(2020年日比谷高校大問4)発想と勘

2020/05/30

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もともと北海道の高校入試数学対策サイトとして作ったこのサイトですが,都道府県別アクセス数は北海道よりも他県の方が多いという。(東京,愛知,何故か新潟が多い。人口?)

ということで,気ままに高校入試の難問,ちょっとおもしろい問題を紹介していきます。

後ジャンル変更します。

久々に日比谷の問題の解説でもしてみます。日比谷の立体問題,計算が面倒臭いイメージしかありませんでしたが,今年度のは計算「は」楽ちんですね。ただ発想,細かい記述が厳しい。

問題の出典:日比谷のホームページ

第24回芸術的な難問高校入試
「発想と勘」
出典:2020年度(令和2年度)東京都立日比谷高校 過去問 大問4
範囲:立体図形,相似,三平方の定理
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆

<問題>
raku1.jpg
raku2.jpg
raku3.jpg


<PDF,解答例はこちら↓>



comment (-) @ 立体図形

文字地獄(2019年度都立西高校)

2020/05/28

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2020年度は比較的落ち着いた難易度でしたが,2019年度はとんでもなく(?)難しかったのでご紹介します。何が怖いって,図は非常にシンプルで簡単そうなんですね。



問題の出典:http://www.nishi-h.metro.tokyo.jp/09nyushi/mondai.html
問題の解答:https://www.school-data.com/exam_archives/exam_result/2019/answer_tokyo.html



ちなみに問3は,2014年度愛知県の問題を先に知っておくと解きやすい?かもしれません。恐らく都立西の受験生は,こういう系統の問題を演習して,本番「台形でも似たようなことできるかな......?」と考えたはず。台形2等分知ってたら凄い。



図はシンプルで難易度高いので,美しさ5ぐらいにしようかと思いましたが,明らかに難易度調整,配置ミスってる気がするので,-1して4としておきました。現にこの年の平均点は低かったらしい......。



第23回芸術的な難問高校入試
「文字地獄」
出典:2019年度(平成31年度) 東京 都立西高校 過去問
範囲:2次関数,相似
難易度:★★★★★★ 美しさ:★★★★☆☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1NzhiGVVq7eLabqoNO9BJGNPcmGDECBec/view?usp=sharing

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

<検索コード>

【都立西高校 過去問 解答】
芸術的な高校入試第23回
出典:2019年度 都立西高校
難易度:★★★★★★ 美しさ:★★★★☆☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
 図1で,点Oは原点,曲線fは関数y=ax2(a>0)のグラフを表している。2点P,Qは,ともに曲線f上にあり,点Rはx軸上にある。点Pのx座標をt,点Qのx座標をt+2,点Rのx座標をt+1とする。次の各問に答えよ。
図1

問1 図2は,図1の曲線fについて,関数y=ax2のxの値が点Pのx座標tから点Qのx座標t+2まで増加したときの変化の割合をmとし,tとmの関係をグラフで表したものである。aの値を求めよ。
図2



問2 図3は,図1において,点(2, 0)を通る直線をlとし,直線l上の点でx座標がt+3である点をSとした場合を表している。点Pが曲線f上を動くとき,四角形PRSQが常に平行四辺形となるような直線lの式を,aを用いて表せ。

図3































問3 図4は,図1において,t=2のとき,点Pと点Rを結び,PR//QTとなるような点Tをx軸上にとり,点Qと点Tを結んだ場合を表している。直線y=xが,線分PRと交わり,台形PRTQの面積を2等分するとき,aの値を求めよ。ただし,答えだけでなく,答えを求める過程が分かるように,途中の式や計算なども書け。
図4































































【解答例】
問1(7点)
図2より,t=1のときm=2,すなわち傾き2ということが分かる。t=1のとき,P(1, a)Q(3, 9a)なので,傾きは,
8a/2=4a=2 これを解いて, a=1/2

