関数の問題に，平面図形の知識を融合させた問題は多くありますが，正方形は計算難の問題になることが多いです。

今回の問題は，日比谷高校の過去問。いたって普通の計算が大変な難問です。何を計算すればよいのか，判断が必要になります。

第15回芸術的な難問高校入試　「正方形関数難問」
難易度：★★★★★☆美しさ：★★★☆☆☆
【出典】2015年度　東京都立　日比谷高校　過去問
URL：http://www.hibiya-h.metro.tokyo.jp/SelectedEntrants/TestTheme.html
※3年分しかないので，購入するしかありません。

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=18t5h5FtQosubSxCcE6cnfnoJI69Sr9RV

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芸術的な高校入試第16回
出典：2015年度　都立　日比谷高校
難易度：★★★★★☆ 美しさ：★★★☆☆☆
総試験時間：50分 配点：25点/100点

曲線fはy=ax^2のグラフである。2点A，Dはx軸上にあり，点Aのx座標は6，点Dのx座標はt（0＜t＜6）である。四角形ABCDと四角形CEFGはそれぞれ正方形で，辺FGはy軸上，点Cのy座標は正の数で，点Eのy座標は点Cのy座標より大きい。曲線fが点Cを通るとき，次の問いに答えなさい。

問1　正方形ABCDと正方形CEFGの面積が等しいとき，aの値を求めなさい。

問2　a＝1のとき，直線BEの式を求めなさい。途中計算も書きなさい。

問3　曲線f上にある点をHとし，点Fと点Hを結んでできる線分FHの中点が点Eに一致したとき，　　　　　点Hの座標を求めなさい。

















































【解答例】
問1（7点）
点Aのx座標は6なので，各々の正方形の一辺の長さ　　は，3である。よって，C（3, 3）なので，
3=9a　a=1/3

問2（10点）
a=1のとき，C（t,〖 t〗^2 ）
正方形ABCDは正方形だから，AD＝6－t，CD＝t^2と表せるので，
6-t=t^2　t^2+t-6=0　(t+3)(t-2)=0
t＞0だから，t＝2　C（2, 4）
よって，E（2, 6），B（6, 4）
この2点を通る直線は，
傾き (6-2)/(4-6)=-1/2，(2,6)を通るから切片7
y=-1/2 x+7

問3（8点）
E(t,〖at〗^2+t)，F(0,〖at〗^2+t)と表せる。Hのy座標も，〖at〗^2+tである。
FHの中点がEなので，Hのx座標は2tと表せるから，
at^2+t=4at^2
3at^2-t=0　t(3at-1)=0
t>0より，t=1/3a
正方形ABCDにおいて，
6-1/3a=〖a(1/3a)〗^2=1/9a
4/9a=6　54a=6　a=2/27
t=1/3×27/2=9/2
よって，Hのx座標は2倍して9，y座標は，
81×2/27=6　H(9,6)




【コメント】
　いたって普通の難問ですが，正方形の扱いの良い練習となります。
　問2までは誰でも解けてほしいかも。

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