書かせすぎな動点D 【2017年度北海道】

2019/07/21

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【出典:2017年度 北海道 公立高校入試 裁量問題5問3】
※PDFで読みたい方は,続きからを読んでください。BLOGはWordをそのままコピペしているので,読みづらいです!(でも検索かかるようにコピペしてます!)

下の図のように,線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Cがあります。線分ABの中点を点Oとします。次の問いに答えなさい。
end2017.png
(1)AC=BCとします。△ABCを,線分ABを軸として1回転させてできる立体をP,半円を,線分ABを軸として1回転させてできる立体をQとします。立体Pの体積は,立体Qの体積の何倍ですか,求めなさい。

(2)線分ACが線分ABより1 cm短く,線分BCが線分ABより2 cm短いとき,線分ABの長さは何 cmになりますか。線分ABの長さをx cmとして方程式をつくり,求めなさい。

(3)線分ABを4 cmとします。点Cは,弧AB上を点Aから点Bまで移動するものとします。∠ABCの二等分線と∠BACの二等分線との交点をDとするとき,点Dが描いてできる線の長さを求めなさい。
ただし,点Cが点Aの位置にあるとき,点Dは点Aの位置にあり,点Cが点Bの位置にあるとき,点Dは点Bの位置にあるものとします。また,円周率はπを用いなさい。

【コメント1】
 与えられた図があまりにも簡素すぎる。他県の人が見た場合「なんて簡単な問題なんだ。」と思うであろう。
北海道は,いかに簡単な図で難しい問題を作るかに命かけている集団である。
 問題文を読むと「?」となるのである。こんな簡単な図で何をやらせようとしているのか。それでも(1)は普通,(2)はサービス問題である。(ちょっと条件の与え方がぶっきらぼうだが。)問題は(3)である。真面目に考えた瞬間アウトである。

【解答例】
(1)3点 正答率30.2%
半径rとする。AC=BCだから,△ABCは直角二等辺三角形。
P) おとなしく,△OACと△OBCに分ける。
体積同じなので,2倍すればよい。
P:πr^2*r*1/3*2=2/3 πr^3
Q) ただの球。
Q:4/3 πr^3
PはQの 1/2 倍

(2)4点 正答率30.7%
△ABCは直角三角形であるから,
AB^2=BC^2+CA^2
x^2=(x-2)^2+(x-1)^2【2点】
x^2-6x+5=0 【1点】
(x-5)(x-1)=0
2<xであるから,x=5 5 cm【1点】

(3)4点 正答率3.3%
真面目に考えたらアウトです。本番で中学生がすべき解答例を示します。
7455.png
円の弧のように動くんだろうなって予測する。まあ点Cが円弧上を動くから,Dもそのように動くに決まっている。深く突っ込まない。

※∠CAB+∠CBA=90°で一定で,∠OAD+∠OBDはその半分だから,∠OAD+∠OBD=45°で一定。よって,∠ADBは常に135°だから,同一円周上を動くと言える。

すると,どこかに中心があるだろうから,考えやすい,∠CBA=45°のときで考える。
円の中心は,弦(線分AB)の垂直2等分線上にあるので,直線DO上にある。
DE=BE=AEとなる点Eを考える。
∠EDB=135°÷2=67.5°となるから,
△EDBは2等辺三角形なので,
∠BED=180-(67.5)×2=45°
同様に,∠AED=45°であるから,∠AEB=90°

※または,円周角の定理より,∠ADB=135°だから,∠AEBの大きい方の角は135°×2=270°より,90°としても良い。てかそっちが普通か。

OB=2 cmだから,Dが動くおうぎ形の半径は,
2×√2=2√2 cm 中心角90°なので,
4√2×90/360×π=√2 π cm

【コメント2】
 (1)(2)はどうでもいいとして,(3)が曲者である。「まあ円だろうな。」「高校入試の軌跡は直線か円だけ。」と頭を高校入試にすれば難なく解けた奴もいた。(難しいくせに正答率高いのはそのため。)しかし,
end2017.png
↑の図から,あの図を描かせるなんて,一体北海道は何を求めているのか。

【(3)を高校数学で真面目に考える】
 点Dの動きのアニメーション見たくない?ということで,GRAPESでアニメーションを作ってみました。
GIF
2017_Hokkaido_Enshu.gif
984.png
点Oを原点(0,0)とします。A(-2,0)B(2,0)。
直径ABの半円は,半径2 cmだから,
x^2+y^2=4 (y≥0) ∠BOC=a°とすると,
C(2cos⁡a,2sin⁡a)と表せる。
常に∠ADB=135°だから,点Dはある円周上を動く。中心を点Eとすると,円周角の定理より,∠AEB=90°
よって,点Eは,△AEBが直角二等辺三角形となる位置にあるので,E(0,-2)となる。半径はEB=2√2 cm
だから,Dの軌跡は,x^2+(y+2)^2=8 (y≥0)

点Eから,直線OBに平行な直線EFを引く。∠DEF=b°とする。
∠DAB=a/2°÷2=a/4°より,∠DBA=45°-a/4°
∠DBE=∠BDE=∠DBA+45°=90°-a/4°
∠DEB=180°-2×(90°-a/4°)=a/2°
∠BEF=45°だから,
b=a/2+45 となる。
したがって,D(2√2 cos⁡(a/2+45),2√2 sin⁡(a/2+45))

 後はパラメタaを好きに動かすとアニメーションが出来る。

 …

 だから何だって話だなこれ。

(大して意味ないじゃないかこれ。)

【コメント4】
 入試問題作るとき,cosとかsinとか駆使して作ってそうな雰囲気の問題。




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