過剰な知識が邪魔をする?(2019年度茨城県)

2020/10/23

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今回は茨城県の問題です。100点中配点が9点の問題。

茨城県と言えば,お笑い芸人の「カミナリ」が有名ですね。(最近お笑いにハマっている管理人)
2016年度と2017年度では,M1グランプリの決勝に残っています。
Youtubeに公式動画がほとんど無いのが残念ですが......。



最初見たとき「あんなに強く頭叩いて大丈夫?」と不安になる方多いと思いますが,そのうちあの音が癖になります。
ただ,いつかマナブ君の頭が破裂しないのではないかという心配は常にする必要があります。
※マナブ君石頭だから,タクミ君の手がやばいらしい(笑)
そこらへんはプロだから大丈夫なのか。

まだまだフレッシュなので,もっと売れてほしい!

さて,今回の問題は,そんなカミナリとは全く関係ない,関数の問題です。無理やりこじつけるなら,マナブ君が解答例2で解いて,タクミ君に頭叩かれてそうです。

過剰な知識が邪魔をする?
目標時間:5分 難易度:★★☆☆☆ 範囲:中3関数 出典:平成31年度茨城県
URL:https://www.tokyo-np.co.jp/article/32789

<問題>
takumi1.png


〈解説,PDFはこちら↓〉



comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

【改】変域と文字の粘り強さ(オリジナル)

2020/10/06

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※問1思いきり出題ミスしておりました。修正しました。

アクセス解析を見たら,最近は本当に関数の問題が人気です。アクセスの半分以上占めています。

たぶん需要があるということなので,問題をまた作成しました。

入試でもめちゃんこ配点占めますからね。

今回の問題は,いかに文字に惑わされないかです。聞かれていることは,図形の基本的(?)知識です。とはいえ,北海道で出されたら結構正答率低めでしょうね......。

変域と文字式
目標時間:10分 難易度:★★★★☆ 範囲:中3関数
出典:オリジナル

<問題>
※画質悪いのでPDF推奨
kankiso1.png


<PDF・解答解説は↓↓>

comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

計算がやや技巧的(2009年度ラ・サール高校)

2020/06/16

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東京都では,新型コロナの影響で,三平方の定理を入試の出題範囲から削除する予定だそうです。全国にもその波がきそう。

ものすごく入試の配点占める三平方なくなったら,入試問題作るの大変そうですよね。

で,個人的に思いつく代替案としては,

・2020年度日比谷

のように,立体図形を何とかして相似や中1の知識だけで解かせる....ですかね。(絶対にきつい)

後は,図形問題をやめて,以下のように計算が技巧的な問題を増やしてみるとか,そんな感じです。

「bとcの符号」
出典:2009年度 鹿児島 ラサール高校 過去問
範囲:関数,相似,回転体
難易度:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1HLfPVisBFnRs4q55LGUGfp6vawpz62yh/view?usp=sharing

comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

文字地獄(2019年度都立西高校)

2020/05/28

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2020年度は比較的落ち着いた難易度でしたが,2019年度はとんでもなく(?)難しかったのでご紹介します。何が怖いって,図は非常にシンプルで簡単そうなんですね。



問題の出典:http://www.nishi-h.metro.tokyo.jp/09nyushi/mondai.html
問題の解答:https://www.school-data.com/exam_archives/exam_result/2019/answer_tokyo.html



ちなみに問3は,2014年度愛知県の問題を先に知っておくと解きやすい?かもしれません。恐らく都立西の受験生は,こういう系統の問題を演習して,本番「台形でも似たようなことできるかな......?」と考えたはず。台形2等分知ってたら凄い。



図はシンプルで難易度高いので,美しさ5ぐらいにしようかと思いましたが,明らかに難易度調整,配置ミスってる気がするので,-1して4としておきました。現にこの年の平均点は低かったらしい......。



第23回芸術的な難問高校入試
「文字地獄」
出典:2019年度(平成31年度) 東京 都立西高校 過去問
範囲:2次関数,相似
難易度:★★★★★★ 美しさ:★★★★☆☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1NzhiGVVq7eLabqoNO9BJGNPcmGDECBec/view?usp=sharing

