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2等分線と垂直からアレ（2010年度：ラ・サール高校）ベクトル禁止？

2019/07/28

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芸術的な高校入試第7回
出典：2010年度　鹿児島ラサール（高校）
難易度：★★★★★☆ 美しさ：★★★★☆☆
総試験時間：90分配点：7点/100点？
　下の図のようにAB＝3，AC＝2の△ABCがあります。∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとします。直線AD上に，∠AEB＝90°となるように，点Eをとります。次の問いに答えなさい。

問1　AD：DEを求めなさい。
問2　△ADCと△BDEの面積比を，最も簡単な整数の比で表しなさい。

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【コメント1】
　まず，角の二等分線と，垂直から，あの図形を思い出さなくてはなりません。問1が鬼門で，上手く補助線を引けるか，または（中学範囲では）ズルをするかどちらかです。ベクトル使うと楽になる高校入試はよくある話ですね。

【解答例】
∠A二等分線，∠AEB＝90°より，BE，ACを延長し交点をFとすると，△ABFは二等辺三角形ということに気づかなくてはならない。

問1
（解法1：たぶんラ・サールの想定解答）
△ABFは二等辺三角形，AC＝2だから，FC＝1…（1）
点FからEDに平行な直線を引き，直線DCとの交点をGとする。△ADC∽△FGCで，（1）より相似比は，2：1。
よって，AD：FG＝2：1＝4：2…（2）
点EはBFの中点だから，中点連結定理より，
DE：FG＝1：2…（3）
（2）（3）より，AD：DE＝4：1

（解法2：ラ・サール受験生ならベクトル？）
(AD) ⃗=2/5 (AB) ⃗+3/5 (AC) ⃗
(AE) ⃗=1/2 (AB) ⃗+1/2×(3/2 (AC) ⃗ )=1/2 (AB) ⃗+3/4 (AC) ⃗
と表せるから，
|AD|：|AE|=4:5となるので，AD：DE＝4：1

問2
△BDEの面積をSとすると，AD：DE＝4：1より，
△ABD＝4S
ADは，∠Aの二等分線なので，
AB：AC＝BD：DC＝3：2だから，
△ADC=4S×1/3×2=8/3 S
したがって，
△ADC：△BDE=8/3 S：S=8：3

【コメント2】
　問1さえ解ければ，問2は余裕，誰でも解けます。サービス問題ですね。角の2等分線公式は案外覚えやすいですが，まさかそこで二等辺三角形を出すとは思えないでしょう。
　ベクトルを覚えておくと，たまに高校入試楽です。まあ現実的ではないですが。
　高校数Bからベクトル削除されるらしいですね。理系だけやるそうで。まあ気持ちは分かります。

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