高校入試　数学　良問・難問

確率と場合分け（2017年度岐阜県）

2020/10/27

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このブログ確率の問題少ないなと思ったので，探して解説作ってきました。

高校数学では場合分けが重要ですが，中学数学で場合分けが求められるのは確率ぐらいです。（と言っても可愛いもんですが）

今回の問題は，見た目は本当に易しそうですが，地味に地雷があります。

しかし最近確率にせよ，関数にせよ，このブログ動点P多いな......。

動点Pと確率と場合分け
目標時間：6分　難易度：★★★★☆　範囲：中2確率　出典：平成29年度茨城県
URL：https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/gifu/2017/math/question03.html

＜問題＞

＜解答例，PDFはこちら↓↓＞

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確率と格子点（2018年度秋田県）

2020/10/25

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本日は，秋田県の問題を紹介します。

学力テストでいつも上位を取っているからか？入試も良い感じに難しい問題だらけです。

びっくりしたのが，試験時間が60分なんですね。じっくり試験されています。

今回は，大学入試でも高校入試でも強烈な格子点問題です。

題材は2次関数のグラフですが，どう考えても確率，整数問題の性質が強いので，カテゴリは「その他」としました。

第37回芸術的な難問高校入試
「確率と格子点」
出典：平成30年度　秋田県　高校入試　過去問
URL：https://www.pref.akita.lg.jp/pages/genre/15419

＜問題＞

＜PDF・解答解説はコチラ↓↓＞

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確率と1次関数の典型題（2013年度函館ラサール高校）

2020/09/16

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大学入試は高校入試と異なり，図がたくさん書いてあってイメージで問題を理解しやすいようにできています。中学生は自分で図を描くという習慣が無い，難しいためです。たぶん。

今回は確率と1次関数を絡めた基本中の基本，典型問題ですが，文字しかないので，大抵の中学生は逃げるでしょうね。（後，傾きのyの増加量/xの増加量忘れるとかで）

1度解いておいて損はありません。捻らなさすぎで，あまり面白い問題とは言えませんが。

確率と1次関数
目標時間：6分　難易度：★★★☆☆　範囲：中2一次関数，中2確率
出典：平成25年度　函館ラ・サール高校　過去問

＜問題＞
大，小2つのさいころを同時に投げて，出た目の数をそれぞれa，bとする。そのa，bに対して，原点Oとする座標平面上に2点A（a，0），B（0, b）をとる。ただし，座標の1目盛りを1 cmとする。このとき次の問いに答えなさい。

（1）2点A，Bを通る直線がy＝－2xと平行になる確率は（　ア　）である。
（2）2点A，Bを通る直線の傾きが整数となる確率は（　イ　）である。
（3）△OABの面積が3 cm2以上になる確率は（　ウ　）である。

＜解答例とPDFはこちら↓＞

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xパーセント問題の方程式（2018年度札幌第一高校）

2020/09/14

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アクセス解析をしたら，結構人気なのが，札幌第一高校の過去問の「食塩水の方程式」。第2位の人気です。（ちなみに第1位はこちら）

第一が人気なのか，方程式系の問題が人気なのか，分かりませんが，味を占めてどっちもある問題をまた拾ってきました。

今年度は全国的に入試の範囲が短くなっているので，図形問題出せない代わりに，方程式とか，パーセント計算とか，とにかく計算系問題が多くなる気がします。いつもより計算頑張らないとね。

xパーセント計算
目標時間：9分　難易度：★★★★☆　範囲：中1方程式，中3二次方程式
出典：平成28年度　札幌第一高校　過去問

＜問題＞
　ある学校の2015年度の入学者は200名であった。2016年度は2015年度よりx％減少し，2017年度は2016年度より2x％増加した。このとき，

（1）x＝5のとき，2016年度の入学者は，（　　）名である。

（2）x＝5のとき，2017年度の入学者は，（　　）名である。

（3）2015年度から2017年度の入学者合計は596名であった。このとき，x＝（　　）である。ただし，xは自然数である。

＜解答例とPDF↓＞

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塩と不定方程式（2014年度札幌第一高校）

2020/07/07

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google解析で検索ワードを見たら「連立方程式　難問」で検索して訪問されてる方がいました。ごめんなさい，連立方程式の難問は無かったですね。