問2(8点)
四角形PRSQが平行四辺形となるには,QP//SR,ここで,PとQのx座標の差=SとRのx座標の差であるから,y座標の差が等しくなれば良い。
P(t,at^2 ),Q(t+2,a(t+2)^2 ),R(t+1,0)と表す。
直線lの傾きをbとすると,点(2, 0)を通るから,
l:y=bx-2bと表せるので,S(t+3,bt+b)
y座標の差はそれぞれ,
PQ:a(t+2)^2-at^2=4at+4a=4a(t+1)
RS:bt+b=b(t+1)
4a(t+1)=b(t+1) これを解いて(※1),b=4a
したがって,直線lは,y=4ax-8a
(※1)t=-1とそうでないときで場合分けが本来は必要。t=-1のとき,P(-1, a)Q(1, a)R(0, 0)S(2, 0)となるから,直線lは任意となる。

問3(10点)
P(2, 4a)R(3, 0)Q(4, 16a)と表す。
P,Qからx軸に垂線を下ろし交点をU,Vとすると,△PUR∽△QVT,相似比は4a:16a=1:4だから,Tのx座標は4+4=8となり,T(8, 0)
台形PRTQを二等分する直線は,PRの中点とQTの中点を結んだ線分の中点を通る。(※2)
PRの中点(5/2,2a),QTの中点(6,8a)
であるから,この2点の中点は,
(17/4,5a)と表せ,y=xを通るから,17/4=5a 
a=17/20




(※2)
台形を2等分するには,上底,下底のそれぞれの中点を結んだ線分の中点を通ればよい。
下の図で黄色い線y=x,赤い線分とPR,QTで交わったピンクの三角形は合同となっている。

類題:平行四辺形を2等分
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-65.html
【コメント】
 問1,問3は(都立西の受験生にとっては)難しくないのですが,tやらmやらの文字で混乱して戦意喪失したでしょう。落ち着けばなんてことないのですがね。
 問1は,グラフにされるから一見難しいですが,聞かれていることは「t=1のとき,直線PQの傾きは2です。aの値は?」です。グラフを言語化できるか。
 問3は,平行四辺形や正方形2等分ならよく聞きますが,台形はあまり聞かないかも。良い問題です。平行四辺形の導出の経験を活かせたら,台形もすんなりいけるはず。ちなみに都立西の模範解答は長々と書いています。解答用紙に図を書いた方が楽ですね。回答としては左ので十分だと思われます。
 問2はもっと良い解法ある気がしますが……力技で解きました。文字の力技で解くなら明らかに中学生には難しい。問3と交換してあげるべきだったかも……。
 ちなみにこの年は平均点がむごかったようで。4割弱?難易度調整に難があるので,美しさは5のところ4に減らしておきました(だから何だって話ですが。)



comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

【改】aは任意(2020年度都立西高校)【問3は不要な条件】

2020/05/27

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メールフォームで感想をいただきましたので,2020/12/30 追記しました。
※問3の,不要な問題文について,感想もらいました。

都立西高校の関数の問題です。図がシンプルなので紹介します。

実は解法も基本に忠実なシンプルな問題なのですが,大半の受験生は文字aに惑わされて何やってよいか分からなくなると思われます。

ちなみに問3は,物議を醸した2012年度埼玉県と全く同じ問題です。埼玉県のは配点と出題方法で悪問認定されていますね(問題自体は良い問題ですが,受験としては最悪です)。

都立西はこの問題を数字を変えてそのままぱくったのでしょうが,数字の変え方と出題方法のせいで,埼玉県と異なり,不要な条件が出てきています。公立なのに珍しい。

問題の出典:http://www.nishi-h.metro.tokyo.jp/09nyushi/mondai.html


第22回芸術的な難問高校入試
「aは任意」
出典:2020年度 東京 都立西高校 過去問
範囲:2次関数,相似
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★☆☆
2020 都立西 高校入試 数学 過去問 関数 大問2


<PDF,解答例はこちら↓↓>



comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

数多の45°135°(2020年度都立立川高校)

2020/05/18

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久々にちゃんとした問題を紹介します。このブログ「高校入試 難問」という検索でご訪問なされる方が多いので,都立難関校のプリントを作成しました。

