2017年度 裁量問題 数学 解説

2019/11/21

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今回は2017年度北海道高校入試数学,裁量問題の解説です。
標準問題の関数がやや難しかった年ですね。裁量問題は,トリッキーな問題が多かったです。整数問題とか。
珍しく関数が出題されていません。

整数問題の練習としては、こういう問題がいいですね。知らないと解けません。



TITLE:2017年度 裁量問題 数学 解説
出題分野:規則性,整数問題,平面図形,,三平方,円周角
出典:平成29年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1WPQvQ3ovB7I5An3GLTZZltRbUNQoYwyc
<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説⑨
【出典:2017年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1  xは自然数とします。1辺の長さがx cmの正四面体について,各辺をx等分する点とすべての頂点に●印をつけることとします。
   例えば,1辺の長さが2 cmの正四面体のときは,右の図のように●印が10個つきます。
(1)1辺の長さが3 cmの正四面体のときにつく●印の個数を求めなさい。
(2)1辺の長さがx cmの正四面体のときにつく●印の個数をy個とするとき,yをxの式で表しなさい。

問2 1辺の長さがa cmとb cmの2つの正三角形があります。この2つの正三角形の面積の差を,
(49√3)/4 cm^3 とします。このときのaとbの値を,次
  のように求めるとき, ア , イ に当てはまる数を,   には解答の続きを,それぞれ書き入れて,解答を完成させなさい。
   ただし,a,bは自然数とし,a>bとします。
<解答>
 2つの三角形の面積は,それぞれ
  ア a2cm3, ア b2 cm3
と表すことができる。
 この2つの正三角形の面積の差は (49√3)/4 cm^3 なの
で,
  ア a^2- ア b^2=(49√3)/4
 a^2-b^2= イ  (a+b)(a-b)= イ である。



 




問3 下の図のように,線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Cがあります。線分ABの中点を点Oとします。次の問いに答えなさい。

(1)AC=BCとします。△ABCを,線分ABを軸として1回転させてできる立体をP,半円を,線分ABを軸として1回転させてできる立体をQとします。
   立体Pの体積は,立体Qの体積の何倍ですか,求めなさい。
(2)線分ACが線分ABより1 cm短く,線分BCが線分ABより2 cm短いとき,線分ABの長さは何 cmになりますか。
   線分ABの長さをx cmとして方程式をつくり,求めなさい。
(3)線分ABを4 cmとします。点Cは,弧AB上を点Aから点Bまで移動するものとします。
∠ABCの二等分線と∠BACの二等分線との交点をDとするとき,点Dが描いてできる線の長さを求めなさい。
ただし,点Cが点Aの位置にあるとき,点Dは点Aの位置にあり,点Cが点Bの位置にあるとき,点Dは点Bの位置にあるものとします。また,円周率はπを用いなさい。













【解答例】            配点21点/60点
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問1(1)(2点)正答率69.4%
1辺に4個●印がつく。頂点につくのを抜いて,4-2=2個。2×6=12個。
頂点は,4個あるので,12+4=16個
※計算を思いつかなくても,数えればいいだけ。
問1(2)(3点)正答率47.3%
(1)のように考えると,
y=(x+1-2)*6+4=6x-2
思いつかなくても,高校入試は,1次関数か,原点を通る2次関数しか出ないことを逆手にとって,
【1次関数と仮定する】
y=ax+bとする。(2, 10)(3, 18)なので,連立方程式を解くと良い。
【原点を通る2次関数と仮定する】
(2, 10),(3, 18)を通るy=ax^2のグラフは無い。
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問2(アイ各1点,連立方程式1点,ab各1点)
正答率8.7%
ア)1/2*a*√3/2 a=√3/4 a^2 ア)√3/4 b^2
a^2-b^2=イ)49 (a+b)(a-b)=イ)49
a,bも自然数であるから,(a+b)も(a-b)自然数である。a+b>a-bであるから,
{█(a+b=49@a-b=1)┤
これを解いて,a=25, b=24
【コメント】
 北海道,整数問題好きですね。
ア)イ)は常識だから埋めよう。それ以外は……なんでこんなに正答率高いのかが不思議である。
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問3(1)(3点) 正答率30.2%
半径rとする。AC=BCだから,△ABCは直角二等辺三角形。
P) おとなしく,△OACと△OBCに分ける。
体積同じなので,2倍すればよい。
P:πr^2*r*1/3*2=2/3 πr^3
Q) ただの球。
Q:4/3 πr^3 PはQの 1/2 倍
(2)(4点) 正答率30.7%
△ABCは直角三角形であるから,
AB^2=BC^2+CA^2
x^2=(x-2)^2+(x-1)^2【2点】
x^2-6x+5=0 【1点】
(x-5)(x-1)=0
2<xであるから,x=5 5 cm【1点】

