い~やそういう条件の与え方があったっていい!(2017年度山口県)

2020/10/20

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今回は山口県の平面図形の難問です。

山口県と言えば,2019年度M1グランプリで見事3位に輝いた「ぺこぱ」の,松陰寺太勇さん(松井勇太さん)の出身地ですね。

ちょっと前にやっていたぺこぱの「山口県PR」番組が好きでした。



巷では「Go to トラベル」なんかよりも何倍も店,観光地を助けていると言われていたそうで(笑)

漫才がものすごく面白いのは当然ですが,人々の考え方や生き方について考えさせられるコンビでもありましたね。素晴らしい。

さて,今回の問題は,松陰寺さんのように,物事を柔軟に考えたら楽に解けます。(すみません,ものすごく無理やりなこじつけです)。

第35回芸術的な難問高校入試
「見方を広く」
出典:平成29年度 山口県 高校入試 過去問
URL:https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/yamaguchi/2017/math/question08.html

<問題>
yamaguchi1.png


<PDF,解答例はこちら↓↓>



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【改】平行と補助線と半径と(2011年度熊本県)

2020/09/24

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※メールフォームで「もっと良い解法」を頂きました。ありがとうございます。

久々に良問というか面白い問題をご紹介します。

(1)は簡単だけど,聞かれ方を少し捻られると撃沈する中学生が多くて面白い,(2)はシンプルな図ながらかなり難しいです。(計算は楽!良い問題!)

第31回芸術的な難問高校入試
「平行と補助線と半径と」
出典:平成23年度 熊本県 高校入試 過去問
URL:http://skredu.mods.jp/b01/44kumamoto.pdf

<問題>
下の図のように,線分ABを直径とする半円があり,弧AB上に点Cを,弧ACの長さ弧CBの長さより短くなるようにとる。また,弧AC上に点Dを,弧AD=弧DCとなるようにとり,Cから直線ADにひいた垂線と直線ADとの交点をE,ECの延長と弧ABとの交点をFとする。このとき,次の各問いに答えなさい。
Screenshot_20200924-040115.jpg

(1)DF//ABであることを証明しなさい。
(2)AB=6 cm,AD=2 cmのとき,線分EFの長さを求めなさい。ただし,根号がつくときは,根号のついたままで答えること。


<PDF,解答例はこちら↓>

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範囲が大分削除された

2020/07/19

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全国で,例の感染症による休校により,高校入試の範囲が縮まっていますが,北海道も縮めるようです。

リンク:
http://www.dokyoi.pref.hokkaido.lg.jp/hk/kki/re-huretto.pdf

数学は「相似以降カット!

結構思い切りましたね。全国的な傾向だそうですが。

ただ,入試に出ないとはいえ,やっておいた方がいいですね。標本調査はまだしも,三平方の定理はやらないと生きている意味がありません......それは言いすぎか。

ということで,今年度の証明問題は,100%中2分野,合同や二等辺三角形です。

北海道の証明は毎年なんか捻っていることが多いですが,恐らくこういう時こそ,結構な捻りを加えてくるでしょうね。

今回は,久々にオリジナル問題を紹介します。(と言ってもすでに誰かが思いついているであろう問題)

平気で直角二等辺三角形の1:√2出していますが,これ,平方根の知識のみでいけることになっているので,三平方は出題されなくても平気で出題される可能性があります。

正方形と二等辺三角形
範囲:中2図形,平方根 難易度:★★☆☆☆


下の図のように,正方形ABCDがあります。辺BC,CD上に,それぞれ点E,Fを,AE=AFとなるようにとります。次の問いに答えなさい。
Screenshot_20200719-191620.jpg






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どの三角形の合同を証明すべきか(2017年度北海道)

2020/07/04

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このブログは「図がシンプルだけど結構キツイ問題」を紹介する目的で最初は作りました。

だんだん色々な問題を紹介するようになりましたが。

今回は,初心に戻って,非常に図がシンプルだけど,何かキツイ問題です。北海道は,図がシンプルで,証明の書く量もそこまで多くないですが,何か難しい!




