高校入試　数学　良問・難問

xパーセント問題の方程式（2018年度札幌第一高校）

2020/09/14

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アクセス解析をしたら，結構人気なのが，札幌第一高校の過去問の「食塩水の方程式」。第2位の人気です。（ちなみに第1位はこちら）

第一が人気なのか，方程式系の問題が人気なのか，分かりませんが，味を占めてどっちもある問題をまた拾ってきました。

今年度は全国的に入試の範囲が短くなっているので，図形問題出せない代わりに，方程式とか，パーセント計算とか，とにかく計算系問題が多くなる気がします。いつもより計算頑張らないとね。

xパーセント計算
目標時間：9分　難易度：★★★★☆　範囲：中1方程式，中3二次方程式
出典：平成28年度　札幌第一高校　過去問

＜問題＞
　ある学校の2015年度の入学者は200名であった。2016年度は2015年度よりx％減少し，2017年度は2016年度より2x％増加した。このとき，

（1）x＝5のとき，2016年度の入学者は，（　　）名である。

（2）x＝5のとき，2017年度の入学者は，（　　）名である。

（3）2015年度から2017年度の入学者合計は596名であった。このとき，x＝（　　）である。ただし，xは自然数である。

＜解答例とPDF↓＞

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塩と不定方程式（2014年度札幌第一高校）

2020/07/07

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google解析で検索ワードを見たら「連立方程式　難問」で検索して訪問されてる方がいました。ごめんなさい，連立方程式の難問は無かったですね。

また来てくれるか分かりませんが，今回は札幌の私立高校の連立方程式，不定方程式の難問を紹介します。

中学生には少し難しい不定方程式です。（でも札幌市中央区の定期テストには平気で出題されてるらしい。怖いね，文教地区。）

連立方程式の方も，結構良い捻り方されています。塩分問題としてgood。食塩水の良問です。

※ちなみによく”塩分濃度”という誤用がありますね。「分」に，濃度の意味は含まれているので，「塩分濃度」だと意味が重なってしまいます！ただ，そのうち広辞苑に「こちらも可」と載りそうな勢いですが......。

第28回芸術的な難問高校入試
「塩と不定方程式」
出典：2014年度　札幌第一高校　過去問
過去問：https://school.js88.com/scl_h/22052640?page=9
範囲：連立方程式，不定方程式，塩分
難易度：★★★★★☆　美しさ：★★★★☆☆

.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/1oO25kkaNJRFXCndKouHjFZfXjINIzbBG/view?usp=sharing

その他の良問高校入試まとめはコチラ

＜検索用＞

次の空欄に当てはまる数値を求めなさい。

　A，B，2種類のビーカーがそれぞれ10個ずつあり，Aのビーカーには4％食塩水が50 cc，Bのビーカーには12％食塩水が50 cc入っている。
　Aのビーカーを【　ア　】個とBのビーカーを【　イ　】個混ぜ合わせると8％食塩水が600 ccできる。また，真水を加えてもよいとすると，8％食塩水600 ccの作り方は【　ウ　】通りあり，この中で真水を最も多く加えるのは，Aのビーカーを【　エ　】個とBのビーカーを【　オ　】個混ぜ合わせたときである。ただし，混ぜ合わせに用いたビーカーの食塩水はすべて使用し，1種類のビーカーだけを用いて作ってもよいものとする。
【解答例】

Aをx個，Bをy個使うとする。

【ア】【イ】（各2点）
Aがx個で合計50x cc，Bがy個で合計50y ccであるから，50x+50y=600　すなわちx+y=12⋯①
Aの4％食塩水50 ccには，塩は2 cc，
Bの12％食塩水50 ccには，塩は6 cc入っているから，
(2x+6y)/600=8/100　すなわち2x+6y=48⋯②
①，②を連立した方程式を解いて，x=6,y=6
【ア】6【イ】6

【ウ】（4点）
8％食塩水600 ccには，塩は48 g入っているから，
2x+6y=48　これを満たす自然数（x, y）の組を考えればよい。yについて解くと，
y=8-x/3　これを満たす自然数xは，0,3,6,9の4通り
したがって，　　　　　　　　　　　　　　【ウ】4