(3)4点 正答率3.3%

∠CAB+∠CBA=90°で一定で,∠OAD+∠OBDはその半分だから,∠OAD+∠OBD=45°で一定。よって,∠ADBは常に135°だから,同一円周上を動くと言える。
すると,どこかに中心がある。円の中心Eは,弦(線分AB)の垂直2等分線上にあるので,直線DO上にある。円周角の定理より,∠ADB=135°だから,∠AEBの大きい方の角は135°×2=270°より,∠AEBの小さいほうの大きさは90°
OB=2 cmだから,Dが動くおうぎ形の半径は,
2×√2=2√2 cm 中心角90°なので,
4√2×90/360×π=√2 π cm
【コメント】
 円のように動くんだろうなという認識が大事です。より詳しい解説をブログに乗せています。
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 極端に難しい問題は出題されませんでした。




comment (-) @ 北海道 高校入試 解説

2016年度裁量問題 数学解説 立方体切断

2019/11/19

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2016年度は,難易度が若干ぶり返した......わけではないのですが,難易度見極めできなかった受験生が多く,難しい年となってしまいました。

難易度見極めの練習として,2016年度はちょうどよいでしょう。

立方体切断の話が出ています。知っていれば瞬殺,知らなければOUTです。知らない受験生の方が多かったので,プリント内で詳しく解説しておきました。後々にもっと詳しい解説を,別記事で載せようと思います。「向かい合う辺は平行!」これさえ知っていればなんとかなります。

TITLE:2016年度 裁量問題 数学 解説
出題分野:平面図形,規則性,関数,確率,立体切断
出典:平成28年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1otpw__-qW2UbDjBPbnED9snZbNllLdrl
<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説⑧
【出典:2016年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1 図1のように,半径が3 cmの円の円周を12等分する12個の点があり,そのうちの1つをSとします。
   点P,Qは点Sを同時に出発し,Pは矢印アの方向へ,1秒ごとに円周上の点を1個ずつ,Qは矢印イの方向へ,1秒ごとに円周上の点を2個ずつ移動します。例えば,1秒後の3点S,P,Qのそれぞれの位置は図2のようになります。次の(1),(2)に答えなさい。
(1)5秒後に,3点S,P,Qを結んでできる三角形の∠SPQの大きさを求めなさい。
(2)155秒後に,3点S,P,Qを結んでできる△SPQをかき入れ,点P,Qをそれぞれ示しなさい。また,このときの△SPQの面積を求めなさい。
図1
図2 イ     ア
問2 右の図のように,1辺が10 cmの正方形ABCDがあります。頂点Bから辺ABを10 cm延長したところに点Eをとり,辺AD,線分AE上にそれぞれ点P,Qを,2AP=2AQとなるようにとります。APの長さをx cmとし,正方形ABCDと直角三角形APQが重なってできる部分の面積をy cm2とします。このときの横軸xと縦軸yの関係を表したグラフとして最も適当なものを,次のア~オから選びなさい。ただし,点Oは原点とします。










問3 図1のように,1辺が10 cmの立方体ABCD-EFGHがあります。辺AD,AE上にそれぞれ点P,Qを,2AP=AQとなるようにとります。
次の(1),(2)に答えなさい。     図1
(1)図1の立方体を3点B,P,Qを通る平面で切ります。頂点Aをふくむ立体の体積が20 cm3のとき,APの長さは何cmになりますか。APの長さをx cmとして方程式をつくり,求めなさい。
(2)図2のように,1から9までの数字を1つずつ書いた9個のボールがあります。この9個のボールを袋に入れ,袋の中から1個のボールを取り出し,そのボールに書かれた数をaとします。
   図3は,図1の立方体で,AP=4 cmとしたものです。辺BC上に,点Rをとり,BRの長さをa cmとします。
   図3の立方体を3点P,Q,Rを通る平面で切りとるときの切り口の図形が,五角形となる確率を求めなさい。
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨
図2

図3

【解答例】            配点21点/60点
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問1(1)(3点)正答率63.2%
5秒後の位置は,指で数えるなりすれば分かる。
弧SQは円周の長さの1/6倍である。
よって,∠SPQ=180×1/6=30°
問1(2)(6点)正答率0.9%
Pについて,155=12×12+11
(12周して,11進む)
Qについて,155=6×25+5
(25周して5進む)
よってP,Qの位置は,下のようになる。

【P,Qの位置2点】
そのまま△SPQの面積を求めるのは辛いので,円の中心Oを利用する。
中心をOとする。
中心角と弧の長さの関係から,
∠POQ=360*3/12=90° ∠SOQ=360*2/12=60°
∠SOP=30° よって,
△SOQ=1/2*3*3/2 √3=(9√3)/4 〖 cm〗^2 (正三角形)
△SOP=1/2*3*3/2=9/4 cm^2 (SからOPに垂線)
△OPQ=1/2*3*3=9/2 cm^2 (直角二等辺三角形)
求める面積は,
(9√3)/4+9/4-9/2=(9√3)/4-9/4=(9√3-9)/4 cm^2

