発想と勘(2020年度日比谷高校)

2020/05/30

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もともと北海道の高校入試数学対策サイトとして作ったこのサイトですが,都道府県別アクセス数は北海道よりも他県の方が多いという。(東京,愛知,何故か新潟が多い。人口?)

ということで,気ままに高校入試の難問,ちょっとおもしろい問題を紹介していきます。

後ジャンル変更します。

久々に日比谷の問題の解説でもしてみます。日比谷の立体問題,計算が面倒臭いイメージしかありませんでしたが,今年度のは計算「は」楽ちんですね。ただ発想,細かい記述が厳しい。

問題の出典:日比谷のホームページ

第24回芸術的な難問高校入試
「発想と勘」
出典:2020年度(令和2年度)東京都立日比谷高校 過去問
範囲:立体図形,相似,三平方の定理
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1Db819fisxMN_SaGvy3HzFZVZAyOrVajE/view?usp=sharing

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

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芸術的な高校入試第24回
出典:2020年度 日比谷高校
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
 図1に示した立体OABCは,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA,OA=OB=6 cm,OC=8 cmの四面体である。次の各問に答えよ。
図1

問1 辺ABの中点をDとし,頂点Cと点Dを結び,線分CDの中点をEとし,点Eから平面OABに垂直な直線を引き,平面OABとの交点をFとし,頂点Oと点Fを結んだ場合を考える。線分OFの長さは何cmか。





問2 図2は,図1において,辺BC上にある点を点Gとし,頂点Oと点G,頂点Aと点Gをそれぞれ結んだ場合を表している。△OAGの面積が最も小さくなる場合の面積は何cm2か。ただし,答えだけでなく,答えを求める過程が分かるように,途中の式や計算なども書け。











































問3 図3は,図1において,辺OA上にある点をH,辺OB上にある点をIとした場合を表している。
OH=2 cm,OI=5/2 cmのとき,点Hを通り,辺
  OBに平行な直線と,点Iを通り辺OAに平行な直線との交点をJとする。点Jを通り,辺OCに平行な直線と平面ABCとの交点をKとし,点Kと頂点O,点Kと頂点A,点Kと頂点B,点Kと頂点Cをそれぞれ結ぶ。
   四面体KOABの体積をV cm3,四面体KOACの体積をW cm3とする。このとき,V:Wを最も簡単な整数の比で表せ。


























































【解答例】
問1(7点)
図より,点Fは点Eは線分ODの中点である。OD=3√2 cmなので,
OF=OD/2=(3√2)/2 cm




問2(10点)
OA⊥OB,OA⊥OCより,OA⊥平面OBCであるから,∠AOG=90°となる。△OAGで底辺をOAとすると,OGが高さとなる。よって,OGが最小のとき,△OAGの面積も最小となる。
OGが最小のとき,OG⊥BCである。
△OBC=1/2×6×8=24 cm^2
BC=√(6^2+8^2 )=10 cmだか
ら,
24=1/2×10×OGより,
OG=24/5 cm OA=6 cmだから,
△AOG=1/2×6×24/5=72/5 〖cm〗^2

問3(8点)
四面体KOABにおいて,底面を△OABとすると,高さはKJとなる。
HからOAに垂直な直線引き交点L,HJを延長し,ABとの交点をMとする。
(相似色々計算して)
LH=16/3 cm,
LM=10 cm,HM=4 cm
である。

JM=4-5/2=3/2 cmであるから,△LHM∽△KJM
より,LH:KJ=HM:JM
16/3:KJ=4:3/2 KJ=2 cm
よって,四面体KOABの体積は,
V=1/3×1/2×6×6×2=12 cm^3
四面体KOACは,△OACを底面とすると,高さはJH
となる。(Kから平面OACに垂線を下ろすと,平行で長さ等しくなる)
よって,
W=1/3×1/2×6×8×5/2=20 cm^3
V:W=12:20=3:5