【エ】【オ】（各2点）
真水を最も多く加えるには，食塩水の量は少なければいいので，x+yが小さい（x, y）=（0, 8）とすればよい。
【エ】0【オ】8

【コメント】
　札幌の最近はめちゃんこ頑張っている私立，札幌第一高校の過去問です。
　【ア】【イ】は，ビーカーをたくさん使うという，ちょっと工夫された問題。しかし，結局左記のように，教科書などで基本を理解していれば解ける問題。……塩分問題自体が結構難しめですが。あんまり数学でやる必要あるか？という感じではあります。
　【ウ】が非常に良い問題です。「塩の量のみに注目するか」これができるかどうかです，結構難しい。気づけても，中学生には難しい不定方程式。さらなる難関として，x＝0を忘れないというものがあります。
　【エ】【オ】は出題意図が少しわかりません。【ウ】が分かれば余裕です。配点も？なので，芸術度を－1して4としておきました。
　【ア】【イ】は解けて当たり前にし，【ウ】のような考え方を理解しておきましょう。

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キャッシュレス還元（2020年度都立新宿高校）

2020/06/27

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「キャッシュレス還元」6月末で終了してしまいます。非常にショックです。

それと同時に，ごみ袋有料化の義務化です。（セイコーマートは除く，さすが！）

どうして同時に来てしまうのでしょうかね。

ゴミ袋有料化に関しては，絶対環境問題よくわかっていない人が推進してそう。環境学学んでほしい。

さて，そんな愚痴はどうでもいいとして，新宿高校に，キャッシュレス還元を用いる数学の問題がございました。

ただ使っているだけでなく，入試問題としても素敵です。

問題の出典：http://www.shinjuku-h.metro.tokyo.jp/site/zen/entry_0000006.html

第25回芸術的な難問高校入試
「キャッシュレス還元」
出典：2020年度（令和2年度）東京都立新宿高校　過去問
範囲：連立方程式　など
難易度：★★★☆☆☆　美しさ：★★★★★★

.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/1XY1zoib56-vjvFbVdCisnwWhzSChuxjO/view?usp=sharing

その他の芸術的な難問高校入試
→https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

＜検索コード＞

芸術的な高校入試第25回
出典：2020年度　都立　新宿高校
難易度：★★★☆☆☆ 美しさ：★★★★★★
総試験時間：50分配点：40点/100点
　次の各問に答えよ。
問1
　　(5/7-1/21)×3/√6-√3/2÷√(9/8)　を計算せよ。

問2　二次方程式
(2x+3)^2-3(x+3)+2=1　を解け。

問3
　　x=(5-4√7)/2,y=(5+8√7)/2 のとき，
x^2+2xy+y^2+4x-4yの値を求めよ。

問4
　　箱の中に，１，２，３，４，５，６の数字を1つずつ書いた6枚のカード１，２，３，４，５，６が入っている。
　　この箱の中にある6枚のカードから，カードを1枚取り出し，取り出したカードに書いてある数字をaとし，取り出したカードを箱の中に戻して，もう一度箱の中にある6枚のカードから1枚取り出し，取り出したカードに書いてある数字をbとするとき，
(2a+b)/√ab が整数となる確率を求めよ。
　　ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。

問5
　　図1のように，円Oの周上に，4点A，B，C，Dがある。点Aと点B，点Aと点D，点Bと点C，点Cと点Dをそれぞれ結ぶ。AB＝BCとし，点Cを含まない⏜ABの長さが，点Bを含まない⏜ADの長さの3倍であり，点Cを含まない⏜ABの長さが，点Bを含まない⏜CDの長さの6倍であるとき，xで示した∠BADの大きさは何度か。
図1

問6
　　消費税8％の商品Aを税込み価格（a）円で，消費税10%の商品Bを税込み価格（b）円で，それぞれ現金で購入するときに支払う消費税額を計算すると，合計60円であった。商品AとBを，キャッシュレス決済（現金を使わない支払い方法）で購入するとき，それぞれの税込み価格に対して5%分の金額が，支払い時に値引きされるお店で支払う金額を計算すると，合計722円であった。（a），（b）に当てはまる数を求めよ。