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

<検索コード>

【都立西高校 過去問 解答】
芸術的な高校入試第23回
出典:2019年度 都立西高校
難易度:★★★★★★ 美しさ:★★★★☆☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
 図1で,点Oは原点,曲線fは関数y=ax2(a>0)のグラフを表している。2点P,Qは,ともに曲線f上にあり,点Rはx軸上にある。点Pのx座標をt,点Qのx座標をt+2,点Rのx座標をt+1とする。次の各問に答えよ。
図1

問1 図2は,図1の曲線fについて,関数y=ax2のxの値が点Pのx座標tから点Qのx座標t+2まで増加したときの変化の割合をmとし,tとmの関係をグラフで表したものである。aの値を求めよ。
図2



問2 図3は,図1において,点(2, 0)を通る直線をlとし,直線l上の点でx座標がt+3である点をSとした場合を表している。点Pが曲線f上を動くとき,四角形PRSQが常に平行四辺形となるような直線lの式を,aを用いて表せ。

図3































問3 図4は,図1において,t=2のとき,点Pと点Rを結び,PR//QTとなるような点Tをx軸上にとり,点Qと点Tを結んだ場合を表している。直線y=xが,線分PRと交わり,台形PRTQの面積を2等分するとき,aの値を求めよ。ただし,答えだけでなく,答えを求める過程が分かるように,途中の式や計算なども書け。
図4































































【解答例】
問1(7点)
図2より,t=1のときm=2,すなわち傾き2ということが分かる。t=1のとき,P(1, a)Q(3, 9a)なので,傾きは,
8a/2=4a=2 これを解いて, a=1/2

問2(8点)
四角形PRSQが平行四辺形となるには,QP//SR,ここで,PとQのx座標の差=SとRのx座標の差であるから,y座標の差が等しくなれば良い。
P(t,at^2 ),Q(t+2,a(t+2)^2 ),R(t+1,0)と表す。
直線lの傾きをbとすると,点(2, 0)を通るから,
l:y=bx-2bと表せるので,S(t+3,bt+b)
y座標の差はそれぞれ,
PQ:a(t+2)^2-at^2=4at+4a=4a(t+1)
RS:bt+b=b(t+1)
4a(t+1)=b(t+1) これを解いて(※1),b=4a
したがって,直線lは,y=4ax-8a
(※1)t=-1とそうでないときで場合分けが本来は必要。t=-1のとき,P(-1, a)Q(1, a)R(0, 0)S(2, 0)となるから,直線lは任意となる。

問3(10点)
P(2, 4a)R(3, 0)Q(4, 16a)と表す。
P,Qからx軸に垂線を下ろし交点をU,Vとすると,△PUR∽△QVT,相似比は4a:16a=1:4だから,Tのx座標は4+4=8となり,T(8, 0)
台形PRTQを二等分する直線は,PRの中点とQTの中点を結んだ線分の中点を通る。(※2)
PRの中点(5/2,2a),QTの中点(6,8a)
であるから,この2点の中点は,
(17/4,5a)と表せ,y=xを通るから,17/4=5a 
a=17/20




(※2)
台形を2等分するには,上底,下底のそれぞれの中点を結んだ線分の中点を通ればよい。
下の図で黄色い線y=x,赤い線分とPR,QTで交わったピンクの三角形は合同となっている。

類題:平行四辺形を2等分
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【コメント】
 問1,問3は(都立西の受験生にとっては)難しくないのですが,tやらmやらの文字で混乱して戦意喪失したでしょう。落ち着けばなんてことないのですがね。
 問1は,グラフにされるから一見難しいですが,聞かれていることは「t=1のとき,直線PQの傾きは2です。aの値は?」です。グラフを言語化できるか。
 問3は,平行四辺形や正方形2等分ならよく聞きますが,台形はあまり聞かないかも。良い問題です。平行四辺形の導出の経験を活かせたら,台形もすんなりいけるはず。ちなみに都立西の模範解答は長々と書いています。解答用紙に図を書いた方が楽ですね。回答としては左ので十分だと思われます。
 問2はもっと良い解法ある気がしますが……力技で解きました。文字の力技で解くなら明らかに中学生には難しい。問3と交換してあげるべきだったかも……。
 ちなみにこの年は平均点がむごかったようで。4割弱?難易度調整に難があるので,美しさは5のところ4に減らしておきました(だから何だって話ですが。)



comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

aは任意(2020年度都立西高校)

2020/05/27

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都立西高校の関数の問題です。図がシンプルなので紹介します。

実は解法も基本に忠実なシンプルな問題なのですが,大半の受験生は文字aに惑わされて何やってよいか分からなくなると思われます。

ちなみに問3は,物議を醸した2012年度埼玉県と全く同じ問題です。埼玉県のは配点と出題方法で悪問認定されていますが,都立西は最後の問題で,配点もちょうどよいので良問認定です。え?

