個性的な(笑)Youtube数学解説動画に影響されて(2020年度宮城県)【訂正】

2020/10/11

-スポンサーリンク-

メールフォームでネタを提供していただきました。

最近はYoutubeで数学解説動画をアップロードするということが流行っていますね。私も1回やろうかと思いましたが,動画って自分のペースで見れない(解説がゆったり過ぎる,または速すぎる)ので,やめました。紙媒体なら自分のペースで読めます。

で,とてつもなく個性的(笑)な解説動画のURLをいただきました。



上の動画は見ないで,1回以下のプリントの問題を解いてみましょう。話はそれからです。

実はそんなに計算面倒ではない
難易度:★★★★★ 範囲:中3図形,相似,円周角,三平方
出典:2020年度 宮城県 高校入試 数学 過去問
URL:https://www.kahoku.co.jp/special/exam2020_hs/index_sp.html
<問題>
kaikai1.jpg


<PDF・解説はこちら↓↓>

comment (-) @ 平面(計算メイン)

貴重な平面図形の超良問(2020年度大阪府C)

2020/10/01

-スポンサーリンク-

大阪府Cの問題は,大変にイかれておりますが(点取らせる気あるのか?)1つ1つの問題は良問であることが多いです。試験時間増やしてもいいかもね。

今回は,全てが良い問題です。(1)の証明は,中2の知識だけで解けますが,結構良い感じに手ごわい?

(2)の図形計算問題は,計算自体非常に楽です。マジです。でも思いつかなかったらOUT。一応大阪府Cの問題は,時間内に頑張れば終わることを想定されているということが分かる......。

珍しく,解答解説が非常に丁寧です。問題集の解答解説で分からなかったら,是非読んでほしい。



第32回芸術的な難問高校入試
「平面図形の良問すぎる」
出典:令和2年度 大阪府高校入試 数学C 大問2
URL:http://www.pref.osaka.lg.jp/kotogakko/gakuji-g3/r02gakken_ippan.html

<問題>
図I,図IIにおいて,△ABCは内角∠BACが鈍角の三角形であり,AB<ACである。△DAE ≡ △ABC であり,D は辺 AC 上にあって,E は直線 AC について B と反対側にある。このとき,AB // ED である。B と Dとを結ぶ。このとき,△ABD は AB = AD の二等辺三角形である。F は,E を通り辺 AC に平行な直線と直線 BD との交点である。F と C とを結ぶ。 次の問いに答えなさい。

図I
Screenshot_20200930-223911.jpg
(1)図Iにおいて,四角形 EACF は平行四辺形であることを証明しなさい。

(2)図 II に お い て,AB = 2 cm,AC=6 cmである。GはCから直線 AB にひいた垂線と直線 ABとの交点であり,GA=2 cmである。H は,線分 GC と辺 EA との交点である。

図II
Screenshot_20200930-235544.jpg

① 辺 BC の長さを求めなさい。
② 線分 EH の長さを求めなさい。
③ 四角形 EHCF の面積を求めなさい。

<PDF,解答例はこちら↓>


comment (-) @ 平面(計算メイン)

解法を無理やり3通り 三角形と内接円

2020/06/30

-スポンサーリンク-

このブログでも幾度か登場している,三角形と内接円の問題です。

例えばこちら(2018年度愛知県)


「高校入試 数学 良問」と検索すると,私のPCでは,Googleで私のサイトがTOPに来るようになりました!嬉しい!

で,もともとはTOPにあったサイトから引用してきた問題がこちらです(7年前で更新が止まっている......)


解答例が書かれていませんでした!

