積分における1/6公式高校入試　数学　良問・難問

積分における1/6公式

2019/12/10

-スポンサーリンク-

数学2の積分においては，1/6公式，偶関数など，テクニックが結構存在します。

好き嫌い分かれますが，ただ覚えるだけではだめです，どうしてそうなるのか？を覚えていないと，結局公式を使いこなせません。たぶん。

1/6公式は，部分積分で証明するのがよいですね。どうせ理系は後でやるので早めにやっておいた方がよいでしょう。

色々紹介したPDFを，生徒用に作ってみたので，貼っておきます。

TITLE：積分における1/6公式
範囲：数学2の積分

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1yO8QvY-b1V8dmWQPEZmjt4rZnsJ6BQwL

今回，実験的に紙のサイズを変えてみました。こうすることにより，パソコン，スマホ上では，PDFが見やすいですね！反面，印刷には不向きですが......まあいいでしょう。元に戻しました。

＜検索用コード＞

＜例1＞
y=2x^2-x-3とy=x+1で囲まれた部分の面積Sを
求めよ。

＜クソ真面目に解く＞
y=2x^2-x-3とy=x+1との交点は，
2x^2-x-3=x+1　これを解いて，x=-1,2
-1≤x≤2で，2x^2-x-3≤x+1だから，
S=∫_(-1)^2▒{(x+1)-(2x^2-x-3)}dx
=∫_(-1)^2▒(-2x^2+2x+4) dx=-2[x^3/3-x^2/2-2x]_(-1)^2
=-2{(8/3-2-4)-(-1/3-1/2+2)}
=-2(-9/2)=9
-----------------------------------------------------------------------
しかし，直線と放物線で囲まれた面積を求めることがあまりにも多すぎて，次のような大学入試史上最も有名な裏技が存在する。
＜1/6公式を用いた解答＞
S=∫_(-1)^2▒{(x+1)-(2x^2-x-3)}dx
=∫_(-1)^2▒(-2x^2+2x+4) dx=-2∫_(-1)^2▒(x^2-x-2)dx
=-2∫_(-1)^2▒〖(x+1)(x-2)〗 dx
　交点を求める際に，x＝2，x＝－1と解を出しているので，こう因数分解できるのは当然である。
　ここで，以下の公式を用いる。
∫_α^β▒〖(x-α)(x-β)〗 dx=-1/6 (β-α)^3
＜上記の証明＞
∫_α^β▒(x-α)(x-β) dx　※部分積分！
=[(x-α)^2/2 (x-β)]_α^β-∫_α^β▒〖(x-α)^2/2 dx〗
=0-1/2 [(x-α)^3/3]_α^β=-1/6 (β-α)^3
＜解答の続き＞
-2∫_(-1)^2▒(x+1)(x-2) dx
=-2∙(-1/6) (2+1)^3=54/6=9
と，大変簡単な計算で求めることができる。
　ちなみにセンターとか穴埋めなら使い放題。東北大に関しては，断り入れてから使った方がよい？
-----------------------------------------------------------------------
＜慣れるために演習問題＞
【1】次を求めなさい。
(1) y=x^2-2x-3とx軸で囲まれた部分の面積

（2）y=x，y=4x-x^2で囲まれた部分の面積

【解答】(1) 32/3 (2) 9/2
【2】次のような問題でも，1/6公式が計算していると出てくるので，用いてみなさい。
(1) y=x^2-2 と，y=-x^2-2x+2で囲まれた部分の面積

(2) y=x^3-xと，y=x^3-3x^2+2xで囲まれた部分の面積

【解答】(1) 9 (2) 1/2
・y=x^2-2と，y=-x^2-2x+2のグラフ

交点を求める際，x^2-2=-x^2-2x+2
2x^2+2x-4=0　2(x+2)(x-1)=0
と，二次方程式の形になる。
-----------------------------------------------------------------------
・y=x^3-xと，y=x^3-3x^2+2xのグラフ

