確率と場合分け(2017年度岐阜県)

2020/10/27

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このブログ確率の問題少ないなと思ったので,探して解説作ってきました。

高校数学では場合分けが重要ですが,中学数学で場合分けが求められるのは確率ぐらいです。(と言っても可愛いもんですが)

今回の問題は,見た目は本当に易しそうですが,地味に地雷があります。

しかし最近確率にせよ,関数にせよ,このブログ動点P多いな......。

動点Pと確率と場合分け
目標時間:6分 難易度:★★★★☆ 範囲:中2確率 出典:平成29年度茨城県
URL:https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/gifu/2017/math/question03.html

<問題>
rena3.png


<解答例,PDFはこちら↓↓>



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確率と格子点(2018年度秋田県)

2020/10/25

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本日は,秋田県の問題を紹介します。

学力テストでいつも上位を取っているからか?入試も良い感じに難しい問題だらけです。

びっくりしたのが,試験時間が60分なんですね。じっくり試験されています。

今回は,大学入試でも高校入試でも強烈な格子点問題です。

題材は2次関数のグラフですが,どう考えても確率,整数問題の性質が強いので,カテゴリは「その他」としました。



第37回芸術的な難問高校入試
「確率と格子点」
出典:平成30年度 秋田県 高校入試 過去問
URL:https://www.pref.akita.lg.jp/pages/genre/15419

<問題>
akita1.png

akita2-2.png


<PDF・解答解説はコチラ↓↓>



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確率と1次関数の典型題(2013年度函館ラサール高校)

2020/09/16

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大学入試は高校入試と異なり,図がたくさん書いてあってイメージで問題を理解しやすいようにできています。中学生は自分で図を描くという習慣が無い,難しいためです。たぶん。

今回は確率と1次関数を絡めた基本中の基本,典型問題ですが,文字しかないので,大抵の中学生は逃げるでしょうね。(後,傾きのyの増加量/xの増加量忘れるとかで)

1度解いておいて損はありません。捻らなさすぎで,あまり面白い問題とは言えませんが。

確率と1次関数
目標時間:6分 難易度:★★★☆☆ 範囲:中2一次関数,中2確率
出典:平成25年度 函館ラ・サール高校 過去問

<問題>
大,小2つのさいころを同時に投げて,出た目の数をそれぞれa,bとする。そのa,bに対して,原点Oとする座標平面上に2点A(a,0),B(0, b)をとる。ただし,座標の1目盛りを1 cmとする。このとき次の問いに答えなさい。

(1)2点A,Bを通る直線がy=-2xと平行になる確率は( ア )である。
(2)2点A,Bを通る直線の傾きが整数となる確率は( イ )である。
(3)△OABの面積が3 cm2以上になる確率は( ウ )である。

<解答例とPDFはこちら↓>



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xパーセント問題の方程式(2018年度札幌第一高校)

2020/09/14

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アクセス解析をしたら,結構人気なのが,札幌第一高校の過去問の「食塩水の方程式」。第2位の人気です。(ちなみに第1位はこちら

第一が人気なのか,方程式系の問題が人気なのか,分かりませんが,味を占めてどっちもある問題をまた拾ってきました。

今年度は全国的に入試の範囲が短くなっているので,図形問題出せない代わりに,方程式とか,パーセント計算とか,とにかく計算系問題が多くなる気がします。いつもより計算頑張らないとね。

xパーセント計算
目標時間:9分 難易度:★★★★☆ 範囲:中1方程式,中3二次方程式
出典:平成28年度 札幌第一高校 過去問

<問題>
 ある学校の2015年度の入学者は200名であった。2016年度は2015年度よりx%減少し,2017年度は2016年度より2x%増加した。このとき,

(1)x=5のとき,2016年度の入学者は,(  )名である。

(2)x=5のとき,2017年度の入学者は,(  )名である。

(3)2015年度から2017年度の入学者合計は596名であった。このとき,x=(  )である。ただし,xは自然数である。

<解答例とPDF↓>


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塩と不定方程式(2014年度札幌第一高校)

2020/07/07

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google解析で検索ワードを見たら「連立方程式 難問」で検索して訪問されてる方がいました。ごめんなさい,連立方程式の難問は無かったですね。

また来てくれるか分かりませんが,今回は札幌の私立高校の連立方程式,不定方程式の難問を紹介します。

中学生には少し難しい不定方程式です。(でも札幌市中央区の定期テストには平気で出題されてるらしい。怖いね,文教地区。)

連立方程式の方も,結構良い捻り方されています。塩分問題としてgood。食塩水の良問です。

※ちなみによく”塩分濃度”という誤用がありますね。「分」に,濃度の意味は含まれているので,「塩分濃度」だと意味が重なってしまいます!ただ,そのうち広辞苑に「こちらも可」と載りそうな勢いですが......。

第28回芸術的な難問高校入試
「塩と不定方程式」
出典:2014年度 札幌第一高校 過去問
過去問:https://school.js88.com/scl_h/22052640?page=9
範囲:連立方程式,不定方程式,塩分
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★☆☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1oO25kkaNJRFXCndKouHjFZfXjINIzbBG/view?usp=sharing