第27回芸術的な難問高校入試
「どの三角形」
出典:2017年度 北海道
過去問:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h30gakuryoku.html
範囲:証明
難易度:★★★☆☆☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1d7vT38nAC-SGOtnsuRmYbXtx2sLX8x-e/view?usp=sharing

その他の良問高校入試まとめはコチラ


<検索用>

下の図のように,頂点Aが共通な2つの△ABCと△ADEがあり,点C,A,Dは一直線上にあります。AB=AC,AD=AE,∠ACB=∠ADEとします。
次の問いに答えなさい。

問1 BC=4 cm,CD=14 cm,DE=3 cmのとき,辺ACの長さを求めなさい。

問2  BD=CEを証明しなさい。

【解答例】
問1(3点)
△ACB∽△ADEなので,AC=xとすると,
AC:AD=CB:DE
x∶(14-x)=4:3
56-4x=3x 7x=56 x=8 8 cm

問2(5点)

△ABDと△ACEにおいて,
仮定より AB=AC,AD=AE…①
△ABCと△ADEは底角が二等辺三角形なので,頂角が等しくなるから,∠BAC=∠DAE…②
(∠BAD=180°-∠BAC
∠CAE=180°-∠DAE)
よって∠BAD=∠CAE…③
①,③より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから,△ABD≡△ACE…④
したがって,BD=CE
①,②,③,④ 部分点各1点
( )内は書かなくても良い。

【コメント】
 まず図が非常にシンプルですね。ここまでシンプルな入試問題中々ないでしょう。
 次に,問題文の短さ。短くしたい趣味でもあるのでしょうかね。
 難易度調整も見事です。日頃から自分に図で条件を書き込める人は「△ABEと△ACE」だと気づけます。後は超簡単。書かない人アウト。ただ,この問題の場合,何を血迷ったのか「△DECと△CBD」など,最初に証明する三角形を間違えてしまうと泥沼にはまります。実際にいます。入試ですから。
 頂角が等しいと簡潔に書けるか。書けなかったら,長々書けばいいだけですが。



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受験生大泣き!?真骨頂証明(2010年度北海道)

2020/06/29

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北海道入試において,トップクラスの良問(と同時に,受験生を苦しめた恐ろしい問題)

なんせ証明自体は非常に簡単ですからね。ただパニックになります。こんな綺麗な問題は,北海道らしいですね。他県では出せない。

しかもこの年は,ただでさえ他の問題も容赦ない年でした。さらにさらに,

裁量問題

もおぞましい。


ちなみにこの問題に感動して私が作った問題が,

https://hokkaimath.jp/blog-entry-100.html

です。

やはり北海道の真骨頂は「見た目は簡単」「実は解答も短い」「でもなんでそこを突くの!?」だと思います。

-追伸-

中2の教科書とか,しっかりしたワークなら必ず載っている「垂線の作図証明」です。日頃から教科書をしっかり読んでいる子なら余裕かもしれません。案外塾とかは,傾向と対策しか練ってませんから,こういうの弱い。それも含めて良い問題。

-追伸終わり-


第26回芸術的な難問高校入試
「真骨頂証明」
出典:2010年度 北海道
過去問:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h30gakuryoku.html
範囲:証明
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★★

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/14lwOeJJSCu_L4MS8mq4o3W-_QHwf4wQD/view?usp=sharing


その他の良問高校入試まとめはコチラ



<検索用>

次の問いに答えなさい。
問1 下の図のように,3点A,B,Pがあります。この3点が,平行四辺形の4つの頂点のうちの3つとなる平行四辺形は何種類できますか,求めなさい。

問2 下の図のように,3点A,B,Pがあり,次の①~⑤の操作を順に行います。
① 線分ABをひく。
② 点Aを中心とし,線分APを半径とする円をかく。
③ 点Bを中心とし,線分BPを半径とする円をかく。
④ ②,③でかいた2つの円の交点のうち,点Pと異なる点をQとする。
⑤ 2点P,Qを通る直線をひく。
  このとき,直線PQが,線分ABの垂線であることを証明しなさい。