※問1と問3は,簡単な説明を省いている。

【コメント】
 日比谷にしては計算が面倒臭くない立体図形問題です。「計算が面倒臭くない」=「問題が簡単」というわけではありません。問1~3,閃きというか,発想力が試されます。そして受験では「まあこうだろうな」
と信じて突き進む力も試されますね。(特に問3,説明はやたら長いが,勘を信じれば素早く解ける)
 日比谷の模範解答は,やたらと問2記述してありますね。相似の証明は不要な気がしますが「OA⊥OB,OA⊥OCより,OA⊥平面OBC」だから∠AOG=90°の説明は必須でしょう。
 計算は短いですが「最初に何やっていいかわからない」沼にはまりそうな問題です。



comment (-) @ 立体図形

文字地獄(2019年度都立西高校)

2020/05/28

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2020年度は比較的落ち着いた難易度でしたが,2019年度はとんでもなく(?)難しかったのでご紹介します。何が怖いって,図は非常にシンプルで簡単そうなんですね。



問題の出典:http://www.nishi-h.metro.tokyo.jp/09nyushi/mondai.html
問題の解答:https://www.school-data.com/exam_archives/exam_result/2019/answer_tokyo.html



ちなみに問3は,2014年度愛知県の問題を先に知っておくと解きやすい?かもしれません。恐らく都立西の受験生は,こういう系統の問題を演習して,本番「台形でも似たようなことできるかな......?」と考えたはず。台形2等分知ってたら凄い。



図はシンプルで難易度高いので,美しさ5ぐらいにしようかと思いましたが,明らかに難易度調整,配置ミスってる気がするので,-1して4としておきました。現にこの年の平均点は低かったらしい......。



第23回芸術的な難問高校入試
「文字地獄」
出典:2019年度(平成31年度) 東京 都立西高校 過去問
範囲:2次関数,相似
難易度:★★★★★★ 美しさ:★★★★☆☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1NzhiGVVq7eLabqoNO9BJGNPcmGDECBec/view?usp=sharing

その他の芸術的な難問高校入試
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【都立西高校 過去問 解答】
芸術的な高校入試第23回
出典:2019年度 都立西高校
難易度:★★★★★★ 美しさ:★★★★☆☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
 図1で,点Oは原点,曲線fは関数y=ax2(a>0)のグラフを表している。2点P,Qは,ともに曲線f上にあり,点Rはx軸上にある。点Pのx座標をt,点Qのx座標をt+2,点Rのx座標をt+1とする。次の各問に答えよ。
図1

問1 図2は,図1の曲線fについて,関数y=ax2のxの値が点Pのx座標tから点Qのx座標t+2まで増加したときの変化の割合をmとし,tとmの関係をグラフで表したものである。aの値を求めよ。
図2



問2 図3は,図1において,点(2, 0)を通る直線をlとし,直線l上の点でx座標がt+3である点をSとした場合を表している。点Pが曲線f上を動くとき,四角形PRSQが常に平行四辺形となるような直線lの式を,aを用いて表せ。

図3































問3 図4は,図1において,t=2のとき,点Pと点Rを結び,PR//QTとなるような点Tをx軸上にとり,点Qと点Tを結んだ場合を表している。直線y=xが,線分PRと交わり,台形PRTQの面積を2等分するとき,aの値を求めよ。ただし,答えだけでなく,答えを求める過程が分かるように,途中の式や計算なども書け。
図4































































【解答例】
問1(7点)
図2より,t=1のときm=2,すなわち傾き2ということが分かる。t=1のとき,P(1, a)Q(3, 9a)なので,傾きは,
8a/2=4a=2 これを解いて, a=1/2

問2(8点)
四角形PRSQが平行四辺形となるには,QP//SR,ここで,PとQのx座標の差=SとRのx座標の差であるから,y座標の差が等しくなれば良い。
P(t,at^2 ),Q(t+2,a(t+2)^2 ),R(t+1,0)と表す。
直線lの傾きをbとすると,点(2, 0)を通るから,
l:y=bx-2bと表せるので,S(t+3,bt+b)
y座標の差はそれぞれ,
PQ:a(t+2)^2-at^2=4at+4a=4a(t+1)
RS:bt+b=b(t+1)
4a(t+1)=b(t+1) これを解いて(※1),b=4a
したがって,直線lは,y=4ax-8a
(※1)t=-1とそうでないときで場合分けが本来は必要。t=-1のとき,P(-1, a)Q(1, a)R(0, 0)S(2, 0)となるから,直線lは任意となる。

