極値と変曲点の幾何学 (2016年度北海道大)

2019/12/07
カテゴリ:@ 大学入試

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数学2の微分分野でよく出題されるのが,3次関数です。

3次関数では,次のような幾何学的性質があり,知っているとごくたまに役に立ちます。

①,変曲点の座標は,極大点と極小点の中点
②,変曲点まわりの主要部が,横4個,縦2個の合同な平行四辺形で埋め込まれる。


<例>
bibun_1.jpg


極大値と極小値の中点が,変曲点となります。また,極値から接線を引き,他の交点を考えると,合同な長方形で埋め込まれます。(簡単な計算で,座標を求めることができる!)

bibun_2.jpg

極値だけでなく,任意の接点でも扱えます。

任意の接点から接線を引く。引いた接線の傾きと同じになる他の接点を見つけ,接線を引く。変曲点からも同じ傾きの直線を引く。すると,この場合も,合同な平行四辺形で埋め込まれ,接点の中点が,変曲点となる。

接点と変曲点について証明させた問題が,次の問題です。紹介しておきます。

TITLE:極値と変曲点の幾何学

出典:2016年度 北海道大学 過去問 範囲:微分



<PDF,解答例はこちら↓↓>



<PDF>
2016hokudai_kai7.pdf







<解答例>




<追伸>

このブログこんな時代もあったんだな......(生徒に高校数学教えるときに作ってたプリントだと思われる,,,,,,遠い時代)

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