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数多の45°135°(2020年度都立立川高校)

2020/05/18

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久々にちゃんとした問題を紹介します。このブログ「高校入試 難問」という検索でご訪問なされる方が多いので,都立難関校のプリントを作成しました。

今回は,2020年度都立 立川高校です。立川高校は,平成19年まで過去問を載せてくれています。見放題,良い高校ですね。

図はシンプルです(特に証明)が,中々骨のある問題です。計算問題は,計算自体は非常に楽なのですが,何せ思いつくのが大変。いかに図に書き込んであれとかそれとかに気づけるかが勝負です。

第21回芸術的な難問高校入試
「数多の45°135°」
出典:2020年度 都立 立川高校 過去問
範囲:円周角,三平方の定理など
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1pn0kPYOXPxNcD9hRSkzwebAwC6IRzIO2

【訂正】
問3解説の(※)
四角形AHCE→四角形AHCG

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

<検索コード>

芸術的な高校入試第21回
出典:2020年度 都立 立川高校
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
 四角形BCDEは,1辺が2 cmの正方形,△ABEは,AB=AE=√2 cmの直角二等辺三角形である。次の各問に答えよ。

問1 線分ACと線分BDとの交点をFとする。線分BFの長さは何cmか。


問2 3点A,C,Eを通る円をかき,線分BEをBの方向に延ばした直線と円との交点をGとする。
(1)△ABC∽△GBAを証明せよ。







(2)辺EDと円の交点のうち,点Eと異なる点をHとする。円周と弦AG,円周と弦AE,円周と弦EHでそれぞれ囲まれた部分の面積の和は何cm2か。





























【解答例】
問1(7点)
【たぶん想定されている解法】
図より,BF=XY
=√2/2 cm

【座標設定】
C(0, 0)とすると,D(2, 0)E(2, 2)B(0, 2)A(1, 3)と表される。
すると,Fの座標は,
AC:y=3x BD:y=-x+2 の交点だから,
F(1/2,3/2) BF=√(1/4+1/4)=1/√2=√2/2 cm

問2(11点)

△ABCと△GBAにおいて,
△ABEは直角二等辺三角形だから,∠ABE=45°
よって,∠ABC=45°+90°=135°
    ∠GBA=180°-45°=135°
であるから,∠ABC=∠GBA…①

また∠AEC=45°+45°=90°で,
∠BAE=∠AEC=90°となるから,同位角が等しくなるので,BA//CE
よって平行線の錯角は等しいから,∠BAC=∠ACE
⏜AE に対する円周角は等しいから,
∠ACE=∠BGA
したがって,∠BAC=∠BGA…②

①,②より2組の角がそれぞれ等しいから
△ABC∽△GBA

問3(7点)

∠AEC=∠GEH=90°より,AC,GHは円の直径である。AC=GH=√10 cm なので,半円の面積は,
5π/4 cm^2…①
△GAHは直角二等辺三角形(※)であるから,面積
は,5/2 cm^2…②
AからGEに垂線を下ろし交点をIとすると,このAIとEHは平行なので,△EHA=△EHI(等積変形)
△AEI=△EHIで,
△AEI=1/2 cm^2 だから,△EHA=1/2 cm^2…③
したがって,求める面積は,①-(②+③)=
(5π/4-3) cm^2

(※)四角形AHCEの4つの角は全て90°と分かり,また至る所に45°が現れるので,四角形AHCEは正方形と分かる。

【コメント】
 45°,90°がたくさん現れる問題です。図はシンプルで,計算自体もシンプルですが,中々思考が難しい。
 問1問3は「なぜそうなるのか?」を説明すると長いです。非記述式なので問題ないですが。
 ちなみに高校数学を習った後なら,座標で全てワンパンできます。計算面倒だけど。問1は楽にできました。たぶん問3でも計算でごり押しできる。
 実は円の中心はFになっています。


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シンプルな半円(オリジナル)

2020/04/28

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久々にプリントを更新します。めちゃくちゃ(?)難しい証明です。

一見中3円周角を使う証明のように見えますが,使っても使わなくでも証明できます(中2終了後でも頑張れば証明できる)。
問1は三平方必要ですが......。

昨年度の北海道高校入試予想問題用に作成した問題です。生徒に言われて別解に気づきました。まだまだ勉強不足。

自分で「芸術的」て言っちゃうほどには好きな問題です。

第20回芸術的な難問高校入試
「シンプルな半円」
出典:オリジナル
範囲:相似,三平方の定理など 
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:??????

