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2017年度　裁量問題　数学　解説

2019/11/21

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今回は2017年度北海道高校入試数学，裁量問題の解説です。
標準問題の関数がやや難しかった年ですね。裁量問題は，トリッキーな問題が多かったです。整数問題とか。
珍しく関数が出題されていません。

整数問題の練習としては、こういう問題がいいですね。知らないと解けません。

TITLE：2017年度　裁量問題　数学　解説
出題分野：規則性，整数問題，平面図形，，三平方，円周角
出典：平成29年度　北海道　公立高校入試　過去問
URL：http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1WPQvQ3ovB7I5An3GLTZZltRbUNQoYwyc
＜検索用コード＞

学校裁量問題の問題と解説⑨
【出典：2017年度　北海道　高校入試　過去問】
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問1　 xは自然数とします。1辺の長さがx cmの正四面体について，各辺をx等分する点とすべての頂点に●印をつけることとします。
　　　例えば，1辺の長さが2 cmの正四面体のときは，右の図のように●印が10個つきます。
（1）1辺の長さが3 cmの正四面体のときにつく●印の個数を求めなさい。
（2）1辺の長さがx cmの正四面体のときにつく●印の個数をy個とするとき，yをxの式で表しなさい。

問2　1辺の長さがa cmとb cmの2つの正三角形があります。この2つの正三角形の面積の差を，
(49√3)/4 cm^3 とします。このときのaとbの値を，次
　　のように求めるとき，　ア　，　イ　に当てはまる数を，　　　には解答の続きを，それぞれ書き入れて，解答を完成させなさい。
　　　ただし，a，bは自然数とし，a＞bとします。
＜解答＞
　2つの三角形の面積は，それぞれ
　　ア　a2cm3，　ア　b2 cm3
と表すことができる。
　この2つの正三角形の面積の差は (49√3)/4 cm^3 なの
で，
　　ア　a^2-　ア　b^2=(49√3)/4
　a^2-b^2=　イ　　(a+b)(a-b)=　イ　である。

　

問3　下の図のように，線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Cがあります。線分ABの中点を点Oとします。次の問いに答えなさい。

（1）AC＝BCとします。△ABCを，線分ABを軸として1回転させてできる立体をP，半円を，線分ABを軸として1回転させてできる立体をQとします。
　　　立体Pの体積は，立体Qの体積の何倍ですか，求めなさい。
（2）線分ACが線分ABより1 cm短く，線分BCが線分ABより2 cm短いとき，線分ABの長さは何 cmになりますか。
　　　線分ABの長さをx cmとして方程式をつくり，求めなさい。
（3）線分ABを4 cmとします。点Cは，弧AB上を点Aから点Bまで移動するものとします。
∠ABCの二等分線と∠BACの二等分線との交点をDとするとき，点Dが描いてできる線の長さを求めなさい。
ただし，点Cが点Aの位置にあるとき，点Dは点Aの位置にあり，点Cが点Bの位置にあるとき，点Dは点Bの位置にあるものとします。また，円周率はπを用いなさい。

【解答例】　　　　　　　　　　　　配点21点/60点
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問1（1）（2点）正答率69.4％
1辺に4個●印がつく。頂点につくのを抜いて，4－2＝2個。2×6＝12個。
頂点は，4個あるので，12+4＝16個
※計算を思いつかなくても，数えればいいだけ。
問1（2）（3点）正答率47.3％
（1）のように考えると，
y=(x+1-2)*6+4=6x-2
思いつかなくても，高校入試は，1次関数か，原点を通る2次関数しか出ないことを逆手にとって，
【1次関数と仮定する】
y=ax+bとする。（2, 10）（3, 18）なので，連立方程式を解くと良い。
【原点を通る2次関数と仮定する】
（2, 10），（3, 18）を通るy=ax^2のグラフは無い。
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問2（アイ各1点，連立方程式1点，ab各1点）
正答率8.7％
ア）1/2*a*√3/2 a=√3/4 a^2　ア）√3/4 b^2
a^2-b^2=イ）49　(a+b)(a-b)=イ）49
a，bも自然数であるから，(a+b)も(a-b)自然数である。a＋b＞a－bであるから，
{█(a+b=49@a-b=1)┤
これを解いて，a＝25, b＝24
【コメント】
　北海道，整数問題好きですね。
ア）イ）は常識だから埋めよう。それ以外は……なんでこんなに正答率高いのかが不思議である。
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問3（1）（3点）　正答率30.2％
半径rとする。AC＝BCだから，△ABCは直角二等辺三角形。
P)　おとなしく，△OACと△OBCに分ける。
体積同じなので，2倍すればよい。
P：πr^2*r*1/3*2=2/3 πr^3
Q)　ただの球。
Q：4/3 πr^3　PはQの 1/2 倍
（2）（4点）　正答率30.7％
△ABCは直角三角形であるから，
AB^2=BC^2+CA^2
x^2=(x-2)^2+(x-1)^2【2点】
x^2-6x+5=0　【1点】
(x-5)(x-1)=0
2＜xであるから，x=5　5 cm【1点】

（3）4点　正答率3.3％

∠CAB＋∠CBA＝90°で一定で，∠OAD＋∠OBDはその半分だから，∠OAD＋∠OBD＝45°で一定。よって，∠ADBは常に135°だから，同一円周上を動くと言える。
すると，どこかに中心がある。円の中心Eは，弦（線分AB）の垂直2等分線上にあるので，直線DO上にある。円周角の定理より，∠ADB＝135°だから，∠AEBの大きい方の角は135°×2＝270°より，∠AEBの小さいほうの大きさは90°
OB＝2 cmだから，Dが動くおうぎ形の半径は，
2×√2=2√2 cm　中心角90°なので，
4√2×90/360×π=√2 π cm
【コメント】
　円のように動くんだろうなという認識が大事です。より詳しい解説をブログに乗せています。
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　極端に難しい問題は出題されませんでした。

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