持つ。そのため上記のようにきれいな式となる。時間短縮などのために,知っておくと,たまによいことあるかもしれないし,悪いかもしれない。(受験サイトによると常識らしい)たいていの問題は,接線と,y軸に囲まれているので,α=0 とすればよい。(積分区間はその都度確かめて)
<非記述式で解く>
1/3 (5-2)^3=9
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 ちなみに,aが負でも使える。
<例2>
 C:y=〖-2x〗^2+4x+6 のx=-2における接線lを引く。x=2と,C,lで囲まれる部分の面積を求めよ。

<普通に解く>
y^'=-4x+4より,x=-2を代入して,y^'=12
接線の方程式は,y^'=12(x+2)-10=12x+14
求める面積は,
∫_(-2)^2▒{(12x+14)-(-2x^2+4x+6)}dx
=∫_(-2)^2▒{2x^2+8x+8}dx=2∫_(-2)^2▒(x+2)^2 dx
=2[(x+2)^3/3]_(-2)^2=128/3
最後の式の形が,a/3 (β-α)^3 となっていますね。aが
負の場合は,aを絶対値としてください。
<演習問題> ※普通に解いてもよい
※4STEPにこれを使う問題がなかった!
(1) y=1/2 x^2-x+1/2 とその上の点(3,2)における接線とy
 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。











(2) y=1/2 x^2-2x+2とy=1/4 x^2-2とy軸で囲まれた面
 積を求めよ。






















【解答】(1) 9/2 (2) 16/3

 そこまで強力じゃない気がするので,やめた。(気になるならググりましょう!)
 しかし,調べているうちに,これは教えておこうかと。
①,放物線における,2つの接線の交点のx座標は,2つの接点の平均

<証明せよ>
放物線を平行移動して,y=ax^2の場合に限定しても一般性を失わない。



















【証明例】
A(p,ap^2 ) B(q,aq^2 )における接線の方程式は,
y=2apx-ap^2, y=2aqx-aq^2
交点のx座標は,
2a(p-q)x=a(p^2-q^2 ) a≠0,p≠qだから,
2x=p+q x=(p+q)/2 となる。
②,左右の面積等しい

要は,緑と紫の部分の面積が等しくなる。
<証明例>
放物線を平行移動して,y=ax^2の場合に限定しても一般性を失わない。
A(p,ap^2 ) B(q,aq^2 )における接線の方程式は,
y=2apx-ap^2, y=2aqx-aq^2
2直線の交点のx座標は (p+q)/2 となるから,
求める面積は,
左側=∫_((p+q)/2)^p▒(ax^2-2apx-ap^2 )dx
=a∫_((p+q)/2)^p▒(x^2-2px-p^2 )dx=a∫_((p+q)/2)^p▒〖(x-p)^2 dx〗
=a/3 [(x-p)^3 ]_((p+q)/2)^p=-a/3 ((q-p)^3/2)=a/24 (p-q)^3
右側=∫_q^((p+q)/2)▒(ax^2-2aqx-aq^2 )dx
=a∫_q^((p+q)/2)▒〖(x-q)^2 dx〗=a/24 (p-q)^3
これを利用すると,放物線と2接線で囲まれた部分の面積は,(結局載せるという)
a/12 (p-q)^3
になるというこれまた裏技が登場する。
<演習問題>
y=1/2 x^2 とその上の点(-1,1/2),(2,2)における2本の
接線で囲まれた面積を求めよ。













【解答】 9/8
 結局1/3公式を2回使っているだけなので,無理して覚えなくてよいと思う。

関数y=f(x)が
奇関数(原点対称)なら,f(x)=-f(-x)
例:y=x,y=〖2x〗^3,y=sin⁡x
偶関数(y軸対称)なら,f(x)=f(-x)
例:y=a,y=x^2,y=cos⁡x
 積分区間がy軸対称なら積極的に使っていきたい。
<例1>
 y=x^2と,x=±α,x軸で囲まれた部分の面積

関数がy軸対称なのだから,右側の面積と左側の面積が等しくなる。したがって,面積は,
∫_(-α)^α▒x^2 dx=2∫_0^α▒x^2 dx=2[x^3/3]_0^α=2/3 α^3
-----------------------------------------------------------------------
<例2>
定積分∫_(-α)^α▒〖3x^3 〗 dx

関数が原点対称なのだから,右側の面積と左側の面積で相殺される!
∫_(-α)^α▒〖3x^3 〗 dx=0
※面積を求めるなら,絶対値付けるなり,2倍するなり。絶対値の扱いに関しては4STEPで頑張って!
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 これじゃあごく限られた関数しか役に立たないではないか!と思ったでしょうが,積分の足し算引き算は認められている。
<例3>
 次の定積分を計算せよ。
∫_(-1)^1▒(4x^3-3x^2-14x+7)dx
=∫_(-1)^1▒〖4x^3 〗 dx-∫_(-1)^1▒〖3x^2 dx〗-∫_(-1)^1▒14x dx+∫_(-1)^1▒7dx
=0-2∫_0^1▒〖3x^2 〗 dx-0+2∫_0^1▒7dx
=-2[x^3 ]_0^1+2[7x]_0^1=12
 このように,奇関数を排除出来て,とっても気持ちがよい!