今回は,2020年度都立 立川高校です。立川高校は,平成19年まで過去問を載せてくれています。見放題,良い高校ですね。

図はシンプルです(特に証明)が,中々骨のある問題です。計算問題は,計算自体は非常に楽なのですが,何せ思いつくのが大変。いかに図に書き込んであれとかそれとかに気づけるかが勝負です。

第21回芸術的な難問高校入試
「数多の45°135°」
出典:2020年度 都立 立川高校 過去問
範囲:円周角,三平方の定理など
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1pn0kPYOXPxNcD9hRSkzwebAwC6IRzIO2

【訂正】
問3解説の(※)
四角形AHCE→四角形AHCG

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

<検索コード>

芸術的な高校入試第21回
出典:2020年度 都立 立川高校
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
 四角形BCDEは,1辺が2 cmの正方形,△ABEは,AB=AE=√2 cmの直角二等辺三角形である。次の各問に答えよ。

問1 線分ACと線分BDとの交点をFとする。線分BFの長さは何cmか。


問2 3点A,C,Eを通る円をかき,線分BEをBの方向に延ばした直線と円との交点をGとする。
(1)△ABC∽△GBAを証明せよ。







(2)辺EDと円の交点のうち,点Eと異なる点をHとする。円周と弦AG,円周と弦AE,円周と弦EHでそれぞれ囲まれた部分の面積の和は何cm2か。





























【解答例】
問1(7点)
【たぶん想定されている解法】
図より,BF=XY
=√2/2 cm

【座標設定】
C(0, 0)とすると,D(2, 0)E(2, 2)B(0, 2)A(1, 3)と表される。
すると,Fの座標は,
AC:y=3x BD:y=-x+2 の交点だから,
F(1/2,3/2) BF=√(1/4+1/4)=1/√2=√2/2 cm

問2(11点)

△ABCと△GBAにおいて,
△ABEは直角二等辺三角形だから,∠ABE=45°
よって,∠ABC=45°+90°=135°
    ∠GBA=180°-45°=135°
であるから,∠ABC=∠GBA…①

また∠AEC=45°+45°=90°で,
∠BAE=∠AEC=90°となるから,同位角が等しくなるので,BA//CE
よって平行線の錯角は等しいから,∠BAC=∠ACE
⏜AE に対する円周角は等しいから,
∠ACE=∠BGA
したがって,∠BAC=∠BGA…②

①,②より2組の角がそれぞれ等しいから
△ABC∽△GBA

問3(7点)

∠AEC=∠GEH=90°より,AC,GHは円の直径である。AC=GH=√10 cm なので,半円の面積は,
5π/4 cm^2…①
△GAHは直角二等辺三角形(※)であるから,面積
は,5/2 cm^2…②
AからGEに垂線を下ろし交点をIとすると,このAIとEHは平行なので,△EHA=△EHI(等積変形)
△AEI=△EHIで,
△AEI=1/2 cm^2 だから,△EHA=1/2 cm^2…③
したがって,求める面積は,①-(②+③)=
(5π/4-3) cm^2

(※)四角形AHCEの4つの角は全て90°と分かり,また至る所に45°が現れるので,四角形AHCEは正方形と分かる。

【コメント】
 45°,90°がたくさん現れる問題です。図はシンプルで,計算自体もシンプルですが,中々思考が難しい。
 問1問3は「なぜそうなるのか?」を説明すると長いです。非記述式なので問題ないですが。
 ちなみに高校数学を習った後なら,座標で全てワンパンできます。計算面倒だけど。問1は楽にできました。たぶん問3でも計算でごり押しできる。
 実は円の中心はFになっています。


comment (-) @ 平面(証明メイン)

順序だてて(中2関数)

2020/05/09

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久々に,ありふれたオリジナルプリントを投稿しておきます。コロナで休校ですが,どこの高校入試でも関数は重要です。
まずは簡単なプリント,何でもいいですから,練習しておきましょう。

そして,北海道の場合,問3は記述式(途中計算を書かせる)です。少しずつ練習しましょう。

順序だてて
範囲:比例反比例,1次関数
難易度:★★☆☆☆ 目標時間:9分


.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1XWQPMSaQ6TJWGJYSWgUs2d45QUkHTges

comment (-) @ 1次関数,反比例グラフ