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1qjv28CuPBLmGdvhM1JvI2dEGdtFuD0T_

<検索用コード>

芸術的な高校入試第20回
出典:オリジナル
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:??????
総試験時間:??? 配点:???
下の図のように,点Oを中心,線分ABを直径とする半円があります。∠AOCと∠BODが鋭角となるように,半円の弧上に点C,Dを取り,直線ACと直線BDとの交点をEとします。
次の問いに答えなさい。

問1 OA=4 cm,CD=6 cmのとき,△OCDの面積を求めなさい。



問2 AB//CDのとき,△EABが二等辺三角形であることを証明しなさい。























































【解答例】
問1(3点)
点OからCDに垂線OHを下ろす。
△OCDは二等辺三角形なので,
OC=4 cm,CH=3 cmより,OH=√(16-9)=√7 cm
△ABE=1/2×6×√7=3√7 〖cm〗^2

問2(5点)
△OACと△OBDにおいて,
仮定より,OA=OC=OD=OB…①
①より,二等辺三角形の底角は等しいから,
∠OCD=∠ODC…②
CD//ABより平行線の錯角は等しいから,
∠OCD=∠AOC…③
∠ODC=∠BOD…④
②,③,④より,∠AOC=∠BOD…⑤
①,⑤より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから,△OAC≡△OBD…⑥
したがって,∠OAC=∠OBD(∠EAB=∠EBA)より,2つの角が等しいから,△EABは二等辺三角形…⑦
①,②,⑤,⑥,⑦→各1点 
【↓別解】
AB//CDより,平行線の錯角は等しいから,
∠BAD=∠ADC,∠ABC=∠BCD …①
⏜BD,⏜ACに対する円周角だから,
∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC …②
①,②より,∠BAD=∠ABC…③
⏜CDに対する円周角だから,∠CAD=∠CBD…④
また,∠EAB=∠BAD+∠CAD
   ∠EBA=∠ABC+∠CBD
なので,∠EAB=∠EBAとなるから,2つの角が等しいので,△EABは二等辺三角形…⑤
①,②,③,④,⑤→各1点







【コメント】
 昨年度の北海道高校入試用に作成した問題です。自分で作ったくせに自分で「芸術的」とか言っちゃうあたりダメだと思います。
 当初証明の模範解答を【解答例1】しか想定していなかったのですが,私の明らかな勉強不足です,実際は【別解】がスマートな解答というか,一般的な解答でしょう。生徒が【別解】で解いてくれて気づきました。
 この問題は一見シンプルそうに見える,問題文が短いところが気に入っています。北海道の高校入試の証明は簡単そうに見えますからね。シンプルな問題ほど注意です。

【プリント作成】芸術的な難問・良問数学
http:/hokkaimath.blog.fc2.com/






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惑わす相似(2014年度大阪府B)

2020/02/01

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このブログは「高校入試 難問」や「高校入試 数学 良問」などで検索して来られる方が多いです。

ということで,久々に芸術的な,中学数学の問題をご紹介します。

今回は,2014年度大阪府Bの問題です。えげつない問題もあるのですが,中には計算は面倒くさくないけど,ひたすら思いつくのが難しいというちょうどよい問題もあります。面白い問題が多いので,どこの都道府県でもうまく使えそう。


第19回芸術的な難問高校入試
「惑わす相似」
出典:2014年度 大阪府高校入試 過去問 数学B 
範囲:相似,三平方の定理など 
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1mBvv7i3nUQEo30cD3ijXbma0zeIJeFU7

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

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