<演習問題> 次の定積分をせよ。
(1) ∫_(-2)^2▒(5x^4-4x^3 )dx















(2) ∫_(-π)^π▒(x^2-x+sin⁡x )dx




















【解答】(1) 64 (2) 〖2π〗^3/3




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極値と変曲点の幾何学 (2016年度北海道大)

2019/12/07

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数学2の微分分野でよく出題されるのが,3次関数です。

3次関数では,次のような幾何学的性質があり,知っているとごくたまに役に立ちます。

①,変曲点の座標は,極大点と極小点の中点
②,変曲点まわりの主要部が,横4個,縦2個の合同な平行四辺形で埋め込まれる。


<例>
bibun_1.jpg

極大値と極小値の中点が,変曲点となります。また,極値から接線を引き,他の交点を考えると,合同な長方形で埋め込まれます。(簡単な計算で,座標を求めることができる!)

bibun_2.jpg

極値だけでなく,任意の接点でも扱えます。

任意の接点から接線を引く。引いた接線の傾きと同じになる他の接点を見つけ,接線を引く。変曲点からも同じ傾きの直線を引く。すると,この場合も,合同な平行四辺形で埋め込まれ,接点の中点が,変曲点となる。

接点と変曲点について証明させた問題が,次の問題です。紹介しておきます。


TITLE:極値と変曲点の幾何学

出典:2016年度 北海道大学 過去問 範囲:微分

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1Wyqs1zCun8nfrnyMtncnTKxlOf6OX-rB

<検索用コード>

a,b,cを実数とし,f(x)=x^3+ax^2+bx+cとおく。曲線C:y=f(x)上に異なる2点P(s,f(s)),Q(t,f(t))がある。
(1)PにおけるCの接線の方程式を求めよ。
(2)PにおけるCの接線とQにおけるCの接線が平行になるための条件をs,t,aの関係式として求めよ。
(3)(2)の条件のもとで,線分PQの中点がC上にあることを示せ。

【解答例】
(1)
f^' (x)=3x^2+2ax+bより,f^' (s)=3s^2+2as+b
したがって,接線の方程式は,y=f^' (s)(x-s)+f(s) だから,y=(3s^2+2as+b)(x-s)+s^3+as^2+bs+c
整理して,y=(3s^2+2as+b)x-2s^3-as^2+c

(2)
f^' (t)=3t^2+2at+b 接線が平行になるとき,傾きが同じになるから,f^' (s)=f^' (t)
3s^2+2as+b=3t^2+2at+b 整理して,
3(s^2-t^2 )+2a(s-t)=0
(s-t)(3s+3t+2a)=0
s≠t だから,3s+3t+2a=0

(3)
(2)において, s+t=-2/3 a (a=-3/2 (s+t))
f((s+t)/2)=(f(s)+f(t))/2 を示す。
f((s+t)/2)=((s+t)/2)^3+a((s+t)/2)^2+b((s+t)/2)+c
=(-1/3 a)^3+(-1/3 a)^2+b(-1/3 a)+c
=2/27 a^3-1/3 ab+c⋯①
(f(s)+f(t))/2=1/2 (s^3+as^2+bs+c+t^3+at^2+bt+c)
=1/2 (s^3+t^3+a(s^2+t^2 )+b(s+t)+2c)
ここで,
s^3+t^3+a(s^2+t^2 )=s^3+t^3-3/2 (s+t)(s^2+t^2 )
=(s+t)^3-3st(s+t)-3/2 (s+t)(s^2+t^2 )
=(s+t)((s+t)^2-3st-3/2 (s^2+t^2 ))
=(s+t)(-1/2 s^2-st-1/2 t^2 )=-1/2 (s+t)^3=4/27 a^3
b(s+t)+2c=-2/3 ab+2cなので,

(f(s)+f(t))/2
=1/2 (4/27 a^3-2/3 ab+2c)=2/27 a^3-1/3 ab+c⋯②
①,②よりf((s+t)/2)=(f(s)+f(t))/2 だから,
(2)の条件のもとで,線分PQの中点はC上にある。





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最終手段座標設定【2016年度北海道大学】

2019/11/13

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大学入試で図形問題が出た時,様々な解法があります。今の過程だと,数Aの幾何的に解く,数2の図形と方程式を利用する,数Bのベクトル,数3の複素数平面がありますね。

解けないとき,最終手段として,数2の図形と方程式があります。計算量は多くなりますが,機械的に解くことが出来ます。こういうところで介されています。

大抵は,60°や45°など,有名角が出てくると使いやすいですね。


ちなみに中学数学でもたまに使えます。(そのうち問題紹介します。)

今回は,2016年度北大の問題で,例を紹介します。模範解答は他のサイト見てください。(笑)

