シンプルな半円(オリジナル)

2020/04/28

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久々にプリントを更新します。めちゃくちゃ(?)難しい証明です。

一見中3円周角を使う証明のように見えますが,使っても使わなくでも証明できます(中2終了後でも頑張れば証明できる)。
問1は三平方必要ですが......。

昨年度の北海道高校入試予想問題用に作成した問題です。生徒に言われて別解に気づきました。まだまだ勉強不足。

自分で「芸術的」て言っちゃうほどには好きな問題です。

第20回芸術的な難問高校入試
「シンプルな半円」
出典:オリジナル
範囲:相似,三平方の定理など 
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:??????

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1qjv28CuPBLmGdvhM1JvI2dEGdtFuD0T_

<検索用コード>

芸術的な高校入試第20回
出典:オリジナル
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:??????
総試験時間:??? 配点:???
下の図のように,点Oを中心,線分ABを直径とする半円があります。∠AOCと∠BODが鋭角となるように,半円の弧上に点C,Dを取り,直線ACと直線BDとの交点をEとします。
次の問いに答えなさい。

問1 OA=4 cm,CD=6 cmのとき,△OCDの面積を求めなさい。



問2 AB//CDのとき,△EABが二等辺三角形であることを証明しなさい。























































【解答例】
問1(3点)
点OからCDに垂線OHを下ろす。
△OCDは二等辺三角形なので,
OC=4 cm,CH=3 cmより,OH=√(16-9)=√7 cm
△ABE=1/2×6×√7=3√7 〖cm〗^2

問2(5点)
△OACと△OBDにおいて,
仮定より,OA=OC=OD=OB…①
①より,二等辺三角形の底角は等しいから,
∠OCD=∠ODC…②
CD//ABより平行線の錯角は等しいから,
∠OCD=∠AOC…③
∠ODC=∠BOD…④
②,③,④より,∠AOC=∠BOD…⑤
①,⑤より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから,△OAC≡△OBD…⑥
したがって,∠OAC=∠OBD(∠EAB=∠EBA)より,2つの角が等しいから,△EABは二等辺三角形…⑦
①,②,⑤,⑥,⑦→各1点 
【↓別解】
AB//CDより,平行線の錯角は等しいから,
∠BAD=∠ADC,∠ABC=∠BCD …①
⏜BD,⏜ACに対する円周角だから,
∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC …②
①,②より,∠BAD=∠ABC…③
⏜CDに対する円周角だから,∠CAD=∠CBD…④
また,∠EAB=∠BAD+∠CAD
   ∠EBA=∠ABC+∠CBD
なので,∠EAB=∠EBAとなるから,2つの角が等しいので,△EABは二等辺三角形…⑤
①,②,③,④,⑤→各1点







【コメント】
 昨年度の北海道高校入試用に作成した問題です。自分で作ったくせに自分で「芸術的」とか言っちゃうあたりダメだと思います。
 当初証明の模範解答を【解答例1】しか想定していなかったのですが,私の明らかな勉強不足です,実際は【別解】がスマートな解答というか,一般的な解答でしょう。生徒が【別解】で解いてくれて気づきました。
 この問題は一見シンプルそうに見える,問題文が短いところが気に入っています。北海道の高校入試の証明は簡単そうに見えますからね。シンプルな問題ほど注意です。

【プリント作成】芸術的な難問・良問数学
http:/hokkaimath.blog.fc2.com/






comment (-) @ 平面(証明メイン)

例の感染症

2020/04/21

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1,生存報告

FC2ブログは1か月更新しないと余計な広告がつくので,とりあえず更新しておきます。

例の感染症,思ったより長引きますね。マスクも高騰。

私,生徒に個別指導するとき,普段から必ずマスク付けるのですね。(唾,口臭対策)

マスクのストック無くなる前にはおさまってほしい......。

2,コロナの良いこと

コロナは悪いことばかりですが,良いこともあるようで。



Twitterで遊んでいたら見つけました。なるほどね。

ゆたぼんじゃないですが,学校の環境が合わない子が,オンライン学習では元気とかあるそうです。

普段からそういう制度あればいいのに......。

後,塾,家庭教師業界は,中学校が休みだと,生徒の成績を「塾などを利用していない人に比べて」上げることが容易になりますね。

小学生中学生,自習しろと言いますが,大抵の子は無理でしょう。

(まあこの業界は生徒の成績より売上ですが......。)


3,証明しようぜ

高校受験生は,休校中はぜひこのサイトを利用して......と言いたいところですが,この時期には難しいプリントばかりですね。

ただ簡単なのもあります。

・中2証明 レベル3~4


・中2関数 レベル2~3


道コン対策にもいいです。問題数は少ないですが,少し勉強得意な中学生はぜひチャレンジ。

では今日はこの辺で。


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