解法を無理やり3通り 三角形と内接円

2020/06/30

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このブログでも幾度か登場している,三角形と内接円の問題です。

例えばこちら(2018年度愛知県)


「高校入試 数学 良問」と検索すると,私のPCでは,Googleで私のサイトがTOPに来るようになりました!嬉しい!

で,もともとはTOPにあったサイトから引用してきた問題がこちらです(7年前で更新が止まっている......)


解答例が書かれていませんでした!

何と「解答例を3つ考えてみましょう」という問題です。

私の少ない脳みそでひねり出してみました。



「三角形と内接円」
出典:アメーバブログ「高校入試『数学の良問を解く』」
URL:https://ameblo.jp/1day-katekyo/entry-11609513821.html
範囲:中3図形
難易度:★★★☆☆☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1eMFUKylQNjfueP5HHUq3LQfUVXtHKqUK/view?usp=sharing

<検索コード>

下の図で,AB=AC=6,BC=4とするとき,△ABCの内接円Oの半径を求めよ。解答例を3つ考えよ。



comment (-) @ 平面(計算メイン)

受験生大泣き!?真骨頂証明(2010年度北海道)

2020/06/29

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北海道入試において,トップクラスの良問(と同時に,受験生を苦しめた恐ろしい問題)

なんせ証明自体は非常に簡単ですからね。ただパニックになります。こんな綺麗な問題は,北海道らしいですね。他県では出せない。

しかもこの年は,ただでさえ他の問題も容赦ない年でした。さらにさらに,

裁量問題

もおぞましい。


ちなみにこの問題に感動して私が作った問題が,

https://hokkaimath.jp/blog-entry-100.html

です。

やはり北海道の真骨頂は「見た目は簡単」「実は解答も短い」「でもなんでそこを突くの!?」だと思います。

-追伸-

中2の教科書とか,しっかりしたワークなら必ず載っている「垂線の作図証明」です。日頃から教科書をしっかり読んでいる子なら余裕かもしれません。案外塾とかは,傾向と対策しか練ってませんから,こういうの弱い。それも含めて良い問題。

-追伸終わり-


第26回芸術的な難問高校入試
「真骨頂証明」
出典:2010年度 北海道
過去問:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h30gakuryoku.html
範囲:証明
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★★

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/14lwOeJJSCu_L4MS8mq4o3W-_QHwf4wQD/view?usp=sharing


その他の良問高校入試まとめはコチラ



<検索用>

次の問いに答えなさい。
問1 下の図のように,3点A,B,Pがあります。この3点が,平行四辺形の4つの頂点のうちの3つとなる平行四辺形は何種類できますか,求めなさい。

問2 下の図のように,3点A,B,Pがあり,次の①~⑤の操作を順に行います。
① 線分ABをひく。
② 点Aを中心とし,線分APを半径とする円をかく。
③ 点Bを中心とし,線分BPを半径とする円をかく。
④ ②,③でかいた2つの円の交点のうち,点Pと異なる点をQとする。
⑤ 2点P,Qを通る直線をひく。
  このとき,直線PQが,線分ABの垂線であることを証明しなさい。




comment (-) @ 平面(証明メイン)

キャッシュレス還元(2020年度都立新宿高校)

2020/06/27

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「キャッシュレス還元」6月末で終了してしまいます。非常にショックです。

それと同時に,ごみ袋有料化の義務化です。(セイコーマートは除く,さすが!)

どうして同時に来てしまうのでしょうかね。

ゴミ袋有料化に関しては,絶対環境問題よくわかっていない人が推進してそう。環境学学んでほしい。

さて,そんな愚痴はどうでもいいとして,新宿高校に,キャッシュレス還元を用いる数学の問題がございました。

ただ使っているだけでなく,入試問題としても素敵です。


問題の出典:http://www.shinjuku-h.metro.tokyo.jp/site/zen/entry_0000006.html

第25回芸術的な難問高校入試
「キャッシュレス還元」
出典:2020年度(令和2年度)東京都立新宿高校 過去問
範囲:連立方程式 など
難易度:★★★☆☆☆ 美しさ:★★★★★★

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1XY1zoib56-vjvFbVdCisnwWhzSChuxjO/view?usp=sharing


その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

<検索コード>

芸術的な高校入試第25回
出典:2020年度 都立 新宿高校
難易度:★★★☆☆☆ 美しさ:★★★★★★
総試験時間:50分 配点:40点/100点
 次の各問に答えよ。
問1
  (5/7-1/21)×3/√6-√3/2÷√(9/8) を計算せよ。











問2 二次方程式
(2x+3)^2-3(x+3)+2=1 を解け。











問3
  x=(5-4√7)/2,y=(5+8√7)/2 のとき,
x^2+2xy+y^2+4x-4yの値を求めよ。






問4
  箱の中に,1,2,3,4,5,6の数字を1つずつ書いた6枚のカード1,2,3,4,5,6が入っている。
  この箱の中にある6枚のカードから,カードを1枚取り出し,取り出したカードに書いてある数字をaとし,取り出したカードを箱の中に戻して,もう一度箱の中にある6枚のカードから1枚取り出し,取り出したカードに書いてある数字をbとするとき,
(2a+b)/√ab が整数となる確率を求めよ。
  ただし,どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。











