60°と補助線（2015年度長野県）高校入試　数学　良問・難問

60°と補助線（2015年度長野県）

2019/12/15

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正三角形と円周角，60°と補助線など，平面図形の応用要素がたくさん詰まった，一度は解いておきたい問題です。

応用ですが，誘導が丁寧になされており，無理なく解けます（たぶん）

ただ，長野県の証明の採点基準は気に食わないかも笑

この記事で紹介した問題のプリントです。（遅くなりましたが）復習に良いかも？？

正三角形と円周角
難易度：★★★★☆
【出典】2015年度　長野県　公立高校入試　過去問
URL：https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/nagano/2015/math/question07.html

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1s_o1jyp_gwFcWJtnMu0rYHS8G36dZyEP

＜検索用コード＞

図1のように，線分AB上に点Cをとり，AC，CBを，それぞれ1辺とする正三角形△ACDと△CBEをABの同じ側につくる。また，AEとBDの交点をF，CEとBDとの交点をGとする。
　次の各問いに答えなさい。
図1

（1）∠DCEの大きさを求めなさい。
（2）△ACE≡△DCBを証明しなさい。
（3）∠BFE＝60°であることを，次のように求めた。
（2）より，△ACE≡△DCBから，
∠AEC＝∠DBC
だから，円周角の定理の逆より，4点B，E，あ，いは，同じ円周上にある。
よって，⏜BEに対する円周角は等しいから，
　∠BFE＝う
したがって，∠BFE＝60°
①　あ，いに当てはまる点を，それぞれ記号を用いて書きなさい。ただし，あ，いの順序は問わない。
②　うに当てはまる最も適切な角を，記号を用いて書きなさい。

（4）AC＝12 cm，CB＝6 cmとする。
①　次のように，相似な2つの三角形を見つけることにより，その相似比から，CG：GEを求めることができる。
　　えに当てはまる最も適切な三角形を記号を用いて書き，おに当てはまる最も簡単な整数の比を求めなさい。
△DCG∽えだから，CG：GE＝おである。

②　BGの長さを求めなさい。
③　△EFGの面積を求めなさい。

正三角形と円周角　解答例
範囲：中3図形難易度：★★★★☆
（1）（1点）
∠DCE＝60°
（2）（4点）
△ACEと△DCBにおいて，
△ACDと△BCEは正三角形であるから，（※）
AC＝DC，CE＝CB…①
∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝120°
∠BCD＝∠BCE＋∠DCE＝120°
であるから，∠ACE＝∠BCD…②
①，②より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ACE≡△DCB
（※）長野県では①を，「仮定より」と書いたら減点です。でも，正三角形の定義が「すべての辺が等しい」なので，仮定よりでも問題ないはずですけどね。角度の方②は定理なので1言書きましょう。
（3）①（完1点）
CとF
（3）②（1点）
∠BCG
（4）①（完2点）
△DCG∽△BEGだから，CG：EG＝2：1
（※）DC//EBDC＝12 cm，BE＝6 cmを利用。
（4）②（3点）
△DCG∽△BEGであるから，
DC：BE＝DG：BG＝2：1
DからACに垂線を下ろし，ACとの交点をHとする
DH＝6√3 cm
HはACの中点だから，BH＝6＋6＝12 cm
△BDHで三平方の定理より，
BD^2＝DH^2+BH^2＝108+144＝252
BD>0より，BD＝6√7 cm　
よって，BG＝BD÷3＝2√7 cm

（4）③（3点）
同様にCG：EG＝2：1なので，CG＝4 cm。
GからBCに垂線を下ろし，交点をIとする。
∠GCI＝60°なので，GC:GI＝2：√3　
よって，GI＝2√3 cm
故に，△BCG＝1/2×6×2√3＝6√3 〖 cm〗^2となる。
∠EFG＝∠BCG，∠EGF＝∠BGCより，△EFG∽△BCGなので，EG:BG＝2:2√7＝1:√7だから，面積比は，1：7なので，
△EFG=(6√3)/7 cm^2

【コメント】
　60°と補助線の典型的応用問題です。
応用問題ですが，非常に誘導が丁寧な問題です。数学が得意な受験生は，最後まで解くとよいでしょう。
　長野県の模範解答を見たら，正三角形の辺の長さ，円の半径まで「仮定より」とは書いてはいけないようです。長けりゃいいってものでもありませんが，証明は文句言われないようにクドく書いておきましょう。
（ちなみに北海道は仮定よりで問題ないと思われます）

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