問題の出典:http://www.nishi-h.metro.tokyo.jp/09nyushi/mondai.html


第22回芸術的な難問高校入試
「aは任意」
出典:2020年度 東京 都立西高校 過去問
範囲:2次関数,相似
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★☆☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1p0zT3zAB_vIkqqd_fIjFJ0nRKTXnqa_D/view?usp=sharing

その他の芸術的な難問高校入試
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<検索コード>

芸術的な高校入試第22回
出典:2020年度 都立西高校
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★☆☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
図1で,点 O は原点,曲線fは関数y=ax^2(a>0)のグラフである。
2点 A,B はともに曲線f上にあり,点 A のx座標は負の数,点Bのx座標は正の数であり,点 A と点 B のx座標の絶対値は等しい。点 A と点 B を結ぶ。点 O から点(1, 0)までの距離,および点 O から点(0, 1)までの距離をそれぞれ1 cm として,次の各問に答えよ。
図1

問1 図2は,図1において,a=1/2,点Aのx座標を-1とし,四角形 ABCD が正方形となるようにy座標はともに正の数となる点 C と点 D をとり,点 B と点 C,点 Cと点 D,点 D と点 A をそれぞれ結んだ場合を表している。2点 B,D を通る直線の式を求めよ。






問2 図3は,図1において,点 A のx座標を-1とし,点 E は曲線f上にあり,x座標が3となる点とし,点 F は曲線f上にあり,x座標が負の数で,y座標が点 A のy座標より大きい点とし,点 O と点 B,点 B と点 E,点 E と点 O,点 B と点 F,点 F と点 A をそれぞれ結んだ場合を表している。
△BEO と△ABF の面積が等しくなるとき,点 F のx座標を求めよ。ただし,答えだけでなく,答えを求める過程が分かるように,途中の式や計算なども書け。






















問3 右の図4は,図1において,点 A を通り,傾きが曲線fの式における比例定数aと等しい直線をlとし,点 B から直線lに引いた垂線と直線lとの交点を G とし,点 B と点 G を結んだ場合を表している。点Aのx座標が-√7,△ABG の面積が7 cm2のとき,aの値を求めよ。

































































【解答例】
問1(7点)
正方形の対角線なので,BDの傾きは-1
B(1,1/2)だから,求める式は,
y-1/2=-(x-1) y=-x+3/2
問2(10点)
A(-1,a) B(1,a) E(3,9a)と表せる。
直線OBの傾きは,aとなるから,点Eを通り直線OBに平行な直線の式は,y-9a=a(x-3) y=ax+6a
G(0,6a)とすると,△OBE=△OBG(等積変形)だから,△OBE=△OBG=1/2×6a×1=3a
△ABFにおいて,ABを底辺とした高さをhとすると,
1/2×2×h=3a h=3a
したがって,Fのy座標はa+3a=4aとなる。
y=ax^2 に代入し,4a=ax^2 a≠0,x<0だから,
x=-2
Fのx座標は-2
問3(8点)

GからABに垂線を下ろし交点をHとする。
(解法1)
直線AGの傾きがaであることから,
GH/AH=a
AB=2√7 cmで,ABを底辺としたとき,△ABGの高さは,√7 cmであるから,GH=√7なので,
AH=√7/a⋯①
次に,BG⊥AGだから,BGの傾きは-1/a となる。
GH/BH=√7/BH=1/a BH=√7 a⋯② 
よって,
AH+BH=√7/a+√7 a=2√7
1+a^2=2a この方程式を解いて,a=1
(解法2)
AB=2√7 cmで,ABを底辺としたとき,△ABGの高さは,√7 cmである。
AH=tとすると,△AHG∽△GHBだから,
AH:GH=HG:HB
t:√7=√7:(2√7-t) これを解いて,t=√7
a=GH/AH=√7/√7=1

