2等分線と垂直からアレ(2010年度:ラ・サール高校)ベクトル禁止?

2019/07/28

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芸術的な高校入試第7回

出典:2010年度 鹿児島ラサール(高校)
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★☆☆
総試験時間:90分 配点:7点/100点?
 下の図のようにAB=3,AC=2の△ABCがあります。∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとします。直線AD上に,∠AEB=90°となるように,点Eをとります。次の問いに答えなさい。
Screenshot_20190728-183426.png
問1 AD:DEを求めなさい。
問2 △ADCと△BDEの面積比を,最も簡単な整数の比で表しなさい。

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【コメント1】
 まず,角の二等分線と,垂直から,あの図形を思い出さなくてはなりません。問1が鬼門で,上手く補助線を引けるか,または(中学範囲では)ズルをするかどちらかです。ベクトル使うと楽になる高校入試はよくある話ですね。

【解答例】

∠A二等分線,∠AEB=90°より,BE,ACを延長し交点をFとすると,△ABFは二等辺三角形ということに気づかなくてはならない。
Screenshot_20190728-183518.png
問1
(解法1:たぶんラ・サールの想定解答)
△ABFは二等辺三角形,AC=2だから,FC=1…(1)
点FからEDに平行な直線を引き,直線DCとの交点をGとする。△ADC∽△FGCで,(1)より相似比は,2:1。
よって,AD:FG=2:1=4:2…(2)
点EはBFの中点だから,中点連結定理より,
DE:FG=1:2…(3)
(2)(3)より,AD:DE=4:1

(解法2:ラ・サール受験生ならベクトル?)
(AD) ⃗=2/5 (AB) ⃗+3/5 (AC) ⃗
(AE) ⃗=1/2 (AB) ⃗+1/2×(3/2 (AC) ⃗ )=1/2 (AB) ⃗+3/4 (AC) ⃗
と表せるから,
|AD|:|AE|=4:5となるので,AD:DE=4:1

問2
△BDEの面積をSとすると,AD:DE=4:1より,
△ABD=4S
ADは,∠Aの二等分線なので,
AB:AC=BD:DC=3:2だから,
△ADC=4S×1/3×2=8/3 S
したがって,
△ADC:△BDE=8/3 S:S=8:3

【コメント2】
 問1さえ解ければ,問2は余裕,誰でも解けます。サービス問題ですね。角の2等分線公式は案外覚えやすいですが,まさかそこで二等辺三角形を出すとは思えないでしょう。
 ベクトルを覚えておくと,たまに高校入試楽です。まあ現実的ではないですが。
 高校数Bからベクトル削除されるらしいですね。理系だけやるそうで。まあ気持ちは分かります。
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