書かせすぎな動点D(2017年度北海道)

2019/07/21

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図がシンプルなほど,恐ろしい問題です。数学においては,問題文が短いほど恐ろしいですね。

芸術的な難問高校入試 第1回
「書かせすぎな動点D」
出典:2017年度 北海道高校入試 過去問 裁量問題 問3



下の図のように,線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Cがあります。線分ABの中点を点Oとします。次の問いに答えなさい。
kakased.jpg

(1)
AC=BCとします。△ABCを,線分ABを軸として1回転させてできる立体をP,半円を,線分ABを軸として1回転させてできる立体をQとします。立体Pの体積は,立体Qの体積の何倍ですか,求めなさい。

(2)
線分ACが線分ABより1 cm短く,線分BCが線分ABより2 cm短いとき,線分ABの長さは何 cmになりますか。線分ABの長さをx cmとして方程式をつくり,求めなさい。

(3)
線分ABを4 cmとします。点Cは,弧AB上を点Aから点Bまで移動するものとします。∠ABCの二等分線と∠BACの二等分線との交点をDとするとき,点Dが描いてできる線の長さを求めなさい。
ただし,点Cが点Aの位置にあるとき,点Dは点Aの位置にあり,点Cが点Bの位置にあるとき,点Dは点Bの位置にあるものとします。また,円周率はπを用いなさい。

【コメント1】
与えられた図があまりにも簡素すぎる。他県の人が見た場合「なんて簡単な問題なんだ。」と思うであろう。

北海道は,いかに簡単な図で難しい問題を作るかに命かけている集団である。


思い切り他県と違う傾向はそこである。問題文を読むと「?」となるのである。こんな簡単な図で何をやらせようとしているのか。それでも(1)は普通,(2)はサービス問題である。(ちょっと条件の与え方がぶっきらぼうだが。)問題は(3)である。真面目に考えた瞬間アウトである。

【解答例】
kaka3.jpg
kaka1.jpg


【コメント2】
(1)(2)はどうでもいいとして,(3)が曲者である。「まあ円だろうな。」

「高校入試の軌跡は直線か円だけ。」

と頭を高校入試にすれば難なく解けた奴もいた。(難しいくせに正答率高いのはそのため。)

【(3)を高校数学で真面目に考える】

点Dの動きのアニメーション見たくない?ということで,GRAPESでアニメーションを作ってみました。

GIF
2017_Hokkaido_Enshu.gif


984.png

点Oを原点(0,0)とします。A(-2,0)B(2,0)。
直径ABの半円は,半径2 cmだから,
x^2+y^2=4 (y≥0) ∠BOC=a°とすると,
C(2cos⁡a,2sin⁡a)と表せる。
常に∠ADB=135°だから,点Dはある円周上を動く。中心を点Eとすると,円周角の定理より,∠AEB=90°
よって,点Eは,△AEBが直角二等辺三角形となる位置にあるので,E(0,-2)となる。半径はEB=2√2 cm
だから,Dの軌跡は,x^2+(y+2)^2=8 (y≥0)

点Eから,直線OBに平行な直線EFを引く。∠DEF=b°とする。
∠DAB=a/2°÷2=a/4°より,∠DBA=45°-a/4°
∠DBE=∠BDE=∠DBA+45°=90°-a/4°
∠DEB=180°-2×(90°-a/4°)=a/2°
∠BEF=45°だから,
b=a/2+45 となる。
したがって,D(2√2 cos⁡(a/2+45),2√2 sin⁡(a/2+45))

後はパラメタaを好きに動かすとアニメーションが出来る。



だから何だって話だなこれ。

(大して意味ないじゃないかこれ。)

【コメント4】
 入試問題作るとき,cosとかsinとか駆使して作ってそうな雰囲気の問題。

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