また来てくれるか分かりませんが，今回は札幌の私立高校の連立方程式，不定方程式の難問を紹介します。

中学生には少し難しい不定方程式です。（でも札幌市中央区の定期テストには平気で出題されてるらしい。怖いね，文教地区。）

連立方程式の方も，結構良い捻り方されています。塩分問題としてgood。食塩水の良問です。

※ちなみによく”塩分濃度”という誤用がありますね。「分」に，濃度の意味は含まれているので，「塩分濃度」だと意味が重なってしまいます！ただ，そのうち広辞苑に「こちらも可」と載りそうな勢いですが......。

第28回芸術的な難問高校入試
「塩と不定方程式」
出典：2014年度　札幌第一高校　過去問
過去問：https://school.js88.com/scl_h/22052640?page=9
範囲：連立方程式，不定方程式，塩分
難易度：★★★★★☆　美しさ：★★★★☆☆

.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/1oO25kkaNJRFXCndKouHjFZfXjINIzbBG/view?usp=sharing

その他の良問高校入試まとめはコチラ

＜検索用＞

次の空欄に当てはまる数値を求めなさい。

　A，B，2種類のビーカーがそれぞれ10個ずつあり，Aのビーカーには4％食塩水が50 cc，Bのビーカーには12％食塩水が50 cc入っている。
　Aのビーカーを【　ア　】個とBのビーカーを【　イ　】個混ぜ合わせると8％食塩水が600 ccできる。また，真水を加えてもよいとすると，8％食塩水600 ccの作り方は【　ウ　】通りあり，この中で真水を最も多く加えるのは，Aのビーカーを【　エ　】個とBのビーカーを【　オ　】個混ぜ合わせたときである。ただし，混ぜ合わせに用いたビーカーの食塩水はすべて使用し，1種類のビーカーだけを用いて作ってもよいものとする。
【解答例】

Aをx個，Bをy個使うとする。

【ア】【イ】（各2点）
Aがx個で合計50x cc，Bがy個で合計50y ccであるから，50x+50y=600　すなわちx+y=12⋯①
Aの4％食塩水50 ccには，塩は2 cc，
Bの12％食塩水50 ccには，塩は6 cc入っているから，
(2x+6y)/600=8/100　すなわち2x+6y=48⋯②
①，②を連立した方程式を解いて，x=6,y=6
【ア】6【イ】6

【ウ】（4点）
8％食塩水600 ccには，塩は48 g入っているから，
2x+6y=48　これを満たす自然数（x, y）の組を考えればよい。yについて解くと，
y=8-x/3　これを満たす自然数xは，0,3,6,9の4通り
したがって，　　　　　　　　　　　　　　【ウ】4

【エ】【オ】（各2点）
真水を最も多く加えるには，食塩水の量は少なければいいので，x+yが小さい（x, y）=（0, 8）とすればよい。
【エ】0【オ】8

【コメント】
　札幌の最近はめちゃんこ頑張っている私立，札幌第一高校の過去問です。
　【ア】【イ】は，ビーカーをたくさん使うという，ちょっと工夫された問題。しかし，結局左記のように，教科書などで基本を理解していれば解ける問題。……塩分問題自体が結構難しめですが。あんまり数学でやる必要あるか？という感じではあります。
　【ウ】が非常に良い問題です。「塩の量のみに注目するか」これができるかどうかです，結構難しい。気づけても，中学生には難しい不定方程式。さらなる難関として，x＝0を忘れないというものがあります。
　【エ】【オ】は出題意図が少しわかりません。【ウ】が分かれば余裕です。配点も？なので，芸術度を－1して4としておきました。
　【ア】【イ】は解けて当たり前にし，【ウ】のような考え方を理解しておきましょう。

