図が簡素な長い証明【2016年度 都立 立川高校】

2019/07/23

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今回は,図が簡素なだけです。

芸術的な高校入試第3回
出典:2016年度 東京都立 立川高校 大問3
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★☆☆
総試験時間:50分 配点:18点/100点
 下の図のように,鋭角三角形ABCがあります。頂点B,Cからそれぞれ辺AC,ABに垂線を下ろし,交点をそれぞれD,Eとします。次の問いに答えなさい。
2016_tachikawa.png
問1 △ABC∽△ADEを証明しなさい。
問2 AB=13 cm,AC=14 cm,BC=15 cmとします。線分DEの長さを求めなさい。
※本来の問1は省略(面白くも美しくもないから)。

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【コメント1】
 この芸術的な入試問題は,案外気分で選んでいます。この問題は図が簡素なくせに,まあまあ証明が長いので,良い問題と言えます。図が簡素であれば何でもいいのです。
 さて,高校入学後に皆さんは,BDとCEの交点を「垂心」と呼ぶことを習いますね。高校入試なんだから,高校知識,大学知識で有利になるような問題はあまり出してはいけません。あんまりならないか。
 ただ問題文の短さ,図の簡素さで入賞です。誰から目線なんでしょうね。
 円のえの字も無い状態から,円を思い浮かべられるか!?頭が高校入試なら余裕ですね。
Screenshot_20190723-221243.png
【解答例】
問1(10点)
△ABCと△ADEにおいて,
共通な角だから,∠BAC=∠DAE…①
仮定より,∠BEC=∠BDC=90°だから,円周角の定理の逆より,4点B,C,D,EはBCを直径とする同一円周上にある。
したがって,弧BEに対する円周角は等しいから,
∠BCE=∠BDE
また,
∠ABC=180°-90°-∠BCE=90°-∠BCE
∠ADE=90°-∠BDE
したがって,∠ABC=∠ADE…②
①,②より2組の角がそれぞれ等しいから,
△ABC∽△ADE(証明終わり)

問2(8点)
DE=x cmとおく。
△ADE∽△ABCより,
x:15=AE:14
AE=14/15 x cm
BE=AB-AE=13-14/15 x
△AECにおいて,三平方の定理より,
EC=√(196-196/225 x^2 )
したがって,△BECにおいて,三平方の定理より,
BE^2+EC^2=BC^2
(13-14/15 x)^2+(196-196/225 x^2 )=225
169-364/15 x+196=225
364/15 x=140 x=75/13 DE=75/13 cm

【コメント2】
 問1は円周角の定理の逆に気づき,90°-同じ大きさの角に気づけば楽勝です。ただ簡素な図からここまで長い証明書かされるとは思わないでしょう。恐ろしい問題。
問2は都立入試でありがちなただ計算が面倒くさい問題。相似を使うべきところ,三平方を使うべきところは明快です。ただ,計算式が一見汚いので,「合っているかな……?」と不安になりますが。答えだけを書く形式なので,計算ミスで点失った人も多そう。またこれ入試でありがちですが,x^2は消えてくれます。

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