問3(10点)
P(2, 4a)R(3, 0)Q(4, 16a)と表す。
P,Qからx軸に垂線を下ろし交点をU,Vとすると,△PUR∽△QVT,相似比は4a:16a=1:4だから,Tのx座標は4+4=8となり,T(8, 0)
台形PRTQを二等分する直線は,PRの中点とQTの中点を結んだ線分の中点を通る。(※2)
PRの中点(5/2,2a),QTの中点(6,8a)
であるから,この2点の中点は,
(17/4,5a)と表せ,y=xを通るから,17/4=5a 
a=17/20




(※2)
台形を2等分するには,上底,下底のそれぞれの中点を結んだ線分の中点を通ればよい。
下の図で黄色い線y=x,赤い線分とPR,QTで交わったピンクの三角形は合同となっている。

類題:平行四辺形を2等分
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【コメント】
 問1,問3は(都立西の受験生にとっては)難しくないのですが,tやらmやらの文字で混乱して戦意喪失したでしょう。落ち着けばなんてことないのですがね。
 問1は,グラフにされるから一見難しいですが,聞かれていることは「t=1のとき,直線PQの傾きは2です。aの値は?」です。グラフを言語化できるか。
 問3は,平行四辺形や正方形2等分ならよく聞きますが,台形はあまり聞かないかも。良い問題です。平行四辺形の導出の経験を活かせたら,台形もすんなりいけるはず。ちなみに都立西の模範解答は長々と書いています。解答用紙に図を書いた方が楽ですね。回答としては左ので十分だと思われます。
 問2はもっと良い解法ある気がしますが……力技で解きました。文字の力技で解くなら明らかに中学生には難しい。問3と交換してあげるべきだったかも……。
 ちなみにこの年は平均点がむごかったようで。4割弱?難易度調整に難があるので,美しさは5のところ4に減らしておきました(だから何だって話ですが。)



comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

aは任意(2020年度都立西高校)

2020/05/27

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都立西高校の関数の問題です。図がシンプルなので紹介します。

実は解法も基本に忠実なシンプルな問題なのですが,大半の受験生は文字aに惑わされて何やってよいか分からなくなると思われます。

ちなみに問3は,物議を醸した2012年度埼玉県と全く同じ問題です。埼玉県のは配点と出題方法で悪問認定されていますが,都立西は最後の問題で,配点もちょうどよいので良問認定です。え?

問題の出典:http://www.nishi-h.metro.tokyo.jp/09nyushi/mondai.html


第22回芸術的な難問高校入試
「aは任意」
出典:2020年度 東京 都立西高校 過去問
範囲:2次関数,相似
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★☆☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1p0zT3zAB_vIkqqd_fIjFJ0nRKTXnqa_D/view?usp=sharing

その他の芸術的な難問高校入試
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芸術的な高校入試第22回
出典:2020年度 都立西高校
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★☆☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
図1で,点 O は原点,曲線fは関数y=ax^2(a>0)のグラフである。
2点 A,B はともに曲線f上にあり,点 A のx座標は負の数,点Bのx座標は正の数であり,点 A と点 B のx座標の絶対値は等しい。点 A と点 B を結ぶ。点 O から点(1, 0)までの距離,および点 O から点(0, 1)までの距離をそれぞれ1 cm として,次の各問に答えよ。
図1

問1 図2は,図1において,a=1/2,点Aのx座標を-1とし,四角形 ABCD が正方形となるようにy座標はともに正の数となる点 C と点 D をとり,点 B と点 C,点 Cと点 D,点 D と点 A をそれぞれ結んだ場合を表している。2点 B,D を通る直線の式を求めよ。