【コメント】
(2)は,やばいと思って逃げるべき。逃げなかった人が多くて,問2,問3の正答率低下につながった。
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問2(4点)正答率37.8%
0≦x≦5のとき,
△APQ=y=1/2*2x*x=x^2
この時点で,イかオ。なんだけど,5≦xのとき,明らかに重なる部分面積増えている。増えているのはイである。よって イ
【コメント】
真面目に考えた人が可哀想。なお,5≦xでは以下のようになる。

QB=2x-10,QA=2x,AP=xで,△QBR∽△QAPより,(2x-10):2x=BR:x BR=x-5
重なった部分の面積は,
1/2×(x+x-5)×10=5(2x-5)=10x-25
となる。直線となるから,どちらにせよイ。
 もう少し選択肢を考えるべきだった。
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問3(1)(4点)正答率39.3%
AP=x,AQ=2x,AB=10なので,体積は
1/2*x*2x*10*1/3=20 【方程式2点】
10/3 x^2=20 x^2=6…①【1点】 x>0より,x=6
6 cm
【コメント】
 明らかにサービス問題です。教科書レベル。しかし,前述の問1のせいで,簡単だと気づけなかった受験生が多かったと思われます。

問3(2)(4点)正答率9.0%
<立体切断の大原則>
1,同一平面にある点は結んでよい。
ということで,まずPQを結ぶ。
PRも結んでよい。

2,向かい合う辺は平行
Rから,PQに平行な線を引く。

このとき,点Mが線分BF上にあるなら,MとQを結べばいいだけなので,切り口は四角形となってしまう。BR=1,2,3,4のときは,明らかにBF上にきてしまう。(AP≧BRだから。)
BR=5のとき,AP:AQ=1:2であることを考えると,BR:BM=1:2となるから,BM=10 cm。ギリギリ,BF上にあるので,四角形となる。

よって,残りの6~9が五角形となる。
ちなみにどうやって作図するのかと言うと,

2まで同じ。
Mから線分PRに平行な線を引き,EFとの交点をIとする。後は,IとQを結べばいいだけ。ご覧のとおり,切り口が五角形となる。
4/9
※ちなみに,同一平面にも無く,平行な線も無い場合
例) 辺EFの中点をI,辺FGの中点をJとします。3点D,I,Jを通る平面で立方体を切断します。
1,まずIJを結ぶ。

2,DIは,DIが(面を通り)最短距離となるように。

最短距離となるように引けばよいから,このとき,△DKA∽△IKEとなる。展開図を書いて,長方形DHFB
を書き,一直線を引けばわかりやすい。
3,後は,向かい合う辺と平行になるように引けばよい。

これで君も切断面マスターだ!
【コメント】
「知っていれば」瞬殺。知らない中学生が多かったと思われる。
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 問題が発表された当初,多くの塾の先生は「なんて簡単なんだ」と意見しましたが,問1(2)の難しさ,問2を真面目に解いてしまった,問3(1)を簡単だと見抜けない,問3(2)を知らない受験生が予想以上に多かったのか,平均点は低め。問題演習においては,難易度を見極める能力も重要になってきます。


comment (-) @ 北海道 高校入試 解説

2015年度 裁量問題 数学 解説

2019/11/19

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2015年度は,正答率1桁の問題がないという,珍しい年です。正答率10%代の問題が多く,ある意味難易度調整に成功しています。

最上位高校では,差がつかないですね。1問ぐらいえげつない問題を用意してもいい気がします。

2013年度に三平方の定理を出しまっくた反動なのか,2014,2015と連続して,裁量問題で三平方の定理が出題されていません。難問に三平方がないって珍しいですね。

TITLE:2015年度 裁量問題 数学 解説
出題分野:関数,確率,平面図形,回転体
出典:平成27年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1V1WysNk9ayXwsjP6aep7hvagTTi4vnJo
<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説⑦
【出典:2015年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1 大小2つのさいころを同時に投げ,下の図にルールIまたはルールIIにしたがって点Pをとります。点Oは原点とします。次の問いに答えなさい。

(ルールI)
 点Pのx座標は,大きいさいころの出た目の数とし,点Pのy座標は,小さいさいころの出た目の数とします。
 例えば,大きいさいころの出た目の数が1,小さいさいころの出た目の数が2のとき,点Pは(1,2)となります。
(ルールII)
 点Pのx座標は,大きいさいころの出た目の数が偶数ならばその数とし,奇数ならばその数の符号を負とした数とします。また,点Pのy座標は,小さいさいころの出た目の数が偶数ならばその数とし,奇数ならばその数の符号を負とした数とします。
 例えば,大きいさいころの出た目の数が1,小さいさいころの出た目の数が2のとき,点Pは(-1,2)となります。
(1) ルールIにしたがうとき,点Pが関数y=6/x の
 グラフ上の点になる確率を求めなさい。
(2) ルールIIにしたがうとき,点Pと点(1/2,1/2)との距
 離が5以下になる確率を求めなさい。