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キャッシュレス還元（2020年度都立新宿高校）

2020/06/27

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「キャッシュレス還元」6月末で終了してしまいます。非常にショックです。

それと同時に，ごみ袋有料化の義務化です。（セイコーマートは除く，さすが！）

どうして同時に来てしまうのでしょうかね。

ゴミ袋有料化に関しては，絶対環境問題よくわかっていない人が推進してそう。環境学学んでほしい。

さて，そんな愚痴はどうでもいいとして，新宿高校に，キャッシュレス還元を用いる数学の問題がございました。

ただ使っているだけでなく，入試問題としても素敵です。

問題の出典：http://www.shinjuku-h.metro.tokyo.jp/site/zen/entry_0000006.html

第25回芸術的な難問高校入試
「キャッシュレス還元」
出典：2020年度（令和2年度）東京都立新宿高校　過去問
範囲：連立方程式　など
難易度：★★★☆☆☆　美しさ：★★★★★★

.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/1XY1zoib56-vjvFbVdCisnwWhzSChuxjO/view?usp=sharing

その他の芸術的な難問高校入試
→https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

＜検索コード＞

芸術的な高校入試第25回
出典：2020年度　都立　新宿高校
難易度：★★★☆☆☆ 美しさ：★★★★★★
総試験時間：50分配点：40点/100点
　次の各問に答えよ。
問1
　　(5/7-1/21)×3/√6-√3/2÷√(9/8)　を計算せよ。

問2　二次方程式
(2x+3)^2-3(x+3)+2=1　を解け。

問3
　　x=(5-4√7)/2,y=(5+8√7)/2 のとき，
x^2+2xy+y^2+4x-4yの値を求めよ。

問4
　　箱の中に，１，２，３，４，５，６の数字を1つずつ書いた6枚のカード１，２，３，４，５，６が入っている。
　　この箱の中にある6枚のカードから，カードを1枚取り出し，取り出したカードに書いてある数字をaとし，取り出したカードを箱の中に戻して，もう一度箱の中にある6枚のカードから1枚取り出し，取り出したカードに書いてある数字をbとするとき，
(2a+b)/√ab が整数となる確率を求めよ。
　　ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。

問5
　　図1のように，円Oの周上に，4点A，B，C，Dがある。点Aと点B，点Aと点D，点Bと点C，点Cと点Dをそれぞれ結ぶ。AB＝BCとし，点Cを含まない⏜ABの長さが，点Bを含まない⏜ADの長さの3倍であり，点Cを含まない⏜ABの長さが，点Bを含まない⏜CDの長さの6倍であるとき，xで示した∠BADの大きさは何度か。
図1

問6
　　消費税8％の商品Aを税込み価格（a）円で，消費税10%の商品Bを税込み価格（b）円で，それぞれ現金で購入するときに支払う消費税額を計算すると，合計60円であった。商品AとBを，キャッシュレス決済（現金を使わない支払い方法）で購入するとき，それぞれの税込み価格に対して5%分の金額が，支払い時に値引きされるお店で支払う金額を計算すると，合計722円であった。（a），（b）に当てはまる数を求めよ。

問7
　　図2で，四角形ABCDの辺AB，辺AD，辺CDにそれぞれ接する円の中心をOとし，辺CDとの接点をEとする。回答欄に示した図をもとにして，点Eを定規とコンパスを用いて作図によって求め，点Eの位置を示す文字Eも書け。ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