問2 図3は,図1において,点 A のx座標を-1とし,点 E は曲線f上にあり,x座標が3となる点とし,点 F は曲線f上にあり,x座標が負の数で,y座標が点 A のy座標より大きい点とし,点 O と点 B,点 B と点 E,点 E と点 O,点 B と点 F,点 F と点 A をそれぞれ結んだ場合を表している。
△BEO と△ABF の面積が等しくなるとき,点 F のx座標を求めよ。ただし,答えだけでなく,答えを求める過程が分かるように,途中の式や計算なども書け。






















問3 右の図4は,図1において,点 A を通り,傾きが曲線fの式における比例定数aと等しい直線をlとし,点 B から直線lに引いた垂線と直線lとの交点を G とし,点 B と点 G を結んだ場合を表している。点Aのx座標が-√7,△ABG の面積が7 cm2のとき,aの値を求めよ。

































































【解答例】
問1(7点)
正方形の対角線なので,BDの傾きは-1
B(1,1/2)だから,求める式は,
y-1/2=-(x-1) y=-x+3/2
問2(10点)
A(-1,a) B(1,a) E(3,9a)と表せる。
直線OBの傾きは,aとなるから,点Eを通り直線OBに平行な直線の式は,y-9a=a(x-3) y=ax+6a
G(0,6a)とすると,△OBE=△OBG(等積変形)だから,△OBE=△OBG=1/2×6a×1=3a
△ABFにおいて,ABを底辺とした高さをhとすると,
1/2×2×h=3a h=3a
したがって,Fのy座標はa+3a=4aとなる。
y=ax^2 に代入し,4a=ax^2 a≠0,x<0だから,
x=-2
Fのx座標は-2
問3(8点)

GからABに垂線を下ろし交点をHとする。
(解法1)
直線AGの傾きがaであることから,
GH/AH=a
AB=2√7 cmで,ABを底辺としたとき,△ABGの高さは,√7 cmであるから,GH=√7なので,
AH=√7/a⋯①
次に,BG⊥AGだから,BGの傾きは-1/a となる。
GH/BH=√7/BH=1/a BH=√7 a⋯② 
よって,
AH+BH=√7/a+√7 a=2√7
1+a^2=2a この方程式を解いて,a=1
(解法2)
AB=2√7 cmで,ABを底辺としたとき,△ABGの高さは,√7 cmである。
AH=tとすると,△AHG∽△GHBだから,
AH:GH=HG:HB
t:√7=√7:(2√7-t) これを解いて,t=√7
a=GH/AH=√7/√7=1

【コメント1】
 都立西では簡単な方でしょうか。しかし,シンプルな図ですが,文字がたくさん出てきて,中学生を混乱させるには十分です。まあ,解いてみるとそこまで混乱する必要はないのですが,
 実は問3は,2012年埼玉県高校入試で同じ問題が出題されています。首都圏だったら,解いたことあるかも?ちなみに,昔このサイト
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-34.html
で悪問認定しています。私の感性が変わったのでしょう。「曲線の比例定数aと同じにする」は何も問題ありません(笑)。
埼玉県のは思い切り配点ミスる,しかも最初の問題でしたが,都立西は最後の問題においているし,配点もちょうど良いので,ノープロブレム。
 今回は図がシンプルなので採用。

【コメント2】
 都立西受験生なら,
傾きaで,点(p, q)を通る直線の式は,
y-q=a(x-p)
というのは,当たり前に知っているのでしょうか……。
問2で当たり前のように使っています。知らなかったら,y=ax+bとして,E(3, 9a)を代入し,bをaで表しましょう。そんなに難しくない。

【コメント3】
 問3適当にa=1て書いて当たった受験生多そう。



comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

数多の45°135°(2020年度都立立川高校)

2020/05/18

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久々にちゃんとした問題を紹介します。このブログ「高校入試 難問」という検索でご訪問なされる方が多いので,都立難関校のプリントを作成しました。

今回は,2020年度都立 立川高校です。立川高校は,平成19年まで過去問を載せてくれています。見放題,良い高校ですね。

図はシンプルです(特に証明)が,中々骨のある問題です。計算問題は,計算自体は非常に楽なのですが,何せ思いつくのが大変。いかに図に書き込んであれとかそれとかに気づけるかが勝負です。

