規則性と整数(2017年裁量問題解説)

2019/11/21

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今回は2017年度北海道高校入試数学,裁量問題の解説です。
標準問題の関数がやや難しかった年ですね。裁量問題は,トリッキーな問題が多かったです。整数問題が多い。
珍しく関数が出題されていません。

整数問題の練習としては、こういう問題がいいですね。知らないと解けません。


TITLE:2017年度 裁量問題 数学 解説
出題分野:規則性,整数問題,平面図形,,三平方,円周角
出典:平成29年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1WPQvQ3ovB7I5An3GLTZZltRbUNQoYwyc
<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説⑨
【出典:2017年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1  xは自然数とします。1辺の長さがx cmの正四面体について,各辺をx等分する点とすべての頂点に●印をつけることとします。
   例えば,1辺の長さが2 cmの正四面体のときは,右の図のように●印が10個つきます。
(1)1辺の長さが3 cmの正四面体のときにつく●印の個数を求めなさい。
(2)1辺の長さがx cmの正四面体のときにつく●印の個数をy個とするとき,yをxの式で表しなさい。

問2 1辺の長さがa cmとb cmの2つの正三角形があります。この2つの正三角形の面積の差を,
(49√3)/4 cm^3 とします。このときのaとbの値を,次
  のように求めるとき, ア , イ に当てはまる数を,   には解答の続きを,それぞれ書き入れて,解答を完成させなさい。
   ただし,a,bは自然数とし,a>bとします。
<解答>
 2つの三角形の面積は,それぞれ
  ア a2cm3, ア b2 cm3
と表すことができる。
 この2つの正三角形の面積の差は (49√3)/4 cm^3 なの
で,
  ア a^2- ア b^2=(49√3)/4
 a^2-b^2= イ  (a+b)(a-b)= イ である。



 




問3 下の図のように,線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Cがあります。線分ABの中点を点Oとします。次の問いに答えなさい。

(1)AC=BCとします。△ABCを,線分ABを軸として1回転させてできる立体をP,半円を,線分ABを軸として1回転させてできる立体をQとします。
   立体Pの体積は,立体Qの体積の何倍ですか,求めなさい。
(2)線分ACが線分ABより1 cm短く,線分BCが線分ABより2 cm短いとき,線分ABの長さは何 cmになりますか。
   線分ABの長さをx cmとして方程式をつくり,求めなさい。
(3)線分ABを4 cmとします。点Cは,弧AB上を点Aから点Bまで移動するものとします。
∠ABCの二等分線と∠BACの二等分線との交点をDとするとき,点Dが描いてできる線の長さを求めなさい。
ただし,点Cが点Aの位置にあるとき,点Dは点Aの位置にあり,点Cが点Bの位置にあるとき,点Dは点Bの位置にあるものとします。また,円周率はπを用いなさい。













【解答例】            配点21点/60点
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問1(1)(2点)正答率69.4%
1辺に4個●印がつく。頂点につくのを抜いて,4-2=2個。2×6=12個。
頂点は,4個あるので,12+4=16個
※計算を思いつかなくても,数えればいいだけ。
問1(2)(3点)正答率47.3%
(1)のように考えると,
y=(x+1-2)*6+4=6x-2
思いつかなくても,高校入試は,1次関数か,原点を通る2次関数しか出ないことを逆手にとって,
【1次関数と仮定する】
y=ax+bとする。(2, 10)(3, 18)なので,連立方程式を解くと良い。
【原点を通る2次関数と仮定する】
(2, 10),(3, 18)を通るy=ax^2のグラフは無い。
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問2(アイ各1点,連立方程式1点,ab各1点)
正答率8.7%
ア)1/2*a*√3/2 a=√3/4 a^2 ア)√3/4 b^2
a^2-b^2=イ)49 (a+b)(a-b)=イ)49
a,bも自然数であるから,(a+b)も(a-b)自然数である。a+b>a-bであるから,
{█(a+b=49@a-b=1)┤
これを解いて,a=25, b=24
【コメント】
 北海道,整数問題好きですね。
ア)イ)は常識だから埋めよう。それ以外は……なんでこんなに正答率高いのかが不思議である。
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問3(1)(3点) 正答率30.2%
半径rとする。AC=BCだから,△ABCは直角二等辺三角形。
P) おとなしく,△OACと△OBCに分ける。
体積同じなので,2倍すればよい。
P:πr^2*r*1/3*2=2/3 πr^3
Q) ただの球。
Q:4/3 πr^3 PはQの 1/2 倍
(2)(4点) 正答率30.7%
△ABCは直角三角形であるから,
AB^2=BC^2+CA^2
x^2=(x-2)^2+(x-1)^2【2点】
x^2-6x+5=0 【1点】
(x-5)(x-1)=0
2<xであるから,x=5 5 cm【1点】