何と「解答例を3つ考えてみましょう」という問題です。

私の少ない脳みそでひねり出してみました。



「三角形と内接円」
出典:アメーバブログ「高校入試『数学の良問を解く』」
URL:https://ameblo.jp/1day-katekyo/entry-11609513821.html
範囲:中3図形
難易度:★★★☆☆☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1eMFUKylQNjfueP5HHUq3LQfUVXtHKqUK/view?usp=sharing

<検索コード>

下の図で,AB=AC=6,BC=4とするとき,△ABCの内接円Oの半径を求めよ。解答例を3つ考えよ。



comment (-) @ 平面(計算メイン)

円周角と三平方?(たぶん札幌市内の某中学校)

2020/01/13

-スポンサーリンク-

中学校の定期テストは,基本的にどの先生も出す問題は同じです。

出題の仕方で個性が出たりしますが,基本的にはその先生の授業をしっかり聞いて,対策すれば点は取れるもの。たまに平均点30点台とか,かなりテストの作り方間違えている先生もいますが。

今回の問題は,色々な学校の定期テストを見ていたら,見つけた良い問題です。たぶん札幌市内のどこかの中学校。もしかしたら問題集とか,入試問題から引用している可能性もありますが。

解法をすぐ思いつけたら流石。2022年度からの新北海道高校入試で出題されそうな問題。

第18回芸術的な難問高校入試「円周角と三平方?」
難易度:??????美しさ:★★★★★☆
【出典】たぶん札幌市内のどこかの中学校の定期テスト

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1We4tCKATzLFHQ2CMW0KGo5-zj5uK4BSm

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html


comment (-) @ 平面(計算メイン)

60°と補助線(2015年度長野県)

2019/12/15

-スポンサーリンク-

正三角形と円周角,60°と補助線など,平面図形の応用要素がたくさん詰まった,一度は解いておきたい問題です。

応用ですが,誘導が丁寧になされており,無理なく解けます(たぶん)

ただ,長野県の証明の採点基準は気に食わないかも笑

この記事で紹介した問題のプリントです。(遅くなりましたが)復習に良いかも??

正三角形と円周角
難易度:★★★★☆
【出典】2015年度 長野県 公立高校入試 過去問
URL:https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/nagano/2015/math/question07.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1s_o1jyp_gwFcWJtnMu0rYHS8G36dZyEP

<検索用コード>

図1のように,線分AB上に点Cをとり,AC,CBを,それぞれ1辺とする正三角形△ACDと△CBEをABの同じ側につくる。また,AEとBDの交点をF,CEとBDとの交点をGとする。
 次の各問いに答えなさい。
図1

(1)∠DCEの大きさを求めなさい。
(2)△ACE≡△DCBを証明しなさい。
(3)∠BFE=60°であることを,次のように求めた。
(2)より,△ACE≡△DCBから,
∠AEC=∠DBC
だから,円周角の定理の逆より,4点B,E,あ,いは,同じ円周上にある。
よって,⏜BEに対する円周角は等しいから,
 ∠BFE=う
したがって,∠BFE=60°
① あ,いに当てはまる点を,それぞれ記号を用いて書きなさい。ただし,あ,いの順序は問わない。
② うに当てはまる最も適切な角を,記号を用いて書きなさい。

(4)AC=12 cm,CB=6 cmとする。
① 次のように,相似な2つの三角形を見つけることにより,その相似比から,CG:GEを求めることができる。
  えに当てはまる最も適切な三角形を記号を用いて書き,おに当てはまる最も簡単な整数の比を求めなさい。
△DCG∽えだから,CG:GE=おである。

② BGの長さを求めなさい。
③ △EFGの面積を求めなさい。








































正三角形と円周角 解答例
範囲:中3図形 難易度:★★★★☆
(1)(1点)
∠DCE=60°
(2)(4点)
△ACEと△DCBにおいて,
△ACDと△BCEは正三角形であるから,(※)
AC=DC,CE=CB…①
∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°
∠BCD=∠BCE+∠DCE=120°
であるから,∠ACE=∠BCD…②
①,②より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから,△ACE≡△DCB
(※)長野県では①を,「仮定より」と書いたら減点です。でも,正三角形の定義が「すべての辺が等しい」なので,仮定よりでも問題ないはずですけどね。角度の方②は定理なので1言書きましょう。
(3)①(完1点)
CとF
(3)②(1点)
∠BCG
(4)①(完2点)
△DCG∽△BEGだから,CG:EG=2:1
(※)DC//EBDC=12 cm,BE=6 cmを利用。
(4)②(3点)
△DCG∽△BEGであるから,
DC:BE=DG:BG=2:1
DからACに垂線を下ろし,ACとの交点をHとする
DH=6√3 cm
HはACの中点だから,BH=6+6=12 cm
△BDHで三平方の定理より,
BD^2=DH^2+BH^2=108+144=252
BD>0より,BD=6√7 cm 
よって,BG=BD÷3=2√7 cm