問2 図1のように,OA=5 cmの直角二等辺三角形OABがあります。次の(1)~(3)に答えなさい。ただし,円周率はπを用いなさい。

図1
(1)図1の△OABを,点Oを中心として矢印の方向に20°回転させるとき,点Bが動いてできる弧の長さを求めなさい。
(2)図1の△OABを,点Oを中心として矢印の方向に90°回転させるとき,辺ABが動いてできる図形の面積を求めなさい。
(3)図2のように,図1の△OABと平行で,距離が5 cmの直線lがあります。△OABを,辺OAを軸として1回転させてできる立体をP,直線lを軸として1回転させてできる立体をQとします。立体Pの体積を求めなさい。また,立体Pの体積は,立体Qの体積の何倍ですか,求めなさい。
                     l












【解答例】            配点18点/60点
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問1(1)(3点)正答率68.3%
xy=6となる(x, y)の組は,(1, 6)(2, 3)(3, 2)(6, 1)
の4通り。
1/9
問1(2)(4点)正答率12.3%
コンパスを持っているので,以下のような図を描けば良い。

16通りあるから,
16/36=4/9
【コメント】
 (2)は,高校入試史上最も良い問題ですね。
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問2(1)(3点)正答率21.7%
半径OB,中心角20°の扇形の弧の長さを求めればいいだけ。
10√2×20/360×10√2×1/18×π=(5√2 π)/9 cm



問2(2)(4点)正答率12.5%
動かしてできる三角形を△OA’B’とする。
弧A’Aを延長して,OB’との交点をC,OBとの交点をC’とする。すると,扇形OC’Aと扇形OCAの面積が等しくなる。よって,求める面積は,
(5√2)^2×π×1/4-5^2×π×1/4=π/4 (50-25)=25/4 π 〖cm〗^2

問2(3)(4点)正答率13.1%
P:5×5×π×5×1/3=125/3 π〖 cm〗^3
BOを延長し,lとの交点をEとする。
すると,
Q:10×10×π×10×1/3-5×5×π×5-125/3 π
=π(1000/3-125-125/3)
=500/3 π  P/Q=125/500=1/4 倍
【コメント】
 (2)は,2010年度高校入試で正答率0.0%だった問題と全く同じ考え方をする問題です。過去問演習がいかに大事かわかりますね。道教委の模範解答は,長々とわけわからんこと書いていますが,上記のような解答でよいと思われます。(ちゃんと等しい理由を書く。)
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 正答率1ケタ台の問題がないという,大変珍しい年になっております。最上位高校では差がつかないですね。




comment (-) @ 北海道 高校入試 解説

2014年度 裁量問題 数学 解説

2019/11/18

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2014年度は昨年度みたいに露骨に易しい問題は出題されませんでしたが,露骨に難しい問題も出題されませんでした。バランスはよさげです。しかし,標準問題が易しすぎたという。

問1みたいにひたすら読解力試される整数問題は,北海道にしては珍しいですね。

TITLE:2014年度 裁量問題 数学 解説

出題分野:関数,整数問題,相似
出典:平成26年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1uwfjuNTq2C0jL9xVg12RPChpFRuG9TyW

