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2013年度　裁量問題　数学　解説

2019/11/17

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2013年度は，裁量問題の中にも露骨に易しい問題が出てきました。（正答率90％越え）

反面，正答率0.5％など，狂った問題も存在。

要はバランスが少し？です。ここまで極端なのは次年度からは無くなりました。（2016年度を除く。）

再び露骨に易しい問題が出題されるのは，2019年度......。

TITLE：2013年度　裁量問題　数学　解説
出題分野：2次方程式応用，回転体，関数，三平方の定理，相似
出典：平成25年度　北海道　公立高校入試　過去問
URL：http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=18R_IpCt8Wv0XrjZA14fmZaia_qrzq5Il

＜検索用コード＞

ます。
　　　BDの長さをx cmとして，次の（1）（2）に答えなさい。
（1）長方形ABDEの面積を，xを使った式で表しなさい。
（2）ABとBDの長さの和がACの長さに等しくなるとき，BDの長さは何cmになりますか。方程式を作り，求めなさい。

問2　下の図のように，2つの関数y＝－x＋6……①，y＝x＋2……②のグラフがあります。②のグラフとy軸との交点をA，①と②のグラフの交点をBとします。点Oは原点とします。次の（1）（2）に答えなさい。
（1）点Bの座標を求めなさい。
（2）①のグラフ上に点Pをとり，点Pのx座標をtとします。∠BAP＝60°のとき，tの値を求めなさい。ただし，t＞0とします。
　　①　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

問3　図1のように，AB＝16 cm，BC＝12 cm，∠ABC＝90°の△ABCがあります。次の（1）（2）に答えなさい。　　　　　　　　図1
（1）△ABCを，辺ABを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率はπを用いなさい。
（2）図2は，図1の△ABCにそれと相似な△DBEを重ねたものです。点Dは辺BCの延長上に，点Eは辺AB上にあります。辺ACと辺DEの交点をFとします。
　　　DF＝20 cmのとき，△FAEと△FDCの面積の比を，もっとも簡単な整数の比で求めなさい。
図2

【解答例】　　　　　　　　　　　　配点21点/60点
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問1
（1）（2点）正答率90.5％
x(x+6) cm^2
（2）（4点）正答率25.3％
AC=√((x+6)^2+(x+4)^2 )
AB+BD=(x+6)+x=2x+6
方程式を大真面目に書くと，
√((x+6)^2+(x+4)^2 )=(x+6)+x
なんだけど，両辺を2乗した，
(x+6)^2+(x+4)^2=4x^2+24x+36
と書いてもいいかな，どれか書けばいいと思います。
【方程式　2点】
（計算式）
整理して，
x^2+2x-8=0　【因数分解の1歩手前　1点】
(x+4)(x-2)=0　x>0だから，x=2
2 cm
【コメント】
　どれも簡単ですね。（1）はナメています。
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問2
（1）（3点）正答率93.2％
B（2, 4）
（2）（4点）正答率6.3％
傾きの積が－1なので，直線①と直線②は垂直に交わっている。

A（0, 2）だから，
AB=√(2^2+2^2 )=2√2なので，AP=4√2である。
P（t, －t＋6）と置くと，
t^2+(t-4)^2=32　2t^2-8t-16=0
t^2-4t-8=0　(t-2)^2=12　t>0より
t=2+2√3
【コメント】
　傾きの積－1のとき，90°で交わるというのは，常識で知っておけというのが分かるこの問題。知らない場合は……？
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問3
（1）（3点）正答率74.8％
768π cm^3　π忘れずに！
（2）（5点）正答率0.5％
DF＝20 cmという条件の与え方が，あまりにもわざとらしい。

Fから，BDに垂線FGを下ろす。
三平方の定理より，AC=√(256+144)=20 cmとなるから，△ABC≡△DGFなので，FG＝12 cm
FからABに垂線FHを下ろす。すると，四角形BGFHは長方形になるから，AH＝16－12＝4 cm
△AHF∽△ABCより，HF＝3 cm
△FAE∽△FDCだから，AE，DCを底辺としたときの高さの比が相似比となる。相似比3：12＝1：4なので，面積比は，1：16
【コメント】
　（2）はACの長さが出せれば万々歳かしら。それで1点もらえます。上記は発表されている解答とは異なる解法なのですが，部分点はどうなることやら。
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　裁量問題の中に，露骨に説きやすい問題を入れてきました。ただ，ここまで露骨なのは，2019年度までおあずけです。2019年度はすべて易しい……。三平方の定理が盛りだくさんなので，この分野苦手な人にはきついかもしれません。

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