(4)③(3点)
同様にCG:EG=2:1なので,CG=4 cm。
GからBCに垂線を下ろし,交点をIとする。
∠GCI=60°なので,GC:GI=2:√3 
よって,GI=2√3 cm
故に,△BCG=1/2×6×2√3=6√3 〖 cm〗^2となる。
∠EFG=∠BCG,∠EGF=∠BGCより,△EFG∽△BCGなので,EG:BG=2:2√7=1:√7だから,面積比は,1:7なので,
△EFG=(6√3)/7 cm^2

【コメント】
 60°と補助線の典型的応用問題です。
応用問題ですが,非常に誘導が丁寧な問題です。数学が得意な受験生は,最後まで解くとよいでしょう。
 長野県の模範解答を見たら,正三角形の辺の長さ,円の半径まで「仮定より」とは書いてはいけないようです。長けりゃいいってものでもありませんが,証明は文句言われないようにクドく書いておきましょう。
(ちなみに北海道は仮定よりで問題ないと思われます)



その他の平面図形の問題




comment (-) @ 平面(計算メイン)

辺の比・面積比・相似 【2016年度東京都過去問】

2019/11/09

-スポンサーリンク-

何やかんや久々の更新となりました。

今回は,典型的な難問として,辺の比や相似比を用いる問題を紹介します(問2(2))。北海道の高校入試ではあまり見かけませんが,私立札幌第一や札幌光星,一般的な問題集で出やすい。要は有名な問題と言うことですね。

ただ,問1,問2(1)は,簡単な証明など,定期テスト対策に丁度良いので,早めに解いてみても良いかもしれません。
過去に紹介した似た問題は,これこれですね。

TITLE:辺の比・面積比・相似
範囲:中3相似
出典:2016年度 東京都 高校入試 数学 過去問
URL:http://www.kyoiku.metro.tokyo.jp/press/press_release/2016/release20160224_01.html




comment (-) @ 平面(計算メイン)

ひたすら難しい相似証明

2019/10/21

-スポンサーリンク-

標準問題と裁量問題で証明問題を変えるとしたら,裁量問題で出題される証明問題はこんな感じかもしれません。

北海道学力コンクール(道コン)は,11月と1月は三平方の定理を出題することが出来ないため,相似で頑張って難問を作ってきます。ちなみに入試本番なんかよりも何倍も難しいです。(たまに理不尽,まあ解けるに越したことは無い。)

今回は面積を求める問題もつけましたが,なんと相似だけで解くことが出来ます!え??本当??本当です,頑張ってください。

後,問1の90度関連の話は,覚えておくと良いかもしれません。2008年度ジュニア数学オリンピックに何となく類題がありました。
<類題 このページの5問目>

TITLE:ひたすら難しい相似証明
範囲:中3相似


ちなみに,昨年度南北高校受ける生徒に是非解かせようとは思っていたのですが,断念しました。たぶんここまで難しいのは出ないから。難しいどころか簡単なのしか出ませんでした。残念!

comment (-) @ 平面(計算メイン)

円周角と大量の二等辺2(2019年度大阪府C)

2019/10/16

-スポンサーリンク-

以前の問題の続きです。
この問題も,よくある「とりあえず求められているものをxと置くと都合が良い。」問題です。色々xで表してみて,相似なりなんなり使ってみましょう。

TITLE:円周角と大量の二等辺2

出典:2019年度大阪府C 範囲:中3図形 三平方の定理 応用問題


まあ北海道では出題できないかな,計算が長くて。(コンパクトな解法があれば別。)

comment (-) @ 平面(計算メイン)