シンプルな図だが補助線(2010年度:都立新宿高校)

2019/07/24

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与えられた図は非常にシンプルですが......?
条件の与え方がわざとらしいことに着目出来れば勝ちです。

芸術的な高校入試第4回
出典:2010年度 東京都立 新宿高校 大問3
難易度:★★★★★★+ 美しさ:★★★★★★
総試験時間:50分 配点:23点/100点
 下の図のように,AB<DC,∠ABC=∠BCD=90°の台形があります。∠BADの二等分線が,線分BCと交わるとき,交点をPとします。次の問いに答えなさい。
124.png
問1 AB+DC=ADとします。
(1)点Pは辺BCの中点であることを証明しなさい。
(2)AB=4 cm,DC=9 cmのとき,線分APの長さを求めなさい。
問2 点Pから辺ADに平行な直線を引き,辺DCとの交点をQとします。
(1)点Qを,定規とコンパスを用いて作図しなさい。ただし,作図に用いた線は消さないでおくこと。
(2)AB=4 cm,DC=9 cm,BP:PC=2:3のとき,線分CQの長さを求めなさい。

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【コメント1】
 基本的に都立入試の証明は,図の複雑さで難易度を上げています。ただ,複雑な方が,証明しやすかったりします。
 図が単純だと要注意です。これは問1(1),問2(1)が出来れば,他も簡単ですが,逆に言えばこれらが出来なかったら厳しい戦いを強いられます。
 AB+DC=ADという条件がわざとらしいですが,何となくAB,DCを半径とする円が見えなくも……?

【解答例】
問1
2226.png
(1)(8点)
点Pから辺ADに垂線を下ろし交点をHとする。
△ABPと△AHPにおいて,
仮定より,
∠ABP=∠AHP=90°…①
∠BAP=∠HAP…②
共通な辺だから,AP=AP…③
①~③より,直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいから,△ABP≡△AHP
したがって,BP=HP…④,AB=AH
△DHPと△DCPにおいて,
AD=AB+DC=AH+DHより,
DH=DC…⑤
仮定より,∠DHP=∠DCP=90°…⑥
共通な辺だから,DP=DP…⑦
⑤,⑥,⑦より直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから△DHP≡△DCP
したがって,HP=CP…⑧
④,⑧より,BP=CPだから,点Pは,辺BCの中点となる。(証明終わり)

※都立新宿が公表している解答とは別の解答を掲載しています。

(2)(5点)
AP=xとする。
∠APB=∠APH=a°,∠DPH=∠DCP=b°とすると,
2a+2b=180°より,a+b=90°したがって,△APD∽△ABPであるから,
x:4=13:x x2=52 x=2√13 2√13 cm

問2
(1)(5点)
Screenshot_20190724-204728.png

AD//PQをどうにかして使えないか考える。平行線と線分の比を使いやすくするために,AP,DCを延長し,交点をIとする。∠BAP=∠DAP,∠BAP=∠QIP,∠DAP=∠QPIだから,∠QIP=∠QPIとなり,△QPIは二等辺三角形となる。よって,PIの垂直二等分線を引けばQが求まる。
(実は,問1(1)の本来の模範解答は,Iを作るというものだった。)

(2)(5点)
△ABP∽△ICP,相似比2:3より,CI=6 cm
DC=9 cmより,DI=15 cm
AP:IP=2:3だから,平行線と線分の比より,DQ:QI=2:3となるので,DQ=6 cm,QI=9 cm
QC=QI-CI=3 cm

【コメント2】
 シンプルな図ですが結構良い難易度していますね。(1)さえ解ければ(2)は余裕です。先に(2)を解こうとして「どう補助線を引こうかな?」と考えたら,逆に(1)が解けるかもしれません。

PDF(DLは右上のボタンです)

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/15Vd3k6i3cR3qXVeQCoC-mWQkslsJk_d6/view

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