2013年度 裁量問題 数学 解説

2019/11/17

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2013年度は,裁量問題の中にも露骨に易しい問題が出てきました。(正答率90%越え)

反面,正答率0.5%など,狂った問題も存在。

要はバランスが少し?です。ここまで極端なのは次年度からは無くなりました。(2016年度を除く。)

再び露骨に易しい問題が出題されるのは,2019年度......。

TITLE:2013年度 裁量問題 数学 解説

出題分野:2次方程式応用,回転体,関数,三平方の定理,相似
出典:平成25年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=18R_IpCt8Wv0XrjZA14fmZaia_qrzq5Il

<検索用コード>

ます。
   BDの長さをx cmとして,次の(1)(2)に答えなさい。
(1)長方形ABDEの面積を,xを使った式で表しなさい。
(2)ABとBDの長さの和がACの長さに等しくなるとき,BDの長さは何cmになりますか。方程式を作り,求めなさい。

問2 下の図のように,2つの関数y=-x+6……①,y=x+2……②のグラフがあります。②のグラフとy軸との交点をA,①と②のグラフの交点をBとします。点Oは原点とします。次の(1)(2)に答えなさい。
(1)点Bの座標を求めなさい。
(2)①のグラフ上に点Pをとり,点Pのx座標をtとします。∠BAP=60°のとき,tの値を求めなさい。ただし,t>0とします。
  ①                  ②

問3 図1のように,AB=16 cm,BC=12 cm,∠ABC=90°の△ABCがあります。次の(1)(2)に答えなさい。        図1
(1)△ABCを,辺ABを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし,円周率はπを用いなさい。
(2)図2は,図1の△ABCにそれと相似な△DBEを重ねたものです。点Dは辺BCの延長上に,点Eは辺AB上にあります。辺ACと辺DEの交点をFとします。
   DF=20 cmのとき,△FAEと△FDCの面積の比を,もっとも簡単な整数の比で求めなさい。
図2



















【解答例】            配点21点/60点
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問1
(1)(2点)正答率90.5%
x(x+6) cm^2
(2)(4点)正答率25.3%
AC=√((x+6)^2+(x+4)^2 )
AB+BD=(x+6)+x=2x+6
方程式を大真面目に書くと,
√((x+6)^2+(x+4)^2 )=(x+6)+x
なんだけど,両辺を2乗した,
(x+6)^2+(x+4)^2=4x^2+24x+36
と書いてもいいかな,どれか書けばいいと思います。
【方程式 2点】
(計算式)
整理して,
x^2+2x-8=0 【因数分解の1歩手前 1点】
(x+4)(x-2)=0 x>0だから,x=2
2 cm
【コメント】
 どれも簡単ですね。(1)はナメています。
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問2
(1)(3点)正答率93.2%
B(2, 4)
(2)(4点)正答率6.3%
傾きの積が-1なので,直線①と直線②は垂直に交わっている。

A(0, 2)だから,
AB=√(2^2+2^2 )=2√2なので,AP=4√2である。
P(t, -t+6)と置くと,
t^2+(t-4)^2=32 2t^2-8t-16=0
t^2-4t-8=0 (t-2)^2=12 t>0より
t=2+2√3
【コメント】
 傾きの積-1のとき,90°で交わるというのは,常識で知っておけというのが分かるこの問題。知らない場合は……?
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問3
(1)(3点)正答率74.8%
768π cm^3 π忘れずに!
(2)(5点)正答率0.5%
DF=20 cmという条件の与え方が,あまりにもわざとらしい。

Fから,BDに垂線FGを下ろす。
三平方の定理より,AC=√(256+144)=20 cmとなるから,△ABC≡△DGFなので,FG=12 cm
FからABに垂線FHを下ろす。すると,四角形BGFHは長方形になるから,AH=16-12=4 cm
△AHF∽△ABCより,HF=3 cm
△FAE∽△FDCだから,AE,DCを底辺としたときの高さの比が相似比となる。相似比3:12=1:4なので,面積比は,1:16
【コメント】
 (2)はACの長さが出せれば万々歳かしら。それで1点もらえます。上記は発表されている解答とは異なる解法なのですが,部分点はどうなることやら。
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 裁量問題の中に,露骨に説きやすい問題を入れてきました。ただ,ここまで露骨なのは,2019年度までおあずけです。2019年度はすべて易しい……。三平方の定理が盛りだくさんなので,この分野苦手な人にはきついかもしれません。

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