【コメント1】
 都立西では簡単な方でしょうか。しかし,シンプルな図ですが,文字がたくさん出てきて,中学生を混乱させるには十分です。まあ,解いてみるとそこまで混乱する必要はないのですが,
 実は問3は,2012年埼玉県高校入試で同じ問題が出題されています。首都圏だったら,解いたことあるかも?ちなみに,昔このサイト
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-34.html
で悪問認定しています。私の感性が変わったのでしょう。「曲線の比例定数aと同じにする」は何も問題ありません(笑)。
埼玉県のは思い切り配点ミスる,しかも最初の問題でしたが,都立西は最後の問題においているし,配点もちょうど良いので,ノープロブレム。
 今回は図がシンプルなので採用。

【コメント2】
 都立西受験生なら,
傾きaで,点(p, q)を通る直線の式は,
y-q=a(x-p)
というのは,当たり前に知っているのでしょうか……。
問2で当たり前のように使っています。知らなかったら,y=ax+bとして,E(3, 9a)を代入し,bをaで表しましょう。そんなに難しくない。

【コメント3】
 問3適当にa=1て書いて当たった受験生多そう。



comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

関数で回転移動(2017年度国立高専)

2019/12/27

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初,高等専門学校の問題を紹介します。札幌では中学生の進路にはなりづらいのですが,函館高専や苫小牧高専がある地域では,進路の一つとなります。優秀な学生多いですよね。とにかくPCに強い強い,うらやましい。


入試過去問は,ここで紹介されています。どんな入試でも対策できそうな良い問題があったので,紹介します。

関数に回転移動を絡めた問題です。まあ回転移動の知識はほとんど使わず(?),計算ごり押しで解けます。
回転と聞くと,複素数平面などを使いたくなりますが,使わなくて大丈夫です。


第17回芸術的な難問高校入試
「関数で回転移動」
出典:2017年度 高専 過去問 範囲:関数,三平方の定理 
難易度:★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1VQTifEGIolyZE0uJTnuO0Stk8Hyx47na

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

<検索用コード>

芸術的な高校入試第17回
出典:2017年度 国立高等専門学校
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:15点/100点
 下の図のように,関数y=1/4 x^2のグラフ上に2点A,Bがある。A,Bのx座標をそれぞれ-6,4であるとき,次の各問いに答えなさい。

(1)直線ABの式を求めなさい。
(2)△AOBの面積を求めなさい。
(3)△AOBを原点Oを回転の中心として,時計の針の回転と同じ向きに,点Bが初めてx軸上にくるまで回転移動させる。この移動によって,点BがB’に,点AがA’にきたとき,A’の座標を求めなさい。
























































【解答例】
(1)(5点)
A(-6, 9),B(4, 4)である。
傾き 5/(-10)=-1/2,(4,4) を通るから,
y=-1/2 (x-4)+4 ,すなわちy=-1/2 x+6

(2)(4点)
ABとy軸との交点C(0, 6)とすると,
△OAB=△OCA+△OCB
=1/2×6×6+1/2×6×4=30

(3)(3点×2)
OB=OB’=4√2なので,△A’OB’において,A’からx軸に下ろした垂線の長さhは,
(4√2 h)/2=30 h=(15√2)/2 A^' のy座標は (15√2)/2
OA=OA'=√(36+81)=3√13 なので,A^' のx座標をt
とすると,
t^2+225/2=117 t^2=9/2 t>0より,t=(3√2)/2
A^' ((3√2)/2,(15√2)/2)



【コメント】
 (1),(2)は確実に解かなくてはならない問題です。(3)が実に面白い問題です。回転移動で,さらに∠BOB’=45°なので,この45°を利用したくなりますが,利用しないで解けます。解法を見ると「何だそれだけ」となりますが,思いつけるかどうか。




comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

いたって普通の関数正方形の難問(2015年度日比谷高校)

2019/12/21

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関数の問題に,平面図形の知識を融合させた問題は多くありますが,正方形は計算難の問題になることが多いです。

今回の問題は,日比谷高校の過去問。いたって普通の計算が大変な難問です。何を計算すればよいのか,判断が必要になります。

hibiyaseihou.jpg

第15回芸術的な難問高校入試 「正方形関数難問」
難易度:★★★★★☆美しさ:★★★☆☆☆
【出典】2015年度 東京都立 日比谷高校 過去問
URL:http://www.hibiya-h.metro.tokyo.jp/SelectedEntrants/TestTheme.html
※3年分しかないので,購入するしかありません。

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=18t5h5FtQosubSxCcE6cnfnoJI69Sr9RV

<検索用コード>

芸術的な高校入試第16回
出典:2015年度 都立 日比谷高校
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★☆☆☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点

