2019年度第4回 道コン 感想・解説 (数学裁量問題)

2019/12/01

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11月23日に,北海道学力コンクール(北海道の高校受験用の模試,なんでコンクールなのか?)が行われました。

別に記事とか書くつもりなかったのですが,数学の裁量問題,難易度設定をミスるにも程がありましたね。

SS50ライン…20点(33%!)
SS60ライン…30点(50%!)
SS70ライン…41点(68%!)


原因は,
・大問3ひねりすぎ
・裁量問題先取りしすぎ
等があげられるでしょう。

その中でも「裁量問題先取りしすぎ」について記事を書こうと思います。どういう意味かというと「円周角,三平方を先取りした中学生が明らかに有利」ということです。限られた範囲内で難しい問題を作るのは難しいですが,もう少し考えてほしかった!
ついでに,復習に最適な別の問題も紹介します。




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裁量問題 問1
Screenshot_20191129-125123.jpg
(1)(3点)(得点率29.5%)
こういう合同な三角形見つける問題で真っ先にやることは「等しい辺を見つける」ですね。合同であるためには最低でも1辺等しくなくてはなりません。
後は慣れの問題で,正三角形が2つあるのですから,合同な三角形の場合,等しい辺の組が2つあるなと予想できます。すると,上図の2組が等しいとわかります。∠DAC=∠BAEだろうなと確認せずそのまま△ADC≡△ABEと書いてもよいのですが念のため。
∠DAC=60°+∠BAC
∠BAE=60°+∠BAC
よって∠DAC=∠BAEとなりますね。
証明問題だったら難なく解ける人が多いと思います。頭がパニック起こしたら,最後に解くのがよいかもしれません。

(2)(4点)(得点率13.6%)
これは,円周角の定理の例の問題を習った後だと,説きやすい問題ですね。習った後だと(1)を利用して,こんな図に見えます。
Screenshot_20191129-121914.jpg
△ADC≡△ABEですから,対応する角の大きさは等しいので,∠ADC=∠ABE,∠ACD=∠AEBとなります。すると,点A,H,B,Dについて,D,Bは直線AHに関して同じ側にあるから,同一円周上にあると言えます。A,H,C,Eについても同様ですね。円周角の定理の逆を用いる問題です。
 すると,相似な三角形がたくさん見えます。∠FHB=∠GHC=60°となり,∠BHC=120°となるから,
∠HCB=180°-120°-42°=18°となります。
 今回解けなかった人は,円周角の定理にまだ慣れていないだけです。焦らない。
 

 似た問題として,「2015年度 長野県高校入試 過去問 数学大問4」があります。三平方はまだ使えませんが,復習によいかもしれません。(より誘導が丁寧です。)
https://www.pref.nagano.lg.jp/kyoiku/kyogaku/saiyo-nyuushi/shiken/ko/27gakuryokukensa.html

--追記--
上記のプリントを作成しました。こちらです。
--追記終わり--


裁量問題 問2

2019Do2.jpeg

関数の皮を被った,連立方程式,文字式の問題です。

(1)(3点)(得点率64.9%)
これは簡単な問題です。問3(1)にも言えることですが,裁量問題は全てが難しいというわけではありません。解ける問題から解いていきましょう。意外に一番最後の問題が易しいかも!?

(2)(4点)(得点率8.7%)
これは中学生には難しい,文字式をカチャカチャする問題です。高校生になったら余裕で解けます。

①,まずCD=6で,a>0,c<0ですから,a-c=6…①となります。cが負であることに注意です。

②,点Aのx座標が-6ですから,それぞれの直線の式に代入して,y=3+a,y=-6b+cとなります。ここで,視力検査です。加減法してyを消去すると,a-cが出来ると気づけるか。すると,0=3+6b+a-c…②となりますから,①を代入して,0=3+6b+6となり,b=-3/2 となります。

③,あとは,点Eの座標を用いましょう。E(2,-6)を,y=-3/2 x+cに代入し,c=-3となります。
高校では,どう式変形したら都合がよいか,考えて解く必要があります。中学生には難しいですが,慣れていきましょう。



似た問題としては,2014年度北海道高校入試の過去問,裁量の問1ですね。もっとシビアです。
http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html



裁量問題 問3

(1)(3点)(得点率8.7%)
 簡単な問題ですが,時間なくて計算ミスは多発するかもしれません。今回この問題で覚ええてほしいことは「意外に最後の問題でも簡単なことがある」です。入試でも同様。まず問題全体を見ろなんてよく言われますが,大事さが分かりますね。この正答率は,それを実行した中学生が少なかったのでしょうね。

(2)(4点)(得点率0.2%)
 これは,今の時期だと難しいですね。計算自体は楽です。模範解答の発想を得るためには,円周角,三平方で次のような問題を解いていると楽です。

---例題---
 下の図のように,円Oが△ABCに内接(内側で接)している。AB=6,BC=7,CA=5,△ABC=6√6であるとき,円Oの半径を求めなさい。
Screenshot_20191201-164812.jpg
円の接線と半径は垂直に交わるのでした。したがって,△ABCの面積は,半径をrとすると,
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA
=1/2×6r+1/2×7r+1/2×5r=1/2 (18r)=9r=6√6
r=2/3 √6 となります。

※ちなみにOA,OB,OCは角の二等分線。要復習!

普通に学校生活を送っていれば,1度は解くと思われます。
この問題を知っていれば「すべての面で接する(内接する)→各面からの高さ等しい→体積から半径を逆算できる」と気づけるかもしれません。最後の問題なのと,ただでさえ時間削られているので,今回は厳しいですが(しかも記述式だし)。
そこまで計算面倒なわけではないので,良い問題ですね。



何となく似ている過去問としては,2018年度北海道,裁量の問3です。
http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

追伸 さらに似ている問題
・2019年度 沖縄県 高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-148.html

円に内接する系の似た問題としては,
・新宿高校 大問3
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-29.html
・ひたすら難しい相似証明
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-66.html



 今回の裁量問題は,御覧のとおり三平方,円周角を習った後なら少し有利になる問題が8点分でした。授業スピード速い学校がどうしても有利になりますね。問1,問3は別の問題にした方がよいかも。


 今回の道コンでダメだった人は,本当に行きたい高校があるなら,3月までまだまだあります,頑張りましょう。



PDF版


.pdf URL:https://drive.google.com/open?id=1imrCz_AZkzv39Z1hOZCdfnssH9TWJ_5M
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