※メアド入力されていたので，管理人の方でコメントし直させていただきました。

こんにちは。Muglythと申します。2014年に高校受験をした身で、数学が好きで受験生時代には色んな高校の入試問題を手あたり次第解いていたのですが、こんな問題があったとは知らず興味深く読ませていただきました。
私なりに出題者の想定解法および出題意図を考えてみました。5カ月も前の記事ですので既出でしたら申し訳ありません。

MからCDに降ろした垂線の足をHとし、ＭＮ＝x、NH＝yとおく。
すると三角形ＭＮＨにおいて、三平方の定理より
MH^2 + y^2 = x^2 ・・・⓵
ここで、「Hが線分ＣＮ上にあるとする」と三角形ＭＣＨと三角形ＭＤＨにおいて
MH^2 + (2 - y)^2 =MC^2 ・・・②
MH^2 + (2 + y)^2 = MD^2 ・・・③
②と③の辺々足して
2MH^2 + 2y^2 + 4 = MC^2 + MD^2 ・・・④
④から⓵の辺々を2倍したものを引くと
4 ＝ MC^2 + MD^2 -x^2 ・・・⑤
つまりx^2 = 140

⑤で結果的に出てくる式は中線定理そのものですが、MC^2 + MD^2 を求めよという問題を作れそうな図形を出してきたうえで(2)でわざわざMC^2 + MD^2 を求めさせていることから推察するに、
「Ｈの位置関係が分からないから ②で(2 - y)が(y-2)に変わったりするけど、どうせ2乗するから値としては変わらないよね。それに場合分けによっては②や③の式でＭＣとＭＤが入れ替わったりもするけど、（(2)で求めたMC^2 + MD^2を使える形を作り出すために）②と③の２式を足し合わせてみたら煩雑な場合分けをひとまとめに考えられたことになるってことに気付いてね」という出題者からのパズル的挑戦だったのではないでしょうか。

（そして回答者はyを消去するために式を足し引きするパズルをしているだけの感覚なので自分が中線定理を導出していることに気付かない）

コメントを貰ったので，考えてみました。

出題意図はそうかもしれませんね。解答例では場合分けしていますが，Hの位置がどうであろうが（Hが線分CD上にあろうが外にあろうが），結局足し合わせると同じですね。

ただ，4点M，C，D,Nが同一直線上にある場合はその解き方できない（結局中線定理は成り立つのですが），私としては，そのような出題意図だったとしたらちょっと嫌ですね。

どちらにせよ，中線定理を知っているか知らないかで差がつきすぎるので，あまり好きな問題ではありません。

> こんにちは。Muglythと申します。2014年に高校受験をした身で、数学が好きで受験生時代には色んな高校の入試問題を手あたり次第解いていたのですが、こんな問題があったとは知らず興味深く読ませていただきました。
> 私なりに出題者の想定解法および出題意図を考えてみました。5カ月も前の記事ですので既出でしたら申し訳ありません。
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> MからCDに降ろした垂線の足をHとし、ＭＮ＝x、NH＝yとおく。
> すると三角形ＭＮＨにおいて、三平方の定理より
> MH^2 + y^2 = x^2 ・・・⓵
> ここで、「Hが線分ＣＮ上にあるとする」と三角形ＭＣＨと三角形ＭＤＨにおいて
> MH^2 + (2 - y)^2 =MC^2 ・・・②
> MH^2 + (2 + y)^2 = MD^2 ・・・③
> ②と③の辺々足して
> 2MH^2 + 2y^2 + 4 = MC^2 + MD^2 ・・・④
> ④から⓵の辺々を2倍したものを引くと
> 4 ＝ MC^2 + MD^2 -x^2 ・・・⑤
> つまりx^2 = 140
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> ⑤で結果的に出てくる式は中線定理そのものですが、MC^2 + MD^2 を求めよという問題を作れそうな図形を出してきたうえで(2)でわざわざMC^2 + MD^2 を求めさせていることから推察するに、
> 「Ｈの位置関係が分からないから ②で(2 - y)が(y-2)に変わったりするけど、どうせ2乗するから値としては変わらないよね。それに場合分けによっては②や③の式でＭＣとＭＤが入れ替わったりもするけど、（(2)で求めたMC^2 + MD^2を使える形を作り出すために）②と③の２式を足し合わせてみたら煩雑な場合分けをひとまとめに考えられたことになるってことに気付いてね」という出題者からのパズル的挑戦だったのではないでしょうか。
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> （そして回答者はyを消去するために式を足し引きするパズルをしているだけの感覚なので自分が中線定理を導出していることに気付かない）