<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説⑥
【出典:2014年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1  次のように,xとyについての2つの二元一次方程式
    ア x+ イ y=10…①
    ア x+ イ y=2…②
があります。
   この2つの方程式の ア には,1,3,5のいずれか1つの数を当てはめ, イ には2,4,6のいずれか1つの数を当てはめます。次の(1)(2)に答えなさい。
(1)①,②の方程式を組みにして,連立方程式をつくります。この連立方程式をみたすx,yの値がともに整数となるのは, ア , イ にそれぞれどのような数を当てはめたときですか,その数の組を4つ求めなさい。
(2)①,②の方程式のグラフをかき,①,②のグラフとy軸によって囲まれる三角形をつくります。この三角形の面積が最小となる値を,次のように求めるとき, ウ ~ オ に当てはまる数を,それぞれ書きなさい。
<解答>
 ①のグラフとy軸との交点をA,②のグラフとy軸との交点をBとし,①,②のグラフとy軸によって囲まれてできる三角形の底辺を辺ABとすると,辺ABの長さが最小となるときの値は
 ウ である。
 また,三角形の高さは,①のグラフと②のグラフの交点のx座標であるから,三角形の高さが最小となるのは,x座標が エ のときである。
 よって,①,②のグラフとy軸によって囲まれてできる三角形の面積が最小となる値は
 オ である。
問2 次の(1)(2)に答えなさい。
(1)下の図のように,線分ABを直径とする半円があります。点C,Dを弧AB上の点とし,点Aに近いほうから,点C,Dとします。AB//CD,AB:CD=2:1である線分CDを,定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし,点を表す記号C,Dをかき入れ,作図に用いた線は消さないこと。
(2)下の図のように,線分ABを直径とする半円があり,線分ABの中点を点Oとします。点Oを通り線分ABに垂直な直線と弧ABとの交点をEとし,線分OEの中点をFとします。点A,Fを通る直線と弧ABとの交点のうち,点Aと異なる点をGとします。△AOFの面積が10 cm2のとき,△AGBの面積を求めなさい。
【解答例】            配点18点/60点
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問1
(1)(1点×4)正答率55.6%
①+②より,2 ア x=12  ア x=6
よって, ア には6の約数である,1か3しか入らない。
①-②より,2 イ y=8  イ y=4
よって, イ には4の約数である,2か4しか入らない。となると,(ア,イ)の組み合わせは
(1, 2)(1, 4)(3, 2)(3, 4)しかない。
【コメント】
たぶん本番こんな鮮やかな解き方はできません。がむしゃらに代入して解いたら,「5と6は無いな。」と言うことに3分ぐらいで気づくと思われます。
(2)(ウエ各2点,オ1点)正答率3.0%
①とy軸との交点は,x=0を代入して
 イ y=10
y=10/イ
②とy軸との交点も,x=0を代入して,
y=-2/イ
イは2,4,6なので,ABの長さは
10/イ+2/イ=12/イ イ=6を代入して最小値 ウ)2

①と②との交点のx座標は,(1)より
x=6/ア 最小となるのはア=5を代入し,エ)6/5
よって,三角形の面積が最小値は
1/2×2×6/5=オ)6/5
【コメント】
ア,イがa,bで置かれていたら正答率上がった気がします。所詮文字で置いてコネコネ中2でも解けます。冷静になることが出来たらって話ですが。無理ですね。
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問2
(1)(4点)正答率47.9%
まず線分ABの垂直2等分線を引く。次に線分OA,線分OBの垂直2等分線を引く。
道教委の模範解答は,OA=AC,OB=BDとなるように作図している。(正三角形がたくさんできて,中点連結定理)
↑は,線分CDを定規で結ぶ必要があります。引くの忘れていました。
(2)(5点)正答率5.7%
半径をrとする。OA=r,OF=r/2 だから,
△AOF=1/2×r×r/2=r^2/4=10 r=2√10 
三平方の定理より,AF=5√2,AB=4√10
△AOF∽△AGBだから,面積比は,
AF^2:AB^2=50:160=5:16なので,
△AGB=10×16/5=32 cm^2
【コメント】
 ちょうどよい難易度な気がします。部分点は,半径とFAで2点,BAで1点,5:16で1点もらえます。
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 極端に易しい問題は出題されませんでした。この年は標準問題が非常に易しかったので(易しいと気づけば)裁量に割く時間がたっぷりありました。このぐらいの難易度だと嬉しいですね。
 問1のように,ひたすら読解力が試される問題は,北海道では珍しいです。



comment (-) @ 北海道 高校入試 解説

2013年度 裁量問題 数学 解説

2019/11/17

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2013年度は,裁量問題の中にも露骨に易しい問題が出てきました。(正答率90%越え)

反面,正答率0.5%など,狂った問題も存在。

要はバランスが少し?です。ここまで極端なのは次年度からは無くなりました。(2016年度を除く。)

再び露骨に易しい問題が出題されるのは,2019年度......。

TITLE:2013年度 裁量問題 数学 解説

出題分野:2次方程式応用,回転体,関数,三平方の定理,相似
出典:平成25年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=18R_IpCt8Wv0XrjZA14fmZaia_qrzq5Il

<検索用コード>

ます。
   BDの長さをx cmとして,次の(1)(2)に答えなさい。
(1)長方形ABDEの面積を,xを使った式で表しなさい。
(2)ABとBDの長さの和がACの長さに等しくなるとき,BDの長さは何cmになりますか。方程式を作り,求めなさい。

問2 下の図のように,2つの関数y=-x+6……①,y=x+2……②のグラフがあります。②のグラフとy軸との交点をA,①と②のグラフの交点をBとします。点Oは原点とします。次の(1)(2)に答えなさい。
(1)点Bの座標を求めなさい。
(2)①のグラフ上に点Pをとり,点Pのx座標をtとします。∠BAP=60°のとき,tの値を求めなさい。ただし,t>0とします。
  ①                  ②