問7
　　図2で，四角形ABCDの辺AB，辺AD，辺CDにそれぞれ接する円の中心をOとし，辺CDとの接点をEとする。回答欄に示した図をもとにして，点Eを定規とコンパスを用いて作図によって求め，点Eの位置を示す文字Eも書け。ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

図2

【解答例】
問1（5点）
(5/7-1/21)×3/√6-√3/2÷√(9/8)
=2/3×3/√6-√(2/3)=(2√6)/6-√6/3=0

問2（5点）
(2x+3)^2-3(x+3)+2=1
4x^2+12x+9-3x-9+1=0
4x^2+9x+1=0
x=(-9±√65)/8

問3（5点）
x^2+2xy+y^2+4x-4y
=(x+y)^2+4(x-y)
=(5+2√7)^2+4(-6√7)
=25+20√7+28-24√7=53-4√7

問4（5点）
①
まず√ab が整数になるには，
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
の8通り。
②
上記のa，bにおいて，2a+bが割り切れないのは，a＝4，b＝1のみ。したがって，合計7通り。
7/36

問5（5点）
∠BAC＝∠BCA＝aとし，条件をもとに図に描きこんでいく。

すると，△ABDにおいて，
1/3 a+a+7/6 a=15/6 a=180　より，a=72
x=7/6 a=84

問6（4点×2）
前半の条件から，
8/108 a+10/110 b=60…①
後半の条件から，
95/100 a+95/100 b=722…②
この連立方程式を解く。
②より，a+b=760　a=760-b　①に代入して。
8/108 (760-b )+1/11 b=60　両辺108*11かけて
66880-88b+108b=71280　20b=4400　b=220
a=540

問7（7点）

OA，ODを利用して，合同な三角形がたくさんできることが分かる。よって，まずは，①∠A，Dの二等分線を引き，中心Oを作図。その後，②点Oから，辺CDに垂線を下ろせばよい。

【コメント】
　適当に高校入試の問題を見ていたら，新宿高校の「キャッシュレス還元」が目に留まりました。小問集合だったので，とりあえず全部紹介。
　問6，非常に面白いです。どんな風に割引がなされるのか，考えるきっかけにもなりますし，何よりそれなりに捻ってあります。①は，例えば本体価格がx円で，消費税8％だった場合，
本体価格　消費税込み
100/100 x　　108/100 x
となりますから，もし消費税込みy円だったら，その逆算をすればよいので，
本体価格　消費税込み
100/108 y　　108/108 y
となります。
　あとは，②が簡単な式になることに気づいて，上手く計算を頑張れるかです。ただキャッシュレス還元で面白くしているだけでなく，入試としても丁度よいですね。素晴らしい。
　ただ残念なのが，今月末でキャッシュレス還元終了。結構割引されてたから困る……。

　地味に他の問題も丁度よいです。

【作成】
「高校入試　数学　良問・難問」
https://hokkaimath.blog.fc2.com/

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おつりを最も多くする方法

2020/01/25

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ティッシュペーパーを購入するとき，必ず電卓で「1枚当たりの価格」を調べて，最も安いものを選ぶと思われます。

例えば，160枚入×5パックが400円，200枚入り×5パックが600円であれば，160枚入りの方は1枚当たり0.5円，200枚入りの方は1枚あたり0.6円となって，前者の方が安いですね。

今回は，それのポテチバージョン。

おつりを最も多くする方法
範囲：場合の数，連立方程式
難易度：★★★★☆　目標時間：7分

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=14o02QIYM9SVhA03n6iFhLKEkICGoiyQu

