書かせすぎな動点D（2017年度北海道）高校入試　数学　良問・難問

書かせすぎな動点D（2017年度北海道）

2019/07/21

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図がシンプルなほど，恐ろしい問題です。数学においては，問題文が短いほど恐ろしいですね。
1981年岡山県など，類題は昔からあるけど，図を自分で描けるかがこの問題は鍵。

芸術的な難問高校入試　第1回
「書かせすぎな動点D」
出典：2017年度　北海道高校入試　過去問　裁量問題　問3
＜問題＞
下の図のように，線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Cがあります。線分ABの中点を点Oとします。次の問いに答えなさい。

（1）
AC＝BCとします。△ABCを，線分ABを軸として1回転させてできる立体をP，半円を，線分ABを軸として1回転させてできる立体をQとします。立体Pの体積は，立体Qの体積の何倍ですか，求めなさい。

（2）
線分ACが線分ABより1 cm短く，線分BCが線分ABより2 cm短いとき，線分ABの長さは何 cmになりますか。線分ABの長さをx cmとして方程式をつくり，求めなさい。

（3）
線分ABを4 cmとします。点Cは，弧AB上を点Aから点Bまで移動するものとします。∠ABCの二等分線と∠BACの二等分線との交点をDとするとき，点Dが描いてできる線の長さを求めなさい。
ただし，点Cが点Aの位置にあるとき，点Dは点Aの位置にあり，点Cが点Bの位置にあるとき，点Dは点Bの位置にあるものとします。また，円周率はπを用いなさい。

PDF，解答例はこちら↓↓

PDF
2017hokkai_art1.pdf

【コメント1】
与えられた図があまりにも簡素すぎる。他県の人が見た場合「なんて簡単な問題なんだ。」と思うであろう。
しかし，北海道の高校入試は，いかに簡単な図で難しい問題を作るかに命かけている集団である。

思い切り他県と違う傾向はそこである。問題文を読むと「？」となるのである。こんな簡単な図で何をやらせようとしているのか。それでも（1）は普通，（2）はサービス問題である。（ちょっと条件の与え方がぶっきらぼうだが。）問題は（3）である。真面目に考えた瞬間アウトである。

【解答例】

【コメント2】
（1）（2）はどうでもいいとして，（3）が曲者である。「まあ円だろうな。」

「高校入試の軌跡は直線か円だけ。」

と頭を高校入試にすれば難なく解けた奴もいた。（難しいくせに正答率高いのはそのため。）

【（3）を高校数学で真面目に考える】

点Dの動きのアニメーション見たくない？ということで，GRAPESでアニメーションを作ってみました。

GIF

点Oを原点（0，0）とします。A（－2，0）B（2，0）。
直径ABの半円は，半径2 cmだから，
x^2+y^2=4　(y≥0)　∠BOC＝a°とすると，
C(2cos⁡a,2sin⁡a)と表せる。
常に∠ADB＝135°だから，点Dはある円周上を動く。中心を点Eとすると，円周角の定理より，∠AEB＝90°
よって，点Eは，△AEBが直角二等辺三角形となる位置にあるので，E（0，－2）となる。半径はEB＝2√2 cm
だから，Dの軌跡は，x^2+(y+2)^2=8　(y≥0)

点Eから，直線OBに平行な直線EFを引く。∠DEF＝b°とする。
∠DAB=a/2°÷2=a/4°より，∠DBA=45°-a/4°
∠DBE=∠BDE=∠DBA+45°=90°-a/4°
∠DEB=180°-2×(90°-a/4°)=a/2°
∠BEF＝45°だから，
b=a/2+45　となる。
したがって，D(2√2 cos⁡(a/2+45),2√2 sin⁡(a/2+45))

後はパラメタaを好きに動かすとアニメーションが出来る。

…

だから何だって話だなこれ。

（大して意味ないじゃないかこれ。）

【コメント4】
　入試問題作るとき，cosとかsinとか駆使して作ってそうな雰囲気の問題。

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