問3 図1のように,AB=16 cm,BC=12 cm,∠ABC=90°の△ABCがあります。次の(1)(2)に答えなさい。        図1
(1)△ABCを,辺ABを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし,円周率はπを用いなさい。
(2)図2は,図1の△ABCにそれと相似な△DBEを重ねたものです。点Dは辺BCの延長上に,点Eは辺AB上にあります。辺ACと辺DEの交点をFとします。
   DF=20 cmのとき,△FAEと△FDCの面積の比を,もっとも簡単な整数の比で求めなさい。
図2



















【解答例】            配点21点/60点
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問1
(1)(2点)正答率90.5%
x(x+6) cm^2
(2)(4点)正答率25.3%
AC=√((x+6)^2+(x+4)^2 )
AB+BD=(x+6)+x=2x+6
方程式を大真面目に書くと,
√((x+6)^2+(x+4)^2 )=(x+6)+x
なんだけど,両辺を2乗した,
(x+6)^2+(x+4)^2=4x^2+24x+36
と書いてもいいかな,どれか書けばいいと思います。
【方程式 2点】
(計算式)
整理して,
x^2+2x-8=0 【因数分解の1歩手前 1点】
(x+4)(x-2)=0 x>0だから,x=2
2 cm
【コメント】
 どれも簡単ですね。(1)はナメています。
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問2
(1)(3点)正答率93.2%
B(2, 4)
(2)(4点)正答率6.3%
傾きの積が-1なので,直線①と直線②は垂直に交わっている。

A(0, 2)だから,
AB=√(2^2+2^2 )=2√2なので,AP=4√2である。
P(t, -t+6)と置くと,
t^2+(t-4)^2=32 2t^2-8t-16=0
t^2-4t-8=0 (t-2)^2=12 t>0より
t=2+2√3
【コメント】
 傾きの積-1のとき,90°で交わるというのは,常識で知っておけというのが分かるこの問題。知らない場合は……?
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問3
(1)(3点)正答率74.8%
768π cm^3 π忘れずに!
(2)(5点)正答率0.5%
DF=20 cmという条件の与え方が,あまりにもわざとらしい。

Fから,BDに垂線FGを下ろす。
三平方の定理より,AC=√(256+144)=20 cmとなるから,△ABC≡△DGFなので,FG=12 cm
FからABに垂線FHを下ろす。すると,四角形BGFHは長方形になるから,AH=16-12=4 cm
△AHF∽△ABCより,HF=3 cm
△FAE∽△FDCだから,AE,DCを底辺としたときの高さの比が相似比となる。相似比3:12=1:4なので,面積比は,1:16
【コメント】
 (2)はACの長さが出せれば万々歳かしら。それで1点もらえます。上記は発表されている解答とは異なる解法なのですが,部分点はどうなることやら。
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 裁量問題の中に,露骨に説きやすい問題を入れてきました。ただ,ここまで露骨なのは,2019年度までおあずけです。2019年度はすべて易しい……。三平方の定理が盛りだくさんなので,この分野苦手な人にはきついかもしれません。



comment (-) @ 北海道 高校入試 解説

最終手段座標設定【2016年度北海道大学】

2019/11/13

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大学入試で図形問題が出た時,様々な解法があります。今の過程だと,数Aの幾何的に解く,数2の図形と方程式を利用する,数Bのベクトル,数3の複素数平面がありますね。

解けないとき,最終手段として,数2の図形と方程式があります。計算量は多くなりますが,機械的に解くことが出来ます。こういうところで介されています。

大抵は,60°や45°など,有名角が出てくると使いやすいですね。


ちなみに中学数学でもたまに使えます。(そのうち問題紹介します。)

今回は,2016年度北大の問題で,例を紹介します。模範解答は他のサイト見てください。(笑)

TITLE:最終手段座標設定

出典:2016年度 北海道大学 過去問 範囲:三角比,三角関数,ベクトル

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1BtKUPNXFJPa7cCwFTwoUSOLuSwo2YgBZ

検索用コード
最終手段座標設定     得点    /60
【出典:2016年度 北海道大学 数学2B】
 △ABCが,AB=2,AC=1+√3,∠ACB=45°をみたすとする。
(1)β=∠ABCとおくとき,sin⁡β および cos⁡2β の値を求めよ。
(2)(1)の β の値を全て求めよ。
(3)△ABCの外接円の中心をOとする。△ABCが鋭角三角形であるとき,(OC) ⃗=s(OA) ⃗+t(OB) ⃗をみたす実数s,tを求めよ。
【解答例】
(1)

図より,
AP=AC/√2=(1+√3)/√2=((√2+√6))/2
AB sin⁡β=APより,sin⁡β=((√2+√6)/2)/2=(√2+√6)/4
cos⁡2β=1-2 sin^2⁡β=1-1/8 (√2+√6)^2=-√3/2