(3)4点 正答率3.3%

∠CAB+∠CBA=90°で一定で,∠OAD+∠OBDはその半分だから,∠OAD+∠OBD=45°で一定。よって,∠ADBは常に135°だから,同一円周上を動くと言える。
すると,どこかに中心がある。円の中心Eは,弦(線分AB)の垂直2等分線上にあるので,直線DO上にある。円周角の定理より,∠ADB=135°だから,∠AEBの大きい方の角は135°×2=270°より,∠AEBの小さいほうの大きさは90°
OB=2 cmだから,Dが動くおうぎ形の半径は,
2×√2=2√2 cm 中心角90°なので,
4√2×90/360×π=√2 π cm
【コメント】
 円のように動くんだろうなという認識が大事です。より詳しい解説をブログに乗せています。
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 極端に難しい問題は出題されませんでした。




comment (-) @ 計算問題,整数問題

立方体切断(2016年裁量問題解説)

2019/11/19

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※問3の問題文の図間違っていたので訂正(2021/03/05)

2016年度は,難易度が若干ぶり返した......わけではないのですが,難易度見極めできなかった受験生が多く,難しい年となってしまいました。

難易度見極めの練習として,2016年度はちょうどよいでしょう。

立方体切断の話が出ています。知っていれば瞬殺,知らなければOUTです。知らない受験生の方が多かったので,プリント内で詳しく解説しておきました。「向かい合う辺は平行!」これさえ知っていればなんとかなります。

2016年度 裁量問題 数学 解説
出題分野:平面図形,規則性,関数,確率,立体切断
出典:平成28年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html
<問題>
20161.jpg


2016222.jpg


2016 北海道 裁量 数学 高校入試 立方体 切断 難問 解説 解答


<解答解説,PDFはこちら↓↓>



comment (-) @ 立体図形

回転(2015年裁量問題解説)

2019/11/19

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2015年度は,正答率1桁の問題がないという,珍しい年です。正答率10%代の問題が多く,ある意味難易度調整に成功しています。

最上位高校では,差がつかないですね。1問ぐらいえげつない問題を用意してもいい気がします。

2013年度に三平方の定理を出しまっくた反動なのか,2014,2015と連続して,裁量問題で三平方の定理が出題されていません。難問に三平方がないって珍しいですね。

今年はとにかく回転してます。

TITLE:2015年度 裁量問題 数学 解説
出題分野:関数,確率,平面図形,回転体
出典:平成27年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1V1WysNk9ayXwsjP6aep7hvagTTi4vnJo
<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説⑦
【出典:2015年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1 大小2つのさいころを同時に投げ,下の図にルールIまたはルールIIにしたがって点Pをとります。点Oは原点とします。次の問いに答えなさい。

(ルールI)
 点Pのx座標は,大きいさいころの出た目の数とし,点Pのy座標は,小さいさいころの出た目の数とします。
 例えば,大きいさいころの出た目の数が1,小さいさいころの出た目の数が2のとき,点Pは(1,2)となります。
(ルールII)
 点Pのx座標は,大きいさいころの出た目の数が偶数ならばその数とし,奇数ならばその数の符号を負とした数とします。また,点Pのy座標は,小さいさいころの出た目の数が偶数ならばその数とし,奇数ならばその数の符号を負とした数とします。
 例えば,大きいさいころの出た目の数が1,小さいさいころの出た目の数が2のとき,点Pは(-1,2)となります。
(1) ルールIにしたがうとき,点Pが関数y=6/x の
 グラフ上の点になる確率を求めなさい。
(2) ルールIIにしたがうとき,点Pと点(1/2,1/2)との距
 離が5以下になる確率を求めなさい。

