60°と補助線(2015年度長野県)

2019/12/15

-スポンサーリンク-

正三角形と円周角,60°と補助線など,平面図形の応用要素がたくさん詰まった,一度は解いておきたい問題です。

応用ですが,誘導が丁寧になされており,無理なく解けます(たぶん)

ただ,長野県の証明の採点基準は気に食わないかも笑

この記事で紹介した問題のプリントです。(遅くなりましたが)復習に良いかも??

正三角形と円周角
難易度:★★★★☆
【出典】2015年度 長野県 公立高校入試 過去問
URL:https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/nagano/2015/math/question07.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1s_o1jyp_gwFcWJtnMu0rYHS8G36dZyEP

<検索用コード>

図1のように,線分AB上に点Cをとり,AC,CBを,それぞれ1辺とする正三角形△ACDと△CBEをABの同じ側につくる。また,AEとBDの交点をF,CEとBDとの交点をGとする。
 次の各問いに答えなさい。
図1

(1)∠DCEの大きさを求めなさい。
(2)△ACE≡△DCBを証明しなさい。
(3)∠BFE=60°であることを,次のように求めた。
(2)より,△ACE≡△DCBから,
∠AEC=∠DBC
だから,円周角の定理の逆より,4点B,E,あ,いは,同じ円周上にある。
よって,⏜BEに対する円周角は等しいから,
 ∠BFE=う
したがって,∠BFE=60°
① あ,いに当てはまる点を,それぞれ記号を用いて書きなさい。ただし,あ,いの順序は問わない。
② うに当てはまる最も適切な角を,記号を用いて書きなさい。

(4)AC=12 cm,CB=6 cmとする。
① 次のように,相似な2つの三角形を見つけることにより,その相似比から,CG:GEを求めることができる。
  えに当てはまる最も適切な三角形を記号を用いて書き,おに当てはまる最も簡単な整数の比を求めなさい。
△DCG∽えだから,CG:GE=おである。

② BGの長さを求めなさい。
③ △EFGの面積を求めなさい。








































正三角形と円周角 解答例
範囲:中3図形 難易度:★★★★☆
(1)(1点)
∠DCE=60°
(2)(4点)
△ACEと△DCBにおいて,
△ACDと△BCEは正三角形であるから,(※)
AC=DC,CE=CB…①
∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°
∠BCD=∠BCE+∠DCE=120°
であるから,∠ACE=∠BCD…②
①,②より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから,△ACE≡△DCB
(※)長野県では①を,「仮定より」と書いたら減点です。でも,正三角形の定義が「すべての辺が等しい」なので,仮定よりでも問題ないはずですけどね。角度の方②は定理なので1言書きましょう。
(3)①(完1点)
CとF
(3)②(1点)
∠BCG
(4)①(完2点)
△DCG∽△BEGだから,CG:EG=2:1
(※)DC//EBDC=12 cm,BE=6 cmを利用。
(4)②(3点)
△DCG∽△BEGであるから,
DC:BE=DG:BG=2:1
DからACに垂線を下ろし,ACとの交点をHとする
DH=6√3 cm
HはACの中点だから,BH=6+6=12 cm
△BDHで三平方の定理より,
BD^2=DH^2+BH^2=108+144=252
BD>0より,BD=6√7 cm 
よって,BG=BD÷3=2√7 cm

(4)③(3点)
同様にCG:EG=2:1なので,CG=4 cm。
GからBCに垂線を下ろし,交点をIとする。
∠GCI=60°なので,GC:GI=2:√3 
よって,GI=2√3 cm
故に,△BCG=1/2×6×2√3=6√3 〖 cm〗^2となる。
∠EFG=∠BCG,∠EGF=∠BGCより,△EFG∽△BCGなので,EG:BG=2:2√7=1:√7だから,面積比は,1:7なので,
△EFG=(6√3)/7 cm^2

【コメント】
 60°と補助線の典型的応用問題です。
応用問題ですが,非常に誘導が丁寧な問題です。数学が得意な受験生は,最後まで解くとよいでしょう。
 長野県の模範解答を見たら,正三角形の辺の長さ,円の半径まで「仮定より」とは書いてはいけないようです。長けりゃいいってものでもありませんが,証明は文句言われないようにクドく書いておきましょう。
(ちなみに北海道は仮定よりで問題ないと思われます)



その他の平面図形の問題


関連記事


comment (-) @ 平面(計算メイン)
台形と文字式関数 | 角度を丁寧に(2011年度都立立川高校)