こちらも，x^3-x=x^3-3x^2+2x
3x^2-3x=0　3x(x-1)=0
と，二次方程式の形になる。
-----------------------------------------------------------------------
　上記のように，「直線と曲線」または，「曲線と曲線」で囲まれた部分の面積において，交点βから交点αまで積分するときは，積分計算の中で，
∫_α^β▒〖(x-α)(x-β)〗 dx=-1/6 (β-α)^3
を用いることができる。常識らしい！
　ちなみに，もっと一般化して，瞬殺できる公式もあるにはあるが，あまり頼りすぎるのもアレなので，載せない。上記が使えていれば，よほどのことがない限り十分。あまりにも気になるなら，ググろう。
　

　放物線，接線とy軸に平行な直線に囲まれた部分の面積にも，裏技的公式が存在する。
＜例1＞
　C：y=x^2-4x+3 のx＝5における接線lを引く。x＝2と，C，lで囲まれる部分の面積を求めよ。

＜真面目に解く＞
y^'=2x-4より，x＝5を代入して，y^'=6，x＝5における接線の方程式は，y^'=6(x-5)+8=6x-22
求める面積は，
∫_2^5▒{(x^2-4x+3)-(6x-22)}dx
=∫_2^5▒〖(x^2-10x+25〗)dx
=∫_2^5▒(x-5)^2 dx=[(x-5)^3/3]_2^5=-(-27/3)=9
　接線（重解）を扱うことから，積分する関数は( )^2の形になることは当然である。
-----------------------------------------------------------------------
　この( )^2の形を利用して，次のように一般化できる。
　C:y=ax^2+bx+c から，x=β における接線lを引
く。a＞0，β>αとし，C，l，x=α によって囲まれる部分の面積を求める。
　y^'=2ax+b なので，x=β における接線の方程式は，y=(2aβ+b)(x-β)+aβ^2+bβ+c　すなわち
y=(2aβ+b)x-aβ^2+c
　求める面積は，
∫_α^β▒{ (ax^2+bx+c)-(2aβ+b)x-aβ^2+c}dx
=∫_α^β▒(ax^2-2aβx-aβ^2 ) dx
=a∫_α^β▒〖(x-β)^2 dx〗=a∙1/3 [(x-β)^3 ]_α^β=-a/3 (α-β)^3
=a/3 (β-α)^3　※y=ax^2 の場合に限定して証明も可
　接線がるので重解を持つ。そのため上記のようにきれいな式となる。時間短縮などのために，知っておくと，たまによいことあるかもしれないし，悪いかもしれない。（受験サイトによると常識らしい）たいていの問題は，接線と，y軸に囲まれているので，α=0 とすればよい。（積分区間はその都度確かめて）
＜非記述式で解く＞
1/3 (5-2)^3=9
-----------------------------------------------------------------------
　ちなみに，aが負でも使える。
＜例2＞
　C：y=〖-2x〗^2+4x+6 のx＝－2における接線lを引く。x＝2と，C，lで囲まれる部分の面積を求めよ。

＜普通に解く＞
y^'=-4x+4より，x＝－2を代入して，y^'=12
接線の方程式は，y^'=12(x+2)-10=12x+14
求める面積は，
∫_(-2)^2▒{(12x+14)-(-2x^2+4x+6)}dx
=∫_(-2)^2▒{2x^2+8x+8}dx=2∫_(-2)^2▒(x+2)^2 dx
=2[(x+2)^3/3]_(-2)^2=128/3
最後の式の形が，a/3 (β-α)^3　となっていますね。aが
負の場合は，aを絶対値としてください。
＜演習問題＞　※普通に解いてもよい
※4STEPにこれを使う問題がなかった！
(1) y=1/2 x^2-x+1/2 とその上の点(3,2)における接線とy
　軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

(2) y=1/2 x^2-2x+2とy=1/4 x^2-2とy軸で囲まれた面
　積を求めよ。

【解答】(1) 9/2 (2) 16/3

　そこまで強力じゃない気がするので，やめた。（気になるならググりましょう！）
　しかし，調べているうちに，これは教えておこうかと。
①，放物線における，2つの接線の交点のx座標は，2つの接点の平均