問2 図1のように,OA=5 cmの直角二等辺三角形OABがあります。次の(1)~(3)に答えなさい。ただし,円周率はπを用いなさい。

図1
(1)図1の△OABを,点Oを中心として矢印の方向に20°回転させるとき,点Bが動いてできる弧の長さを求めなさい。
(2)図1の△OABを,点Oを中心として矢印の方向に90°回転させるとき,辺ABが動いてできる図形の面積を求めなさい。
(3)図2のように,図1の△OABと平行で,距離が5 cmの直線lがあります。△OABを,辺OAを軸として1回転させてできる立体をP,直線lを軸として1回転させてできる立体をQとします。立体Pの体積を求めなさい。また,立体Pの体積は,立体Qの体積の何倍ですか,求めなさい。
                     l












【解答例】            配点18点/60点
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問1(1)(3点)正答率68.3%
xy=6となる(x, y)の組は,(1, 6)(2, 3)(3, 2)(6, 1)
の4通り。
1/9
問1(2)(4点)正答率12.3%
コンパスを持っているので,以下のような図を描けば良い。

16通りあるから,
16/36=4/9
【コメント】
 (2)は,高校入試史上最も良い問題ですね。
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問2(1)(3点)正答率21.7%
半径OB,中心角20°の扇形の弧の長さを求めればいいだけ。
10√2×20/360×10√2×1/18×π=(5√2 π)/9 cm



問2(2)(4点)正答率12.5%
動かしてできる三角形を△OA’B’とする。
弧A’Aを延長して,OB’との交点をC,OBとの交点をC’とする。すると,扇形OC’Aと扇形OCAの面積が等しくなる。よって,求める面積は,
(5√2)^2×π×1/4-5^2×π×1/4=π/4 (50-25)=25/4 π 〖cm〗^2

問2(3)(4点)正答率13.1%
P:5×5×π×5×1/3=125/3 π〖 cm〗^3
BOを延長し,lとの交点をEとする。
すると,
Q:10×10×π×10×1/3-5×5×π×5-125/3 π
=π(1000/3-125-125/3)
=500/3 π  P/Q=125/500=1/4 倍
【コメント】
 (2)は,2010年度高校入試で正答率0.0%だった問題と全く同じ考え方をする問題です。過去問演習がいかに大事かわかりますね。道教委の模範解答は,長々とわけわからんこと書いていますが,上記のような解答でよいと思われます。(ちゃんと等しい理由を書く。)
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 正答率1ケタ台の問題がないという,大変珍しい年になっております。最上位高校では差がつかないですね。




comment (-) @ 平面(計算メイン)

読解力と整数(2014年裁量問題)

2019/11/18

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2014年度は昨年度みたいに露骨に易しい問題は出題されませんでしたが,露骨に難しい問題も出題されませんでした。バランスはよさげです。しかし,標準問題が易しすぎたという。

問1みたいにひたすら読解力試される整数問題は,北海道にしては珍しいですね。

TITLE:2014年度 裁量問題 数学 解説

出題分野:関数,整数問題,相似
出典:平成26年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1uwfjuNTq2C0jL9xVg12RPChpFRuG9TyW

