高校入試　数学　良問・難問

角度を丁寧に（2011年度都立立川高校）

2019/12/14

-スポンサーリンク-

図もシンプルですし，計算量もちょうどよい，いかに基本に忠実なのかを測っている良問です。
図に書き込まない人は解けません。

第15回芸術的な難問高校入試「角度を丁寧に」
難易度：★★★★☆☆美しさ：★★★★★★
【出典】2011年度　東京都立　立川高校　過去問
URL：http://www.tachikawa-h.metro.tokyo.jp/zen/06005.html

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=14XpfUqr66JUdBXZFFmTAvmm8tCLQAkum

＜検索用コード＞

芸術的な高校入試第15回
出典：2011年度　東京都立立川高校大問3
難易度：★★★★☆☆ 美しさ：★★★★★★
総試験時間：50分配点：22点/100点
　下の図は，一辺の長さが2√2 cmの正方形ABCDと，4点A，B，C，Dを通る円Oを表している。
　円Oの内部に点Pをとる。
　次の各問に答えよ。

問1　△PBCが正三角形であるとする。
（1）点Oと点Pを結んでできる線分OPの長さは何cmか。
（2）点Dと点Pを結んだ線分DPを，Pの方向に延ばした直線と円Oとの交点をQとする。線分PQの長さは何cmか。

問2　下の図のように，点Pが点Bと点Dを結んだ線分BD上にあり，BC＝BPであるとする。線分CPをPの方向に延ばした直線と円Oとの交点をRとする。△RBP≡△RCDであることを証明せよ。

【解答例】
問1（1）（6点）

点Pから辺BCに垂線を下ろし，交点をHとする。
PH=√2×√3=√6，OH=√2 より，
OP=√6-√2 cm
問1（2）（6点）

角度を書き込んでいくと，上記のようになる。
⏜BDに対する円周角だから，∠PQB＝90°
PB=2√2 より，PQ=2 cm

問2（10点）

△RBPと△RCDにおいて，
仮定より，BP＝BC＝CD…①
⏜RDに対する円周角だから，∠RBP＝∠RCD…②
BDは正方形の対角線なので，∠BDC＝45°
⏜BCに対する円周角だから，
∠BDC＝∠BRP＝45°…③
同様に，∠CBD＝45°で，⏜CDに対する円周角だから，
∠CBD=∠CRD＝45°…④
③，④より，∠BRP＝∠CRD＝45°…⑤
②，⑤より三角形の内角の和は180°なので，
∠RPB＝∠RDC…⑥
①，②，⑥より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，△RBP≡△RCD

【コメント】
　図も複雑でなく，計算量，計算の記述量もちょうどよいです。何より「いかに丁寧に角度を書いているか」が試される素晴らしい問題です。45°や60°に気づく必要はありますが，何より大事なのは，図に情報を書き込むという基本的なことができているかどうかです。

その他の芸術的な難問高校入試
→https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

関連記事