曲線fはy=ax^2のグラフである。2点A,Dはx軸上にあり,点Aのx座標は6,点Dのx座標はt(0<t<6)である。四角形ABCDと四角形CEFGはそれぞれ正方形で,辺FGはy軸上,点Cのy座標は正の数で,点Eのy座標は点Cのy座標より大きい。曲線fが点Cを通るとき,次の問いに答えなさい。

問1 正方形ABCDと正方形CEFGの面積が等しいとき,aの値を求めなさい。

問2 a=1のとき,直線BEの式を求めなさい。途中計算も書きなさい。

問3 曲線f上にある点をHとし,点Fと点Hを結んでできる線分FHの中点が点Eに一致したとき,     点Hの座標を求めなさい。

















































【解答例】
問1(7点)
点Aのx座標は6なので,各々の正方形の一辺の長さ  は,3である。よって,C(3, 3)なので,
3=9a a=1/3

問2(10点)
a=1のとき,C(t,〖 t〗^2 )
正方形ABCDは正方形だから,AD=6-t,CD=t^2と表せるので,
6-t=t^2 t^2+t-6=0 (t+3)(t-2)=0
t>0だから,t=2 C(2, 4)
よって,E(2, 6),B(6, 4)
この2点を通る直線は,
傾き (6-2)/(4-6)=-1/2,(2,6)を通るから切片7
y=-1/2 x+7

問3(8点)
E(t,〖at〗^2+t),F(0,〖at〗^2+t)と表せる。Hのy座標も,〖at〗^2+tである。
FHの中点がEなので,Hのx座標は2tと表せるから,
at^2+t=4at^2
3at^2-t=0 t(3at-1)=0
t>0より,t=1/3a
正方形ABCDにおいて,
6-1/3a=〖a(1/3a)〗^2=1/9a
4/9a=6 54a=6 a=2/27
t=1/3×27/2=9/2
よって,Hのx座標は2倍して9,y座標は,
81×2/27=6 H(9,6)




【コメント】
 いたって普通の難問ですが,正方形の扱いの良い練習となります。
 問2までは誰でも解けてほしいかも。



その他の芸術的な難問高校入試
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comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ

台形と文字式関数

2019/12/21

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久しぶりにオリジナル問題を投下します。

関数において,文字がたくさん出てくると,内容が簡単でも一気に正答率が下がって面白いですよね。文字式に慣れていない中学生は多いです。

文字式を扱う練習として作った関数の問題を紹介します。

問1は例の公式の証明となっています。塾では暗記させられるやつです。計算できない子用に,意地でも3点は取らせるための公式。賛否両論ありますが,得点とらせないといけませんからね。

台形と例の公式
難易度:★★★☆☆
【出典】オリジナル 【範囲】中3関数

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1n5C3ftqBbrkWJlCDehuA6HCtmb_v4QmI

<検索用コード>

2次関数y=cx^2⋯①と1次関数y=dx+e⋯②のグ
ラフがあります。(c>0,d>0)①と②の交点を,点A,点Bとし,A,Bのx座標をa,b(a>b>0)とします。また,y軸上にAD//BC,∠BCD=90° となるよう,C,Dをとります。

問1 直線②の傾きdを,a,b,cを用いて表しなさい。
問2 台形ABCDの面積をa,b,cを用いて表しなさい。
問3 台形ABCDの面積が25/2,c=1,d=5のとき,a,b,eの値を求めなさい。






















































台形と例の公式 解答例
範囲:中3関数 難易度:★★★☆☆
問1(3点)
傾き,変化の割合の定義は,yの増加量/xの増加量 であるから,
d=〖〖ca〗^2-cb〗^2/(a-b)=c(a+b)(a-b)/(a-b)=c(a+b)

問2(3点)
CD=c(a^2-b^2),AD=a,BC=bなので,台形の面積は,
1/2×(a+b)×c(a^2-b^2 )=1/2 c(a+b)(a^2-b^2)

問3(4点)
問1~2,条件より,連立方程式
{█(a+b=5            @(a+b)(a^2-b^2 )=(a+b)^2 (a-b)=25)┤
ができる。
a+b=5を下の式に代入して,a-b=1 これを解くと,a=3,b=2 このとき,e=-6





















【コメント】
文字式になると,「うっ……」となりますが,聞かれていることはとっても単純。
文字式をそのまま扱うことに苦手意識を感じている中学生は多いので,1回演習しておきたい問題。





comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