例外最短距離【2016年度:都立日比谷高校】

2019/07/27

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シンプルな図ながら,結構長い計算を要求されます。しかし,答え,計算過程は非常にキレイです。解いていて気持ちよいです。上手くいけば。

芸術的な高校入試第6回
出典:2016年度 都立日比谷高校

難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
下の図に示した立体A-BCDは,AB=6 cm,BC=8 cm,CD=6 cm,BD=10 cm,∠ABC=∠ABD=90°の三角錐である。立体EFG-BHIは,点E,点F,点G,点H,点Iが,それぞれ辺AB,AC,AD,BC,BD上にある三角柱である。AE=x cmとする。次の問いに答えなさい。
Screenshot_20190727-160138.png
問1 立体A-BCDの表面積を求めなさい。
問2 立体A-EFGの体積をVcm3,立体FG-HCDIの体積をW cm3とする。V:W=1:2のとき,xの値を求めなさい。
問3 以下の図は,x=3のとき,線分GI上にある点をP,辺CD上にある点をQとしたものである。EP+PQが最も短くなるとき,EP+PQの長さを求めなさい。
Screenshot_20190727-160459.png


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【コメント1】
 この問題もシンプルな図ながら長い計算を要求されますが,条件の与え方が丁度良く,気持ちよく計算できます。ただ高校受験の中学生に解かせる問題か?とは思いますが(問2)。

【解答例】
問1(7点)
△ABC=1/2*8*6=24 △ABD=1/2*10*6=30
△BCDで,BC^2+CD^2=BD^2 だから,
△BCD=1/2*6*8=24
AC=√(36+64)=10 AD=√(36+100)=2√34
AC^2+CD^2=136=AD^2 より△ACD=1/2*6*10=30
表面積は,24+30+24+30=108 cm^2

問2(10点)
AE=xのとき,AB:AE=6:x,△ABC∽△AEFだか
ら,BC:EF=8:EF=6:xより,EF=4/3 x
FG=6/8 EF=x
V=1/3*1/2*4/3 x*x*x=2/9 x^3
立体EFG-BHIの体積は,
1/2*4/3 x*x*(6-x)=2/3 x^2 (6-x)
立体A-BCDの体積は,
1/3*24*6=48 よって,
W=48-2/9 x^3-2/3 x^2 (6-x)=4/9 x^3-4x^2+48
V:W=1:2だから,4/9 x^3=4/9 x^3-4x^2+48
4x^2=48 x^2=12 x>0より,x=2√3

問3(8点)
最も短くなるのは,E,P,Qが一直線上に来たとき……ではなく,PQが最も短くなるのは,IQ⊥CDとなるときである。よって,まずE,P,Qを一直線に並べ,その後に,QをIQ⊥CDとなる位置に,△PEG∽△PQIを維持しながら,動かせば,最短距離となる。
x¬=3だから,F,G,H,Iは中点となっているので
IQ=1/2 BC=4  EG=1/2 BD=5
GP=yとすると,PI=3-y
△PEG∽△PQIだから,
5:4=y:(3-y) 4y=15-5y 9y=15 y=5/3
EP=√(25+y^2 )=√(225/9+25/9)=(5√10)/3
3-y=3-5/3=4/3 なので,
PQ=√(16+16/9)=√(144/9+16/9)=(4√10)/3
最小値=(9√10)/3=3√10 cm

【コメント2】
いくら日比谷高校だからと言って,問3解けた人いるんでしょうか。最短距離は直線!だけではないことを教えてくれる問題です
日比谷って,図形的知識より計算頑張る人が欲しいのね。見てよく分かります。高校なったらこういう問題ばっかりです。

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