(2)
0<β<πより,0<2β<2πであるから,
(1)より,2β=5/6 π,7/6 π
β=75°,105°

(3)
【最終手段の解答】

△ABCは鋭角三角形なので,β=5/12 π=75°となり,
∠BAC=60°となる。このとき,CB=√3となる。
図より,xy平面で,Cを原点とすると,
A(1+√3,0),B(√3,√3)となる。
点Oは3点A,B,Cを通る円の中心である。この円は,x^2+y^2+ax+by=0と表せ,
Aの座標を代入し,
4+2√3+(1+√3)a=0⋯①
Bの座標を代入し,
6+√3 (a+b)=0⋯②
①より,
a=-(4+2√3)/(1+√3)=-(4+2√3)(√3-1)/2
=-(2√3+2)/2=-√3-1であるので,②に代入し,
6+√3 (-√3-1+b)=6-3-√3+√3 b=0
b=(√3-3)/√3=1-√3
よって,x^2+y^2+(-1-√3)x+(1-√3)y=0
O((√3+1)/2,(√3-1)/2)となる。
(OC) ⃗=((-√3-1)/2,(-√3+1)/2)
(OA) ⃗=((√3+1)/2,(-√3+1)/2),(OB) ⃗=((√3-1)/2,(√3+1)/2)
(OC) ⃗=s(OA) ⃗+t(OB) ⃗とすると,
(-√3-1)/2=(√3+1)/2 s+(√3-1)/2 t⋯①
(-√3+1)/2=(-√3+1)/2 s+(√3+1)/2 t⋯②
①+②より,-√3=s+√3 t
①-②より,-1=√3 s-t
この連立方程式を解いて,
s=-√3/2,t=-1/2

【コメント】
 有名角が出てきて,ベクトル,複素数平面等分からなかったら,最終手段座標設定があります。


comment (-) @ 気分的な大学入試

2012年度 裁量問題 数学 解説

2019/11/11

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平成24年度,北海道高校入試,数学,裁量問題の解説です。

この年は,過去3年間が難しかったのを反省して,適度な難易度になりました。難しすぎると「裁量問題は捨てよう!」なんていう指導がされました。それじゃ意味ないですね。正答率も落ち着ています。

まあこの年は英語と社会がむごかったので,5教科平均点はそんなに変わらなかったのですが。

TITLE:2012年度 裁量問題 数学 解説

出題分野:2次方程式応用,円周角,関数
出典:平成24年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1nqNECqbpvUyMiEgbjqxQqRntxdpgABI3
<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説④
【出典:2012年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1 2つのさいころA,Bを同時に投げて,Aの出た目をa,Bの出た目をbとして,二次方程式
x^2+ax-ab=0を作ります。
   この2次方程式の1つの解がx=-6となるときのa,bの値ともう1つの解を,2組求めなさい。

問2 下の図のように,線分ACを直径とする円Oの円周上に,点B,D,Eをとり,線分ADとBEとの交点をFとします。弧ABが弧BCの2倍の長さ,弧DEが弧EAの2倍の長さ,∠CAD=33°のとき,次の(1),(2)に答えなさい。
(1)∠BOCの大きさを求めなさい。
(2)∠AFBの大きさを求めなさい。

問3 下の図のように,関数y=-x+8……①のグラフがあります。①のグラフとx軸,y軸との交点をそれぞれA,Bとします。x軸上に点C(-6, 0)を,線分AB上に点Pをとり,線分CPとy軸との交点をQとします。点Oは原点とします。
   △BPQ=△COQとなるとき,点Pの座標を求めなさい。
【解答例】            配点17点/60点
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問1(4点)正答率23%ぐらい
x^2+ax-ab=0 に,x=-6を代入して,
36-6a-ab=0 a(b+6)=36 36=2^2*3^2
b+6=9, 12, 18, 36
b=3のとき,a=4 x=2
b=6のとき,a=3 x=3
【(a, b)の組 各1点 xの値 各1点】
【コメント】
 4年連続出された整数問題ですが,最後の年で簡単になりましたね。でもこれぐらいの難易度が適切な気がします。
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問2(1)(3点)正答率 38.5%
AC直径で,弧AB:弧BC=2:1だから,中心角の合計180°なので,∠BOC=180°÷3=60°
問2(2)(4点)正答率12.0%
弧AE:弧ED=1:2で,円周角の合計は90-33=57°だから,∠EBD=57÷3×2=38° 弧ABの中心角は120°だから,円周角∠ADB=60° 外角の関係から,∠AFB=38+60=98°

【コメント】
 (1)は解けて当たり前(の割には正答率低い……。)(2)は,都立高校の独自問題でよく出題されますね。
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問3(6点)正答率5.8%