問5
  図1のように,円Oの周上に,4点A,B,C,Dがある。点Aと点B,点Aと点D,点Bと点C,点Cと点Dをそれぞれ結ぶ。AB=BCとし,点Cを含まない⏜ABの長さが,点Bを含まない⏜ADの長さの3倍であり,点Cを含まない⏜ABの長さが,点Bを含まない⏜CDの長さの6倍であるとき,xで示した∠BADの大きさは何度か。
図1

問6
  消費税8%の商品Aを税込み価格(a)円で,消費税10%の商品Bを税込み価格(b)円で,それぞれ現金で購入するときに支払う消費税額を計算すると,合計60円であった。商品AとBを,キャッシュレス決済(現金を使わない支払い方法)で購入するとき,それぞれの税込み価格に対して5%分の金額が,支払い時に値引きされるお店で支払う金額を計算すると,合計722円であった。(a),(b)に当てはまる数を求めよ。












問7
  図2で,四角形ABCDの辺AB,辺AD,辺CDにそれぞれ接する円の中心をOとし,辺CDとの接点をEとする。回答欄に示した図をもとにして,点Eを定規とコンパスを用いて作図によって求め,点Eの位置を示す文字Eも書け。ただし,作図に用いた線は消さないでおくこと。

図2




























【解答例】
問1(5点)
(5/7-1/21)×3/√6-√3/2÷√(9/8)
=2/3×3/√6-√(2/3)=(2√6)/6-√6/3=0

問2(5点)
(2x+3)^2-3(x+3)+2=1
4x^2+12x+9-3x-9+1=0
4x^2+9x+1=0
x=(-9±√65)/8

問3(5点)
x^2+2xy+y^2+4x-4y
=(x+y)^2+4(x-y)
=(5+2√7)^2+4(-6√7)
=25+20√7+28-24√7=53-4√7

問4(5点)

まず√ab が整数になるには,
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
の8通り。

上記のa,bにおいて,2a+bが割り切れないのは,a=4,b=1のみ。したがって,合計7通り。
7/36





問5(5点)
∠BAC=∠BCA=aとし,条件をもとに図に描きこんでいく。

すると,△ABDにおいて,
1/3 a+a+7/6 a=15/6 a=180 より,a=72
x=7/6 a=84


























問6(4点×2)
前半の条件から,
8/108 a+10/110 b=60…①
後半の条件から,
95/100 a+95/100 b=722…②
この連立方程式を解く。
②より,a+b=760 a=760-b ①に代入して。
8/108 (760-b )+1/11 b=60 両辺108*11かけて
66880-88b+108b=71280 20b=4400 b=220
a=540

問7(7点)

OA,ODを利用して,合同な三角形がたくさんできることが分かる。よって,まずは,①∠A,Dの二等分線を引き,中心Oを作図。その後,②点Oから,辺CDに垂線を下ろせばよい。










【コメント】
 適当に高校入試の問題を見ていたら,新宿高校の「キャッシュレス還元」が目に留まりました。小問集合だったので,とりあえず全部紹介。
 問6,非常に面白いです。どんな風に割引がなされるのか,考えるきっかけにもなりますし,何よりそれなりに捻ってあります。①は,例えば本体価格がx円で,消費税8%だった場合,
本体価格 消費税込み
100/100 x  108/100 x
となりますから,もし消費税込みy円だったら,その逆算をすればよいので,
本体価格 消費税込み
100/108 y  108/108 y
となります。
 あとは,②が簡単な式になることに気づいて,上手く計算を頑張れるかです。ただキャッシュレス還元で面白くしているだけでなく,入試としても丁度よいですね。素晴らしい。
 ただ残念なのが,今月末でキャッシュレス還元終了。結構割引されてたから困る……。

 地味に他の問題も丁度よいです。

【作成】
「高校入試 数学 良問・難問」
https://hokkaimath.blog.fc2.com/


comment (-) @ 方程式の文章題

割り算と式(2016年度函館ラサール高校)

2020/06/21

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入試範囲が狭くなったら,代わりに出題される可能性の高い問題の1つとして「整数問題」があります。

学校の授業ではあまり扱われませんが「問題文を読めばわかるでしょ」というノリで出題されます。

ちなみに過去の北海道高校入試では,明らかに特殊な対策必要な問題が回出題されています。

・これの2010年度とか



今回の函館ラサールの問題は,特殊な対策は必要ありません。問題文を読めれば,小学生でも解けます。しかし,入試で出題されたら,少なくない中学生が「面倒だ」という理由で放棄しそう......。



「割り算と式」
出典:2016年度 函館 ラ・サール高校 過去問
範囲:関数,相似,回転体
難易度:★★★☆☆☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/18Vg6djCnTwwAdFFogHjTfraGeBaDpZsG/view?usp=sharing


comment (-) @ 整数問題

計算がやや技巧的(2009年度ラ・サール高校)

2020/06/16

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東京都では,新型コロナの影響で,三平方の定理を入試の出題範囲から削除する予定だそうです。全国にもその波がきそう。

ものすごく入試の配点占める三平方なくなったら,入試問題作るの大変そうですよね。

で,個人的に思いつく代替案としては,

・2020年度日比谷

のように,立体図形を何とかして相似や中1の知識だけで解かせる....ですかね。(絶対にきつい)

後は,図形問題をやめて,以下のように計算が技巧的な問題を増やしてみるとか,そんな感じです。

「bとcの符号」
出典:2009年度 鹿児島 ラサール高校 過去問
範囲:関数,相似,回転体
難易度:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1HLfPVisBFnRs4q55LGUGfp6vawpz62yh/view?usp=sharing

comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