TITLE:最終手段座標設定

出典:2016年度 北海道大学 過去問 範囲:三角比,三角関数,ベクトル

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1BtKUPNXFJPa7cCwFTwoUSOLuSwo2YgBZ

検索用コード
最終手段座標設定     得点    /60
【出典:2016年度 北海道大学 数学2B】
 △ABCが,AB=2,AC=1+√3,∠ACB=45°をみたすとする。
(1)β=∠ABCとおくとき,sin⁡β および cos⁡2β の値を求めよ。
(2)(1)の β の値を全て求めよ。
(3)△ABCの外接円の中心をOとする。△ABCが鋭角三角形であるとき,(OC) ⃗=s(OA) ⃗+t(OB) ⃗をみたす実数s,tを求めよ。
【解答例】
(1)

図より,
AP=AC/√2=(1+√3)/√2=((√2+√6))/2
AB sin⁡β=APより,sin⁡β=((√2+√6)/2)/2=(√2+√6)/4
cos⁡2β=1-2 sin^2⁡β=1-1/8 (√2+√6)^2=-√3/2

(2)
0<β<πより,0<2β<2πであるから,
(1)より,2β=5/6 π,7/6 π
β=75°,105°

(3)
【最終手段の解答】

△ABCは鋭角三角形なので,β=5/12 π=75°となり,
∠BAC=60°となる。このとき,CB=√3となる。
図より,xy平面で,Cを原点とすると,
A(1+√3,0),B(√3,√3)となる。
点Oは3点A,B,Cを通る円の中心である。この円は,x^2+y^2+ax+by=0と表せ,
Aの座標を代入し,
4+2√3+(1+√3)a=0⋯①
Bの座標を代入し,
6+√3 (a+b)=0⋯②
①より,
a=-(4+2√3)/(1+√3)=-(4+2√3)(√3-1)/2
=-(2√3+2)/2=-√3-1であるので,②に代入し,
6+√3 (-√3-1+b)=6-3-√3+√3 b=0
b=(√3-3)/√3=1-√3
よって,x^2+y^2+(-1-√3)x+(1-√3)y=0
O((√3+1)/2,(√3-1)/2)となる。
(OC) ⃗=((-√3-1)/2,(-√3+1)/2)
(OA) ⃗=((√3+1)/2,(-√3+1)/2),(OB) ⃗=((√3-1)/2,(√3+1)/2)
(OC) ⃗=s(OA) ⃗+t(OB) ⃗とすると,
(-√3-1)/2=(√3+1)/2 s+(√3-1)/2 t⋯①
(-√3+1)/2=(-√3+1)/2 s+(√3+1)/2 t⋯②
①+②より,-√3=s+√3 t
①-②より,-1=√3 s-t
この連立方程式を解いて,
s=-√3/2,t=-1/2

【コメント】
 有名角が出てきて,ベクトル,複素数平面等分からなかったら,最終手段座標設定があります。


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酪農学園大学 過去問 2016第1期

2019/11/09

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昔(と言っても1年前ぐらい)塾で酪農学園大学(北海道の私立大学)を目指す生徒がいまして,その時に作ったプリントがハードディスクの奥底から見つかったので,せっかくだから公開しておこうと思います。

出典URL:https://nyushi.rakuno.ac.jp/guidance/kakomon/
3年分しかないので,2016年度はもう表示されませんね......。

確か赤本がありません。解答などは,オープンキャンパス等に行けば入手できるのかしら?
最終手段がこのサイトとなるよう,解答を時間があれば追加していこうと思います。

ちなみに,獣医とそれ以外で分かれている大学ですが,獣医は超難関ですね。

北海道の高校生なら,1回解いてみるのも良いかもしれません。

TITLE:2016年度 第1期 酪農学園大学 数学 過去問


※ 解答例はあくまでも参考です。使用に関する責任は一切負いません。


comment (-) @ 大学入試

漸化式のパターン問題は入試まで使える

2019/11/04

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高校生に数列の漸化式教えるとき,このサイト(受験の月さま)やこのサイト(東大医学部生の相談室さま)を参考にして(大分問題をパクって)いました。

指導用プリント


漸化式,文系の問題までなら,上記のサイトやプリントを用いるだけで大体の問題は解くことが出来ます。

その証拠が次の演習プリント。

TITLE:漸化式演習

出典:京都大学,大阪大学,弘前大学


1通り4STEP等でしっかり演習すれば,意外に解けるはず!?

理系は極限が入ったり,少し面倒くさい数列がやってきますが,ひとまず演習しても楽しいでしょう。


comment (-) @ 大学入試

2004年度 センター試験1A 数列

2019/10/28

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センター試験にしては,大変易しい問題です。2003や2005は,問題数は少ないのですが,何か「?」となる問題が多めなのに対し,2004は問題数も少なく,非常に解きやすい。珍しい年なので紹介しておきます。

TIITLE:易しい数列の問題
出典:2004年度センター試験1A 本試験 過去問



comment (-) @ 大学入試