＜証明せよ＞
放物線を平行移動して，y=ax^2の場合に限定しても一般性を失わない。

【証明例】
A(p,ap^2 ) B(q,aq^2 )における接線の方程式は，
y=2apx-ap^2， y=2aqx-aq^2
交点のx座標は，
2a(p-q)x=a(p^2-q^2 )　a≠0，p≠qだから，
2x=p+q　x=(p+q)/2 となる。
②，左右の面積等しい

要は，緑と紫の部分の面積が等しくなる。
＜証明例＞
放物線を平行移動して，y=ax^2の場合に限定しても一般性を失わない。
A(p,ap^2 ) B(q,aq^2 )における接線の方程式は，
y=2apx-ap^2， y=2aqx-aq^2
2直線の交点のx座標は (p+q)/2 となるから，
求める面積は，
左側=∫_((p+q)/2)^p▒(ax^2-2apx-ap^2 )dx
=a∫_((p+q)/2)^p▒(x^2-2px-p^2 )dx=a∫_((p+q)/2)^p▒〖(x-p)^2 dx〗
=a/3 [(x-p)^3 ]_((p+q)/2)^p=-a/3 ((q-p)^3/2)=a/24 (p-q)^3
右側=∫_q^((p+q)/2)▒(ax^2-2aqx-aq^2 )dx
=a∫_q^((p+q)/2)▒〖(x-q)^2 dx〗=a/24 (p-q)^3
これを利用すると，放物線と2接線で囲まれた部分の面積は，（結局載せるという）
a/12 (p-q)^3
になるというこれまた裏技が登場する。
＜演習問題＞
y=1/2 x^2 とその上の点(-1,1/2)，(2,2)における2本の
接線で囲まれた面積を求めよ。

【解答】 9/8
　結局1/3公式を2回使っているだけなので，無理して覚えなくてよいと思う。

関数y=f(x)が
奇関数（原点対称）なら，f(x)=-f(-x)
例：y=x，y=〖2x〗^3，y=sin⁡x
偶関数（y軸対称）なら，f(x)=f(-x)
例：y=a，y=x^2，y=cos⁡x
　積分区間がy軸対称なら積極的に使っていきたい。
＜例1＞
　y=x^2と，x=±α，x軸で囲まれた部分の面積

関数がy軸対称なのだから，右側の面積と左側の面積が等しくなる。したがって，面積は，
∫_(-α)^α▒x^2 dx=2∫_0^α▒x^2 dx=2[x^3/3]_0^α=2/3 α^3
-----------------------------------------------------------------------
＜例2＞
定積分∫_(-α)^α▒〖3x^3 〗 dx

関数が原点対称なのだから，右側の面積と左側の面積で相殺される！
∫_(-α)^α▒〖3x^3 〗 dx=0
※面積を求めるなら，絶対値付けるなり，2倍するなり。絶対値の扱いに関しては4STEPで頑張って！
-----------------------------------------------------------------------
　これじゃあごく限られた関数しか役に立たないではないか！と思ったでしょうが，積分の足し算引き算は認められている。
＜例3＞
　次の定積分を計算せよ。
∫_(-1)^1▒(4x^3-3x^2-14x+7)dx
=∫_(-1)^1▒〖4x^3 〗 dx-∫_(-1)^1▒〖3x^2 dx〗-∫_(-1)^1▒14x dx+∫_(-1)^1▒7dx
=0-2∫_0^1▒〖3x^2 〗 dx-0+2∫_0^1▒7dx
=-2[x^3 ]_0^1+2[7x]_0^1=12
　このように，奇関数を排除出来て，とっても気持ちがよい！

＜演習問題＞　次の定積分をせよ。
(1) ∫_(-2)^2▒(5x^4-4x^3 )dx

(2) ∫_(-π)^π▒(x^2-x+sin⁡x )dx

【解答】(1) 64 (2) 〖2π〗^3/3

関連記事