<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説⑥
【出典:2014年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1  次のように,xとyについての2つの二元一次方程式
    ア x+ イ y=10…①
    ア x+ イ y=2…②
があります。
   この2つの方程式の ア には,1,3,5のいずれか1つの数を当てはめ, イ には2,4,6のいずれか1つの数を当てはめます。次の(1)(2)に答えなさい。
(1)①,②の方程式を組みにして,連立方程式をつくります。この連立方程式をみたすx,yの値がともに整数となるのは, ア , イ にそれぞれどのような数を当てはめたときですか,その数の組を4つ求めなさい。
(2)①,②の方程式のグラフをかき,①,②のグラフとy軸によって囲まれる三角形をつくります。この三角形の面積が最小となる値を,次のように求めるとき, ウ ~ オ に当てはまる数を,それぞれ書きなさい。
<解答>
 ①のグラフとy軸との交点をA,②のグラフとy軸との交点をBとし,①,②のグラフとy軸によって囲まれてできる三角形の底辺を辺ABとすると,辺ABの長さが最小となるときの値は
 ウ である。
 また,三角形の高さは,①のグラフと②のグラフの交点のx座標であるから,三角形の高さが最小となるのは,x座標が エ のときである。
 よって,①,②のグラフとy軸によって囲まれてできる三角形の面積が最小となる値は
 オ である。
問2 次の(1)(2)に答えなさい。
(1)下の図のように,線分ABを直径とする半円があります。点C,Dを弧AB上の点とし,点Aに近いほうから,点C,Dとします。AB//CD,AB:CD=2:1である線分CDを,定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし,点を表す記号C,Dをかき入れ,作図に用いた線は消さないこと。
(2)下の図のように,線分ABを直径とする半円があり,線分ABの中点を点Oとします。点Oを通り線分ABに垂直な直線と弧ABとの交点をEとし,線分OEの中点をFとします。点A,Fを通る直線と弧ABとの交点のうち,点Aと異なる点をGとします。△AOFの面積が10 cm2のとき,△AGBの面積を求めなさい。
【解答例】            配点18点/60点
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問1
(1)(1点×4)正答率55.6%
①+②より,2 ア x=12  ア x=6
よって, ア には6の約数である,1か3しか入らない。
①-②より,2 イ y=8  イ y=4
よって, イ には4の約数である,2か4しか入らない。となると,(ア,イ)の組み合わせは
(1, 2)(1, 4)(3, 2)(3, 4)しかない。
【コメント】
たぶん本番こんな鮮やかな解き方はできません。がむしゃらに代入して解いたら,「5と6は無いな。」と言うことに3分ぐらいで気づくと思われます。
(2)(ウエ各2点,オ1点)正答率3.0%
①とy軸との交点は,x=0を代入して
 イ y=10
y=10/イ
②とy軸との交点も,x=0を代入して,
y=-2/イ
イは2,4,6なので,ABの長さは
10/イ+2/イ=12/イ イ=6を代入して最小値 ウ)2

①と②との交点のx座標は,(1)より
x=6/ア 最小となるのはア=5を代入し,エ)6/5
よって,三角形の面積が最小値は
1/2×2×6/5=オ)6/5
【コメント】
ア,イがa,bで置かれていたら正答率上がった気がします。所詮文字で置いてコネコネ中2でも解けます。冷静になることが出来たらって話ですが。無理ですね。
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問2
(1)(4点)正答率47.9%
まず線分ABの垂直2等分線を引く。次に線分OA,線分OBの垂直2等分線を引く。
道教委の模範解答は,OA=AC,OB=BDとなるように作図している。(正三角形がたくさんできて,中点連結定理)
↑は,線分CDを定規で結ぶ必要があります。引くの忘れていました。
(2)(5点)正答率5.7%
半径をrとする。OA=r,OF=r/2 だから,
△AOF=1/2×r×r/2=r^2/4=10 r=2√10 
三平方の定理より,AF=5√2,AB=4√10
△AOF∽△AGBだから,面積比は,
AF^2:AB^2=50:160=5:16なので,
△AGB=10×16/5=32 cm^2
【コメント】
 ちょうどよい難易度な気がします。部分点は,半径とFAで2点,BAで1点,5:16で1点もらえます。
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 極端に易しい問題は出題されませんでした。この年は標準問題が非常に易しかったので(易しいと気づけば)裁量に割く時間がたっぷりありました。このぐらいの難易度だと嬉しいですね。
 問1のように,ひたすら読解力が試される問題は,北海道では珍しいです。



comment (-) @ 計算問題,整数問題

三平方の乱用(2013年裁量問題解説)

2019/11/17

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北海道の高校入試数学,2013年度は,裁量問題の中にも露骨に易しい問題が出てきました。(正答率90%越え)

反面,正答率0.5%など,狂った問題も存在(実はそこまで狂っていないが,計算過程書くのがきついと思われる)。

要はバランスが少し?です。ここまで極端なのは次年度からは無くなりました。(2016年度を除く。)