※BC//POのとき,△OPB=△OPCとなる。
△BPQ=△OPB-△OPQ,△COQ=△OPC-△OPQより,△BPQ=△COQとなる。記述式の答案でそこまでは書かなくて良い。
2点B,Cを通る直線と2点O,Pを通る直線が平行のとき,△BPQ=△COQとなる。
【どういうときに△BPQ=△CQQとなるか書かれている 2点】
直線BCの傾きは,4/3であるから,直線OPの式は,y=4/3 x…①となる。【OPの式 1点】
点Pは,y=-x+8…②と直線OPの交点であるから,①,②を連立した方程式を解いて,x=24/7,y=32/7 
P(24/7,32/7) 【x,y各1点,Pの座標1点】
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 裁量導入4年目,2011年度までがあまりにも難しくて「裁量は捨てよう。」という指導が全道でされた結果,それじゃ意味が無いので適度な難易度になりました。これぐらいで良い気がします。正答率も丁度良いですね。2013年度から迷走しますが……。




comment (-) @ 北海道 高校入試 解説

2011年度 裁量問題 数学 解説

2019/11/10

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2011年度は,問題難易度自体はそこまでじゃないのですが,ひたすら面倒くさいので,諦める,焦る受験生が続出したと思われます。

~の倍数の見分け方の問題が出ています,1回経験しておくと良いかもしれません。

TITLE:学校裁量問題解説 2011年度

出題内容:組み合わせ,平面図形,関数

.PDFのURL:https://drive.google.com/open?id=1LZeKJ1K33VvQPtt1VbkSLdQ1KJhmoheU

<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説③
【出典:2011年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1 下の図のように,関数y=x-6……①のグラフがあります。点Oは原点とします。この図に,関数y=-2x+3……②のグラフをかき入れ,さらに関数y=ax+8……③のグラフを書き入れるとき,aの値によっては①,②,③のグラフによって囲まれる三角形ができるときと,できないときがあります。
   ①,②,③のグラフによって囲まれる三角形ができないときのaの値をすべて求めなさい。













問2 下の図のように,半径6 cmの円Oの円周上に3点A,B,Cがあります。AB=AC,∠ABC=30°とします。点Dは点Bを出発して,点Aをふくまない弧BC上を,点Cまで移動します。
   2点C,D間の距離が最大となるとき,四角形ABCDの面積は27√3 cm2であることを説明しなさい。ただし,四角形ABDCの面積を求める式も書きなさい。

問3 下の図のように,1,3,5,7,9の数字を1つずつ書いた5枚のカードがあります。この5枚のカードの中から,3枚のカードを1枚ずつ,もとにもどさず取り出します。1枚目に取り出したカードの数字をa,2枚目に取り出したカードの数字をb,3枚目に取り出したカードの数字をcとするとき,7a+3b+cが3の倍数となる取り出し方は,全部で何通りありますか,求めなさい。
1 3 5 7 9

【解答例】            配点15点/60点
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問1(5点)正答率4.2%
aの値は3つある。まず,①か②と平行な場合,三角形は出来ない。これはすぐ思いつく。a=1, -2
次に,③が①と②との交点を通る場合。これも三角形出来ない。a=-11/3
a=1,-2,-11/3

【コメント】
1, -2は受験生割と思いついたらしい。各1点。
-11/3 は思いつけなかった人多いらしい。これ3点。
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問2(5点)正答率7.4%
2点C,D間が最大になるときは,CDが直径となるとき。円周角の定理より,∠BAC=120°だから,∠BDC=60°,CD直径だから,∠DBC=90°なので,三平方の定理より,BD=6 cm BC=6√3 cm
△CBD=1/2×6×6√3=18√3 cm^2
Aから線分BCに垂線を下ろし交点をEとする。
BE=3√3 cm,∠AEB=90°,∠ABE=30° だから,三平方の定理より,AE=3 cm
△ABC=1/2×6√3×3=9√3 cm^2
よって,四角形ABDCの面積は,
18√3+9√3=27√3 cm^2となる。


【部分点】
点Dの位置…1点
※△CBDと△ABCに分けると書いてある…2点
面積を求める式…2点

【コメント】
 これは採点面倒くさそうですね。でも,良い問題です。結構正答率高めですね。
※つまり,「この三角形とこの三角形に分けて考えます!」と書くだけで2点貰える!
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問3(5点)正答率2.3%
7a+3b+cの3bは,bに何がこようが3の倍数なので,7a+cだけ考える。
a=1のとき,7+c。c=5
a=3のとき,21+c。c=9
a=5のとき,35+c。c=1,c=7
a=7のとき,49+c。c=5
a=9のとき,63+c。c=3
上の6通りそれぞれに,bの値は3通りあるから,
6×3=18通り
※3の倍数の見分け方は,各々の位の和が3の倍数となれば良い。7+6+5=18,765は3の倍数。5+7+3=13,573は3の倍数ではない
【コメント】
たぶん,a=5のときのc=1かc=7を数え間違えると思います。難しい。
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 問題難易度自体はそこまで難しくないのですが,ひたすら時間がかかります。処理能力が求められます。




comment (-) @ 北海道 高校入試 解説