第21回芸術的な難問高校入試
「数多の45°135°」
出典:2020年度 都立 立川高校 過去問
範囲:円周角,三平方の定理など
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1pn0kPYOXPxNcD9hRSkzwebAwC6IRzIO2

【訂正】
問3解説の(※)
四角形AHCE→四角形AHCG

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

<検索コード>

芸術的な高校入試第21回
出典:2020年度 都立 立川高校
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
 四角形BCDEは,1辺が2 cmの正方形,△ABEは,AB=AE=√2 cmの直角二等辺三角形である。次の各問に答えよ。

問1 線分ACと線分BDとの交点をFとする。線分BFの長さは何cmか。


問2 3点A,C,Eを通る円をかき,線分BEをBの方向に延ばした直線と円との交点をGとする。
(1)△ABC∽△GBAを証明せよ。







(2)辺EDと円の交点のうち,点Eと異なる点をHとする。円周と弦AG,円周と弦AE,円周と弦EHでそれぞれ囲まれた部分の面積の和は何cm2か。





























【解答例】
問1(7点)
【たぶん想定されている解法】
図より,BF=XY
=√2/2 cm

【座標設定】
C(0, 0)とすると,D(2, 0)E(2, 2)B(0, 2)A(1, 3)と表される。
すると,Fの座標は,
AC:y=3x BD:y=-x+2 の交点だから,
F(1/2,3/2) BF=√(1/4+1/4)=1/√2=√2/2 cm

問2(11点)

△ABCと△GBAにおいて,
△ABEは直角二等辺三角形だから,∠ABE=45°
よって,∠ABC=45°+90°=135°
    ∠GBA=180°-45°=135°
であるから,∠ABC=∠GBA…①

また∠AEC=45°+45°=90°で,
∠BAE=∠AEC=90°となるから,同位角が等しくなるので,BA//CE
よって平行線の錯角は等しいから,∠BAC=∠ACE
⏜AE に対する円周角は等しいから,
∠ACE=∠BGA
したがって,∠BAC=∠BGA…②

①,②より2組の角がそれぞれ等しいから
△ABC∽△GBA

問3(7点)

∠AEC=∠GEH=90°より,AC,GHは円の直径である。AC=GH=√10 cm なので,半円の面積は,
5π/4 cm^2…①
△GAHは直角二等辺三角形(※)であるから,面積
は,5/2 cm^2…②
AからGEに垂線を下ろし交点をIとすると,このAIとEHは平行なので,△EHA=△EHI(等積変形)
△AEI=△EHIで,
△AEI=1/2 cm^2 だから,△EHA=1/2 cm^2…③
したがって,求める面積は,①-(②+③)=
(5π/4-3) cm^2

(※)四角形AHCEの4つの角は全て90°と分かり,また至る所に45°が現れるので,四角形AHCEは正方形と分かる。

【コメント】
 45°,90°がたくさん現れる問題です。図はシンプルで,計算自体もシンプルですが,中々思考が難しい。
 問1問3は「なぜそうなるのか?」を説明すると長いです。非記述式なので問題ないですが。
 ちなみに高校数学を習った後なら,座標で全てワンパンできます。計算面倒だけど。問1は楽にできました。たぶん問3でも計算でごり押しできる。
 実は円の中心はFになっています。


comment (-) @ 平面(証明メイン)

順序だてて(中2関数)

2020/05/09

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久々に,ありふれたオリジナルプリントを投稿しておきます。コロナで休校ですが,どこの高校入試でも関数は重要です。
まずは簡単なプリント,何でもいいですから,練習しておきましょう。

そして,北海道の場合,問3は記述式(途中計算を書かせる)です。少しずつ練習しましょう。

順序だてて
範囲:比例反比例,1次関数
難易度:★★☆☆☆ 目標時間:9分


.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1XWQPMSaQ6TJWGJYSWgUs2d45QUkHTges

comment (-) @ 1次関数,反比例グラフ