再び露骨に易しい問題が出題されるのは,2019年度......。


後,今年は三平方の乱用が激しく,裁量問題も,三平方知らない人さようなら。1回解けば1通り三平方マスターできる。かも。

TITLE:2013年度 裁量問題 数学 解説

出題分野:2次方程式応用,回転体,関数,三平方の定理,相似
出典:平成25年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html
<問題>
北海道 高校入試 数学 裁量問題 2013 解説

<PDF,解答例はこちら↓↓>



comment (-) @ 平面(計算メイン)

最終手段座標設定【2016年度北海道大学】

2019/11/13

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大学入試で図形問題が出た時,様々な解法があります。今の過程だと,数Aの幾何的に解く,数2の図形と方程式を利用する,数Bのベクトル,数3の複素数平面がありますね。

解けないとき,最終手段として,数2の図形と方程式があります。計算量は多くなりますが,機械的に解くことが出来ます。こういうところで介されています。

大抵は,60°や45°など,有名角が出てくると使いやすいですね。


ちなみに中学数学でもたまに使えます。(そのうち問題紹介します。)

今回は,2016年度北大の問題で,例を紹介します。模範解答は他のサイト見てください。(笑)

TITLE:最終手段座標設定

出典:2016年度 北海道大学 過去問 範囲:三角比,三角関数,ベクトル

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1BtKUPNXFJPa7cCwFTwoUSOLuSwo2YgBZ

検索用コード
最終手段座標設定     得点    /60
【出典:2016年度 北海道大学 数学2B】
 △ABCが,AB=2,AC=1+√3,∠ACB=45°をみたすとする。
(1)β=∠ABCとおくとき,sin⁡β および cos⁡2β の値を求めよ。
(2)(1)の β の値を全て求めよ。
(3)△ABCの外接円の中心をOとする。△ABCが鋭角三角形であるとき,(OC) ⃗=s(OA) ⃗+t(OB) ⃗をみたす実数s,tを求めよ。
【解答例】
(1)

図より,
AP=AC/√2=(1+√3)/√2=((√2+√6))/2
AB sin⁡β=APより,sin⁡β=((√2+√6)/2)/2=(√2+√6)/4
cos⁡2β=1-2 sin^2⁡β=1-1/8 (√2+√6)^2=-√3/2

(2)
0<β<πより,0<2β<2πであるから,
(1)より,2β=5/6 π,7/6 π
β=75°,105°

(3)
【最終手段の解答】

△ABCは鋭角三角形なので,β=5/12 π=75°となり,
∠BAC=60°となる。このとき,CB=√3となる。
図より,xy平面で,Cを原点とすると,
A(1+√3,0),B(√3,√3)となる。
点Oは3点A,B,Cを通る円の中心である。この円は,x^2+y^2+ax+by=0と表せ,
Aの座標を代入し,
4+2√3+(1+√3)a=0⋯①
Bの座標を代入し,
6+√3 (a+b)=0⋯②
①より,
a=-(4+2√3)/(1+√3)=-(4+2√3)(√3-1)/2
=-(2√3+2)/2=-√3-1であるので,②に代入し,
6+√3 (-√3-1+b)=6-3-√3+√3 b=0
b=(√3-3)/√3=1-√3
よって,x^2+y^2+(-1-√3)x+(1-√3)y=0
O((√3+1)/2,(√3-1)/2)となる。
(OC) ⃗=((-√3-1)/2,(-√3+1)/2)
(OA) ⃗=((√3+1)/2,(-√3+1)/2),(OB) ⃗=((√3-1)/2,(√3+1)/2)
(OC) ⃗=s(OA) ⃗+t(OB) ⃗とすると,
(-√3-1)/2=(√3+1)/2 s+(√3-1)/2 t⋯①
(-√3+1)/2=(-√3+1)/2 s+(√3+1)/2 t⋯②
①+②より,-√3=s+√3 t
①-②より,-1=√3 s-t
この連立方程式を解いて,
s=-√3/2,t=-1/2

【コメント】
 有名角が出てきて,ベクトル,複素数平面等分からなかったら,最終手段座標設定があります。


comment (-) @ 大学入試