図2

【解答例】
問1（5点）
(5/7-1/21)×3/√6-√3/2÷√(9/8)
=2/3×3/√6-√(2/3)=(2√6)/6-√6/3=0

問2（5点）
(2x+3)^2-3(x+3)+2=1
4x^2+12x+9-3x-9+1=0
4x^2+9x+1=0
x=(-9±√65)/8

問3（5点）
x^2+2xy+y^2+4x-4y
=(x+y)^2+4(x-y)
=(5+2√7)^2+4(-6√7)
=25+20√7+28-24√7=53-4√7

問4（5点）
①
まず√ab が整数になるには，
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
の8通り。
②
上記のa，bにおいて，2a+bが割り切れないのは，a＝4，b＝1のみ。したがって，合計7通り。
7/36

問5（5点）
∠BAC＝∠BCA＝aとし，条件をもとに図に描きこんでいく。

すると，△ABDにおいて，
1/3 a+a+7/6 a=15/6 a=180　より，a=72
x=7/6 a=84

問6（4点×2）
前半の条件から，
8/108 a+10/110 b=60…①
後半の条件から，
95/100 a+95/100 b=722…②
この連立方程式を解く。
②より，a+b=760　a=760-b　①に代入して。
8/108 (760-b )+1/11 b=60　両辺108*11かけて
66880-88b+108b=71280　20b=4400　b=220
a=540

問7（7点）

OA，ODを利用して，合同な三角形がたくさんできることが分かる。よって，まずは，①∠A，Dの二等分線を引き，中心Oを作図。その後，②点Oから，辺CDに垂線を下ろせばよい。

【コメント】
　適当に高校入試の問題を見ていたら，新宿高校の「キャッシュレス還元」が目に留まりました。小問集合だったので，とりあえず全部紹介。
　問6，非常に面白いです。どんな風に割引がなされるのか，考えるきっかけにもなりますし，何よりそれなりに捻ってあります。①は，例えば本体価格がx円で，消費税8％だった場合，
本体価格　消費税込み
100/100 x　　108/100 x
となりますから，もし消費税込みy円だったら，その逆算をすればよいので，
本体価格　消費税込み
100/108 y　　108/108 y
となります。
　あとは，②が簡単な式になることに気づいて，上手く計算を頑張れるかです。ただキャッシュレス還元で面白くしているだけでなく，入試としても丁度よいですね。素晴らしい。
　ただ残念なのが，今月末でキャッシュレス還元終了。結構割引されてたから困る……。

　地味に他の問題も丁度よいです。

【作成】
「高校入試　数学　良問・難問」
https://hokkaimath.blog.fc2.com/

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割り算と式（2016年度函館ラサール高校）

2020/06/21

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入試範囲が狭くなったら，代わりに出題される可能性の高い問題の1つとして「整数問題」があります。

学校の授業ではあまり扱われませんが「問題文を読めばわかるでしょ」というノリで出題されます。

ちなみに過去の北海道高校入試では，明らかに特殊な対策必要な問題が回出題されています。

・これの2010年度とか

今回の函館ラサールの問題は，特殊な対策は必要ありません。問題文を読めれば，小学生でも解けます。しかし，入試で出題されたら，少なくない中学生が「面倒だ」という理由で放棄しそう......。

「割り算と式」
出典：2016年度　函館　ラ・サール高校　過去問
範囲：関数，相似，回転体
難易度：★★★☆☆☆

.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/18Vg6djCnTwwAdFFogHjTfraGeBaDpZsG/view?usp=sharing

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おつりを最も多くする方法

2020/01/25

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ティッシュペーパーを購入するとき，必ず電卓で「1枚当たりの価格」を調べて，最も安いものを選ぶと思われます。

例えば，160枚入×5パックが400円，200枚入り×5パックが600円であれば，160枚入りの方は1枚当たり0.5円，200枚入りの方は1枚あたり0.6円となって，前者の方が安いですね。

今回は，それのポテチバージョン。

おつりを最も多くする方法
範囲：場合の数，連立方程式
難易度：★★★★☆　目標時間：7分

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=14o02QIYM9SVhA03n6iFhLKEkICGoiyQu

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