高校入試　数学　良問・難問

思わぬひらめき【2015年度　立川高校】

2019/07/26

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芸術的な高校入試第5回
出典：2015年度　東京都立立川高校大問3
難易度：★★★★☆☆ 美しさ：★★★★☆☆
総試験時間：50分配点：25点/100点
　下の図のように，AB＝6 cm，BC＝10 cmの長方形ABCDがあります。辺CD上に点Eを取り，BEを直径，点Oを中心とする半円を，辺ADと交わるように書きます。半円と辺ADとの交点のうち，点Dに近い方を点F，半円と辺ABとの交点を点Gとします。次の問いに答えなさい。

問1　∠CBF＝45°のとき，△BEFの面積を求めなさい。
問2　BE//GFとします。
（1）△BCE≡△BFEを証明しなさい。
（2）線分CEの長さを求めなさい。

↓コメント等は続きから。

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【コメント1】
　こちらも比較的シンプルな図で難問を作られています。問2（2）も計算的に面倒なわけではなく，ひらめきを試されています。丁度良い問題ですね。

【解答例】
問1（7点）
∠CBF＝45°より，図の各所に45°ができる。AB＝AF＝6 cm，DF＝DE＝4 cmとなるから，
BF=6√2 cm，EF=4√2 cm，∠BFE＝90°なので，
△BEF＝24 cm^2

問2（1）（10点）

△OBGと△OEFにおいて，
仮定より，OB＝OG＝OE＝OF…①
△OGFは二等辺三角形だから底角は等しいので，
∠OGF＝∠OFG
GF//BEより，平行線の錯角は等しいから
∠OGF＝∠BOG　∠OFG＝∠EOF
よって，∠BOG＝∠EOF…②
①，②より，2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△OBG≡△OEF
したがって，∠OBG＝∠OEF
△BCEと△BFEにおいて，
共通な辺だから，BE＝BE…④
直径に対する円周角だから，∠BFE＝90°
仮定より，∠ABC＝∠BCE＝90°
したがって，∠BCE＝∠BFE＝90°…⑤
また，∠CBE＝90°－∠OBG
　　　∠FBE＝90°－∠OEF
よって，∠CBE＝∠FBE…⑥
④，⑤，⑥より，直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいから，△BCE≡△BFE（証明終わり）

※高校が発表している解答とは，別の解答を示している。
※たぶん高校の円周角使うのが模範的だが，こうすることで中2でも解ける......？

問2（2）（8点）

△ABFにおいて，AB＝6 cm，BF＝BC＝10 cmだから，
AF=√(100-36)=8　　DF=2となるから，
△DFE∽△ABFより，DF：FE＝AB：BF
2：FE=6：10　FE=10/3
FE＝CEだから，
CE=10/3 cm

【コメント2】
　問2（1）は，模範解答はもっと短いエレガントな証明ですが，常に思いつくとは限りません。「円と平行」というキーワードが出たら，Oから半径結べば何とかなることが多いです。（ただ円周角を使った方が証明は短め。）

PDF

.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/1QKfFSH8yMUe9ifWLDpNUVja3Hh6CrtHR/view

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