いたって普通の関数正方形の難問(2015年度日比谷高校)

2019/12/21

-スポンサーリンク-

関数の問題に,平面図形の知識を融合させた問題は多くありますが,正方形は計算難の問題になることが多いです。

今回の問題は,日比谷高校の過去問。いたって普通の計算が大変な難問です。何を計算すればよいのか,判断が必要になります。

hibiyaseihou.jpg

第15回芸術的な難問高校入試 「正方形関数難問」
難易度:★★★★★☆美しさ:★★★☆☆☆
【出典】2015年度 東京都立 日比谷高校 過去問
URL:http://www.hibiya-h.metro.tokyo.jp/SelectedEntrants/TestTheme.html
※3年分しかないので,購入するしかありません。

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=18t5h5FtQosubSxCcE6cnfnoJI69Sr9RV

<検索用コード>

芸術的な高校入試第16回
出典:2015年度 都立 日比谷高校
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★☆☆☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点

曲線fはy=ax^2のグラフである。2点A,Dはx軸上にあり,点Aのx座標は6,点Dのx座標はt(0<t<6)である。四角形ABCDと四角形CEFGはそれぞれ正方形で,辺FGはy軸上,点Cのy座標は正の数で,点Eのy座標は点Cのy座標より大きい。曲線fが点Cを通るとき,次の問いに答えなさい。

問1 正方形ABCDと正方形CEFGの面積が等しいとき,aの値を求めなさい。

問2 a=1のとき,直線BEの式を求めなさい。途中計算も書きなさい。

問3 曲線f上にある点をHとし,点Fと点Hを結んでできる線分FHの中点が点Eに一致したとき,     点Hの座標を求めなさい。

















































【解答例】
問1(7点)
点Aのx座標は6なので,各々の正方形の一辺の長さ  は,3である。よって,C(3, 3)なので,
3=9a a=1/3

問2(10点)
a=1のとき,C(t,〖 t〗^2 )
正方形ABCDは正方形だから,AD=6-t,CD=t^2と表せるので,
6-t=t^2 t^2+t-6=0 (t+3)(t-2)=0
t>0だから,t=2 C(2, 4)
よって,E(2, 6),B(6, 4)
この2点を通る直線は,
傾き (6-2)/(4-6)=-1/2,(2,6)を通るから切片7
y=-1/2 x+7

問3(8点)
E(t,〖at〗^2+t),F(0,〖at〗^2+t)と表せる。Hのy座標も,〖at〗^2+tである。
FHの中点がEなので,Hのx座標は2tと表せるから,
at^2+t=4at^2
3at^2-t=0 t(3at-1)=0
t>0より,t=1/3a
正方形ABCDにおいて,
6-1/3a=〖a(1/3a)〗^2=1/9a
4/9a=6 54a=6 a=2/27
t=1/3×27/2=9/2
よって,Hのx座標は2倍して9,y座標は,
81×2/27=6 H(9,6)




【コメント】
 いたって普通の難問ですが,正方形の扱いの良い練習となります。
 問2までは誰でも解けてほしいかも。



その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

関連記事


comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ
平成31年度 北海道高校入試 数学 予想問題3 | 台形と文字式関数