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例外最短距離【2016年度：都立日比谷高校】

2019/07/27

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シンプルな図ながら，結構長い計算を要求されます。しかし，答え，計算過程は非常にキレイです。解いていて気持ちよいです。上手くいけば。

芸術的な高校入試第6回
出典：2016年度　都立日比谷高校
難易度：★★★★★☆ 美しさ：★★★★★☆
総試験時間：50分配点：25点/100点
下の図に示した立体A-BCDは，AB＝6 cm，BC＝8 cm，CD＝6 cm，BD=10 cm，∠ABC＝∠ABD＝90°の三角錐である。立体EFG-BHIは，点E，点F，点G，点H，点Iが，それぞれ辺AB，AC，AD，BC，BD上にある三角柱である。AE＝x cmとする。次の問いに答えなさい。

問1　立体A-BCDの表面積を求めなさい。
問2　立体A-EFGの体積をVcm3，立体FG-HCDIの体積をW cm3とする。V：W＝1：2のとき，xの値を求めなさい。
問3　以下の図は，x＝3のとき，線分GI上にある点をP，辺CD上にある点をQとしたものである。EP+PQが最も短くなるとき，EP+PQの長さを求めなさい。

↓解答解説などは続きから

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【コメント1】
　この問題もシンプルな図ながら長い計算を要求されますが，条件の与え方が丁度良く，気持ちよく計算できます。ただ高校受験の中学生に解かせる問題か？とは思いますが（問2）。

【解答例】
問1（7点）
△ABC＝1/2*8*6=24　△ABD=1/2*10*6=30
△BCDで，BC^2+CD^2=BD^2 だから，
△BCD=1/2*6*8=24
AC=√(36+64)=10　AD=√(36+100)=2√34
AC^2+CD^2=136=AD^2 より△ACD=1/2*6*10=30
表面積は，24+30+24+30=108 cm^2

問2（10点）
AE=xのとき，AB:AE=6:x，△ABC∽△AEFだか
ら，BC:EF=8:EF=6:xより，EF=4/3 x
FG=6/8 EF=x
V=1/3*1/2*4/3 x*x*x=2/9 x^3
立体EFG-BHIの体積は，
1/2*4/3 x*x*(6-x)=2/3 x^2 (6-x)
立体A-BCDの体積は，
1/3*24*6=48　よって，
W=48-2/9 x^3-2/3 x^2 (6-x)=4/9 x^3-4x^2+48
V:W=1:2だから，4/9 x^3=4/9 x^3-4x^2+48
4x^2=48　x^2=12　x>0より，x=2√3

問3（8点）
最も短くなるのは，E，P，Qが一直線上に来たとき……ではなく，PQが最も短くなるのは，IQ⊥CDとなるときである。よって，まずE，P，Qを一直線に並べ，その後に，QをIQ⊥CDとなる位置に，△PEG∽△PQIを維持しながら，動かせば，最短距離となる。
x¬=3だから，F，G，H，Iは中点となっているので
IQ=1/2 BC=4　　EG=1/2 BD=5
GP=yとすると，PI=3-y
△PEG∽△PQIだから，
5:4=y:(3-y)　4y=15-5y　9y=15　y=5/3
EP=√(25+y^2 )=√(225/9+25/9)=(5√10)/3
3-y=3-5/3=4/3　なので，
PQ=√(16+16/9)=√(144/9+16/9)=(4√10)/3
最小値=(9√10)/3=3√10 cm

【コメント2】
いくら日比谷高校だからと言って，問3解けた人いるんでしょうか。最短距離は直線！だけではないことを教えてくれる問題です
日比谷って，図形的知識より計算頑張る人が欲しいのね。見てよく分かります。高校なったらこういう問題ばっかりです。

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