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エゴイズム連立方程式【2010年度岡山県】

2019/08/10

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※PDF等は，「続きから読む」をクリックお願いします！

ナンセンスな高校入試第2回
出典：2010年度　岡山県高校入試　大問2
難易度：★★☆☆☆☆ 美しさ：－★★★★★★
総試験時間：45分配点：6点/70点

次の会話は，ある中学校の生徒会役員が開いた企画会議での発言の一部である。答えを求めるまでの過程も書いて，空欄に適当な数を書き入れなさい。

太郎：バンクーバー冬季オリンピックに，地元出身の選手の出場が決まったね。
花子：そうね。厳しい練習を通して実力をつけ，出場権を勝ち取ったわ。私たちに元気を与えてくれたわね。頑張ってほしいと思うわ。
太郎：そうだね。そこで1つ提案があるんだけど，生徒会の企画として，地元出身のオリンピック選手の活躍を願って，千羽鶴を贈るというのはどうかな。
花子：それはいいわね。でも，鶴を1000羽折って，さらに糸を通すとなると，私たち生徒会役員全員の8人で折っても時間がかかり過ぎるわ。何か良い案はないかなぁ。
夏子：それなら各クラスの学級委員に手伝ってもらいましょうよ。学級委員1人につき，私たち生徒会役員1人が折る数の半分の数を折ってもらうということでどうかなあ。
次郎：それはよいアイディアだね。じゃあ，1人が折る数を計算してみようよ。

夏子：できたわ。学級委員は全員で24人だから，私たち生徒会役員全員が1人　（ア）　羽ずつ，学級委員全員が1人　（イ）　羽ずつ折ると，ちょうど1000羽の折り鶴ができるわ。

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PDF

【解答例】
生徒会役員がx羽ずつ，学級委員y羽ずつ折るとする。
学級委員1人につき，私たち生徒会役員1人が折る数の半分の数を折るから，
y=1/2 x…①
生徒会役員は8人，学級委員は24人で，合計1000羽折るから，
8x+24y=1000…②
①を②に代入し，8x+12x=1000　x=50
これを③に代入し，y=25
（ア）50（イ）25

【コメント1】
　2020年度（2021年1月）からのセンター試験数学は，「太郎とか花子が出てきて，数学で身近なものを解決する。」みたいな問題が多くなると言う噂です。中学，高校入試では，学校，都道府県によって出たり出なかったり。岡山県は，昔から新センターみたいな問題が好きなのか，多く出題しています。ごみ問題と良い問題の差が激しいのですが，これは稀に見る，酷すぎる，ゴッドオブゴミ，悪問です。

【酷い理由1】バンクーバーオリンピック
　この入試が実施された頃は，丁度バンクーバーオリンピックが開催されていました。しかし，それを数学の問題で載せる必要は無いし，かつ，問題を解く上で完全に不必要な情報です。問題文が長くなっただけ。

【酷い理由2】千羽鶴は迷惑！
　千羽鶴は，貰っても迷惑という声がある中，生徒会の自己満足の為に千羽鶴を折るという行為の愚かさです。オリンピック行くような選手が千羽鶴貰ったところで嬉しいとなるのでしょうか？なりませんね。この子達の感性が心配。

【酷い理由3】他人を巻き込む
　この千羽鶴を折るという企画は，生徒会が企画しているので，はっきり言って生徒会内で完結すべきなのに，関係ない24人の学級委員を巻き込もうとしているのはいかがなものか。そもそもバンクーバーオリンピックに興味ない学級委員だっているでしょう。何全員に折らせようとしているのか。生徒会も日本の政治も同じですね。常にトップに振り回されます。たぶん，岡山県の教育委員会もそんな感じなんでしょう。
　そして，生徒会1人50羽はともかく，委員1人25羽という多さ。鶴は1つ作るのに1～2分かかるとして，終盤は集中力が切れ，休憩もあるでしょうから，平均して120秒としましょう。2分×25＝50分。甚だ迷惑ですね。

【酷い理由4】非現実的
　連立方程式の文章題は，「日常生活ではどのように使われるのか。」という問題を作りたがる人が多いので，どうしても非現実的な問題が多くなるのでしょうが，これは非現実的過ぎる，無理やり。いや，岡山では現実的なのか？（当時の地元の塾はどこか突っ込んでいるのでしょうか……。）

【酷い理由5】真似したらどうするんだ！
　仮にも入試問題，学生に真似されたらどうするんでしょうね？真似しても大丈夫な設定にしましょうよ。少なくとも，千羽鶴である必要はないです。

【コメント2】
　暇だったので，ここまで突っ込んでみましたが，たぶんこれが岡山県の狙い。「酷い入試問題を作れば，連立方程式が苦手な子でもとりあえず読むだろう。突っ込むだろう。」あえてツッコミ所満載な問題を作ることによって，有名になるのを狙ったんでしょう。半分ネタですこれ。真面目にこの問題作ったなら，相当頭イかれています。ネタとしては完成度高い問題。

..end

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