その他の良問高校入試まとめはコチラ


<検索用>

次の空欄に当てはまる数値を求めなさい。

 A,B,2種類のビーカーがそれぞれ10個ずつあり,Aのビーカーには4%食塩水が50 cc,Bのビーカーには12%食塩水が50 cc入っている。
 Aのビーカーを【 ア 】個とBのビーカーを【 イ 】個混ぜ合わせると8%食塩水が600 ccできる。また,真水を加えてもよいとすると,8%食塩水600 ccの作り方は【 ウ 】通りあり,この中で真水を最も多く加えるのは,Aのビーカーを【 エ 】個とBのビーカーを【 オ 】個混ぜ合わせたときである。ただし,混ぜ合わせに用いたビーカーの食塩水はすべて使用し,1種類のビーカーだけを用いて作ってもよいものとする。
【解答例】

Aをx個,Bをy個使うとする。

【ア】【イ】(各2点)
Aがx個で合計50x cc,Bがy個で合計50y ccであるから,50x+50y=600 すなわちx+y=12⋯①
Aの4%食塩水50 ccには,塩は2 cc,
Bの12%食塩水50 ccには,塩は6 cc入っているから,
(2x+6y)/600=8/100 すなわち2x+6y=48⋯②
①,②を連立した方程式を解いて,x=6,y=6
【ア】6【イ】6

【ウ】(4点)
8%食塩水600 ccには,塩は48 g入っているから,
2x+6y=48 これを満たす自然数(x, y)の組を考えればよい。yについて解くと,
y=8-x/3 これを満たす自然数xは,0,3,6,9の4通り
したがって,              【ウ】4

【エ】【オ】(各2点)
真水を最も多く加えるには,食塩水の量は少なければいいので,x+yが小さい(x, y)=(0, 8)とすればよい。
【エ】0【オ】8

【コメント】
 札幌の最近はめちゃんこ頑張っている私立,札幌第一高校の過去問です。
 【ア】【イ】は,ビーカーをたくさん使うという,ちょっと工夫された問題。しかし,結局左記のように,教科書などで基本を理解していれば解ける問題。……塩分問題自体が結構難しめですが。あんまり数学でやる必要あるか?という感じではあります。
 【ウ】が非常に良い問題です。「塩の量のみに注目するか」これができるかどうかです,結構難しい。気づけても,中学生には難しい不定方程式。さらなる難関として,x=0を忘れないというものがあります。
 【エ】【オ】は出題意図が少しわかりません。【ウ】が分かれば余裕です。配点も?なので,芸術度を-1して4としておきました。
 【ア】【イ】は解けて当たり前にし,【ウ】のような考え方を理解しておきましょう。




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キャッシュレス還元(2020年度都立新宿高校)

2020/06/27

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「キャッシュレス還元」6月末で終了してしまいます。非常にショックです。

それと同時に,ごみ袋有料化の義務化です。(セイコーマートは除く,さすが!)

どうして同時に来てしまうのでしょうかね。

ゴミ袋有料化に関しては,絶対環境問題よくわかっていない人が推進してそう。環境学学んでほしい。

さて,そんな愚痴はどうでもいいとして,新宿高校に,キャッシュレス還元を用いる数学の問題がございました。

ただ使っているだけでなく,入試問題としても素敵です。


問題の出典:http://www.shinjuku-h.metro.tokyo.jp/site/zen/entry_0000006.html

第25回芸術的な難問高校入試
「キャッシュレス還元」
出典:2020年度(令和2年度)東京都立新宿高校 過去問
範囲:連立方程式 など
難易度:★★★☆☆☆ 美しさ:★★★★★★

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1XY1zoib56-vjvFbVdCisnwWhzSChuxjO/view?usp=sharing


その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

<検索コード>

芸術的な高校入試第25回
出典:2020年度 都立 新宿高校
難易度:★★★☆☆☆ 美しさ:★★★★★★
総試験時間:50分 配点:40点/100点
 次の各問に答えよ。
問1
  (5/7-1/21)×3/√6-√3/2÷√(9/8) を計算せよ。











問2 二次方程式
(2x+3)^2-3(x+3)+2=1 を解け。











問3
  x=(5-4√7)/2,y=(5+8√7)/2 のとき,
x^2+2xy+y^2+4x-4yの値を求めよ。






問4
  箱の中に,1,2,3,4,5,6の数字を1つずつ書いた6枚のカード1,2,3,4,5,6が入っている。
  この箱の中にある6枚のカードから,カードを1枚取り出し,取り出したカードに書いてある数字をaとし,取り出したカードを箱の中に戻して,もう一度箱の中にある6枚のカードから1枚取り出し,取り出したカードに書いてある数字をbとするとき,
(2a+b)/√ab が整数となる確率を求めよ。
  ただし,どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。











問5
  図1のように,円Oの周上に,4点A,B,C,Dがある。点Aと点B,点Aと点D,点Bと点C,点Cと点Dをそれぞれ結ぶ。AB=BCとし,点Cを含まない⏜ABの長さが,点Bを含まない⏜ADの長さの3倍であり,点Cを含まない⏜ABの長さが,点Bを含まない⏜CDの長さの6倍であるとき,xで示した∠BADの大きさは何度か。
図1

