思わぬひらめき【2015年度 立川高校】

2019/07/26

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芸術的な高校入試第5回

出典:2015年度 東京都立 立川高校 大問3
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★☆☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
 下の図のように,AB=6 cm,BC=10 cmの長方形ABCDがあります。辺CD上に点Eを取り,BEを直径,点Oを中心とする半円を,辺ADと交わるように書きます。半円と辺ADとの交点のうち,点Dに近い方を点F,半円と辺ABとの交点を点Gとします。次の問いに答えなさい。
Screenshot_20190725-230854.png
問1 ∠CBF=45°のとき,△BEFの面積を求めなさい。
問2 BE//GFとします。

(1)△BCE≡△BFEを証明しなさい。
(2)線分CEの長さを求めなさい。

↓コメント等は続きから。





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【コメント1】
 こちらも比較的シンプルな図で難問を作られています。問2(2)も計算的に面倒なわけではなく,ひらめきを試されています。丁度良い問題ですね。

【解答例】

問1(7点)
∠CBF=45°より,図の各所に45°ができる。AB=AF=6 cm,DF=DE=4 cmとなるから,
BF=6√2 cm,EF=4√2 cm,∠BFE=90°なので,
△BEF=24 cm^2

問2(1)(10点)
Screenshot_20190725-231939.png
△OBGと△OEFにおいて,
仮定より,OB=OG=OE=OF…①
△OGFは二等辺三角形だから底角は等しいので,
∠OGF=∠OFG
GF//BEより,平行線の錯角は等しいから
∠OGF=∠BOG ∠OFG=∠EOF
よって,∠BOG=∠EOF…②
①,②より,2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから,△OBG≡△OEF
したがって,∠OBG=∠OEF
△BCEと△BFEにおいて,
共通な辺だから,BE=BE…④
直径に対する円周角だから,∠BFE=90°
仮定より,∠ABC=∠BCE=90°
したがって,∠BCE=∠BFE=90°…⑤
また,∠CBE=90°-∠OBG
   ∠FBE=90°-∠OEF
よって,∠CBE=∠FBE…⑥
④,⑤,⑥より,直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいから,△BCE≡△BFE(証明終わり)

※高校が発表している解答とは,別の解答を示している。
※たぶん高校の円周角使うのが模範的だが,こうすることで中2でも解ける......?


問2(2)(8点)
55445566.png
△ABFにおいて,AB=6 cm,BF=BC=10 cmだから,
AF=√(100-36)=8  DF=2となるから,
△DFE∽△ABFより,DF:FE=AB:BF
2:FE=6:10 FE=10/3
FE=CEだから,
CE=10/3 cm

【コメント2】

 問2(1)は,模範解答はもっと短いエレガントな証明ですが,常に思いつくとは限りません。「円と平行」というキーワードが出たら,Oから半径結べば何とかなることが多いです。(ただ円周角を使った方が証明は短め。)

PDF

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1QKfFSH8yMUe9ifWLDpNUVja3Hh6CrtHR/view
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