問6
  消費税8%の商品Aを税込み価格(a)円で,消費税10%の商品Bを税込み価格(b)円で,それぞれ現金で購入するときに支払う消費税額を計算すると,合計60円であった。商品AとBを,キャッシュレス決済(現金を使わない支払い方法)で購入するとき,それぞれの税込み価格に対して5%分の金額が,支払い時に値引きされるお店で支払う金額を計算すると,合計722円であった。(a),(b)に当てはまる数を求めよ。












問7
  図2で,四角形ABCDの辺AB,辺AD,辺CDにそれぞれ接する円の中心をOとし,辺CDとの接点をEとする。回答欄に示した図をもとにして,点Eを定規とコンパスを用いて作図によって求め,点Eの位置を示す文字Eも書け。ただし,作図に用いた線は消さないでおくこと。

図2




























【解答例】
問1(5点)
(5/7-1/21)×3/√6-√3/2÷√(9/8)
=2/3×3/√6-√(2/3)=(2√6)/6-√6/3=0

問2(5点)
(2x+3)^2-3(x+3)+2=1
4x^2+12x+9-3x-9+1=0
4x^2+9x+1=0
x=(-9±√65)/8

問3(5点)
x^2+2xy+y^2+4x-4y
=(x+y)^2+4(x-y)
=(5+2√7)^2+4(-6√7)
=25+20√7+28-24√7=53-4√7

問4(5点)

まず√ab が整数になるには,
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
の8通り。

上記のa,bにおいて,2a+bが割り切れないのは,a=4,b=1のみ。したがって,合計7通り。
7/36





問5(5点)
∠BAC=∠BCA=aとし,条件をもとに図に描きこんでいく。

すると,△ABDにおいて,
1/3 a+a+7/6 a=15/6 a=180 より,a=72
x=7/6 a=84


























問6(4点×2)
前半の条件から,
8/108 a+10/110 b=60…①
後半の条件から,
95/100 a+95/100 b=722…②
この連立方程式を解く。
②より,a+b=760 a=760-b ①に代入して。
8/108 (760-b )+1/11 b=60 両辺108*11かけて
66880-88b+108b=71280 20b=4400 b=220
a=540

問7(7点)

OA,ODを利用して,合同な三角形がたくさんできることが分かる。よって,まずは,①∠A,Dの二等分線を引き,中心Oを作図。その後,②点Oから,辺CDに垂線を下ろせばよい。










【コメント】
 適当に高校入試の問題を見ていたら,新宿高校の「キャッシュレス還元」が目に留まりました。小問集合だったので,とりあえず全部紹介。
 問6,非常に面白いです。どんな風に割引がなされるのか,考えるきっかけにもなりますし,何よりそれなりに捻ってあります。①は,例えば本体価格がx円で,消費税8%だった場合,
本体価格 消費税込み
100/100 x  108/100 x
となりますから,もし消費税込みy円だったら,その逆算をすればよいので,
本体価格 消費税込み
100/108 y  108/108 y
となります。
 あとは,②が簡単な式になることに気づいて,上手く計算を頑張れるかです。ただキャッシュレス還元で面白くしているだけでなく,入試としても丁度よいですね。素晴らしい。
 ただ残念なのが,今月末でキャッシュレス還元終了。結構割引されてたから困る……。

 地味に他の問題も丁度よいです。

【作成】
「高校入試 数学 良問・難問」
https://hokkaimath.blog.fc2.com/


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割り算と式(2016年度函館ラサール高校)

2020/06/21

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入試範囲が狭くなったら,代わりに出題される可能性の高い問題の1つとして「整数問題」があります。

学校の授業ではあまり扱われませんが「問題文を読めばわかるでしょ」というノリで出題されます。

ちなみに過去の北海道高校入試では,明らかに特殊な対策必要な問題が回出題されています。

・これの2010年度とか



今回の函館ラサールの問題は,特殊な対策は必要ありません。問題文を読めれば,小学生でも解けます。しかし,入試で出題されたら,少なくない中学生が「面倒だ」という理由で放棄しそう......。



「割り算と式」
出典:2016年度 函館 ラ・サール高校 過去問
範囲:関数,相似,回転体
難易度:★★★☆☆☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/18Vg6djCnTwwAdFFogHjTfraGeBaDpZsG/view?usp=sharing


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おつりを最も多くする方法

2020/01/25

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ティッシュペーパーを購入するとき,必ず電卓で「1枚当たりの価格」を調べて,最も安いものを選ぶと思われます。

例えば,160枚入×5パックが400円,200枚入り×5パックが600円であれば,160枚入りの方は1枚当たり0.5円,200枚入りの方は1枚あたり0.6円となって,前者の方が安いですね。

今回は,それのポテチバージョン。

おつりを最も多くする方法
範囲:場合の数,連立方程式
難易度:★★★★☆ 目標時間:7分

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=14o02QIYM9SVhA03n6iFhLKEkICGoiyQu




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