2017年度 裁量問題 数学 解説

2019/11/21

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今回は2017年度北海道高校入試数学,裁量問題の解説です。
標準問題の関数がやや難しかった年ですね。裁量問題は,トリッキーな問題が多かったです。整数問題とか。
珍しく関数が出題されていません。

整数問題の練習としては、こういう問題がいいですね。知らないと解けません。



TITLE:2017年度 裁量問題 数学 解説
出題分野:規則性,整数問題,平面図形,,三平方,円周角
出典:平成29年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1WPQvQ3ovB7I5An3GLTZZltRbUNQoYwyc
<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説⑨
【出典:2017年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1  xは自然数とします。1辺の長さがx cmの正四面体について,各辺をx等分する点とすべての頂点に●印をつけることとします。
   例えば,1辺の長さが2 cmの正四面体のときは,右の図のように●印が10個つきます。
(1)1辺の長さが3 cmの正四面体のときにつく●印の個数を求めなさい。
(2)1辺の長さがx cmの正四面体のときにつく●印の個数をy個とするとき,yをxの式で表しなさい。

問2 1辺の長さがa cmとb cmの2つの正三角形があります。この2つの正三角形の面積の差を,
(49√3)/4 cm^3 とします。このときのaとbの値を,次
  のように求めるとき, ア , イ に当てはまる数を,   には解答の続きを,それぞれ書き入れて,解答を完成させなさい。
   ただし,a,bは自然数とし,a>bとします。
<解答>
 2つの三角形の面積は,それぞれ
  ア a2cm3, ア b2 cm3
と表すことができる。
 この2つの正三角形の面積の差は (49√3)/4 cm^3 なの
で,
  ア a^2- ア b^2=(49√3)/4
 a^2-b^2= イ  (a+b)(a-b)= イ である。



 




問3 下の図のように,線分ABを直径とする半円の弧AB上に点Cがあります。線分ABの中点を点Oとします。次の問いに答えなさい。

(1)AC=BCとします。△ABCを,線分ABを軸として1回転させてできる立体をP,半円を,線分ABを軸として1回転させてできる立体をQとします。
   立体Pの体積は,立体Qの体積の何倍ですか,求めなさい。
(2)線分ACが線分ABより1 cm短く,線分BCが線分ABより2 cm短いとき,線分ABの長さは何 cmになりますか。
   線分ABの長さをx cmとして方程式をつくり,求めなさい。
(3)線分ABを4 cmとします。点Cは,弧AB上を点Aから点Bまで移動するものとします。
∠ABCの二等分線と∠BACの二等分線との交点をDとするとき,点Dが描いてできる線の長さを求めなさい。
ただし,点Cが点Aの位置にあるとき,点Dは点Aの位置にあり,点Cが点Bの位置にあるとき,点Dは点Bの位置にあるものとします。また,円周率はπを用いなさい。













【解答例】            配点21点/60点
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問1(1)(2点)正答率69.4%
1辺に4個●印がつく。頂点につくのを抜いて,4-2=2個。2×6=12個。
頂点は,4個あるので,12+4=16個
※計算を思いつかなくても,数えればいいだけ。
問1(2)(3点)正答率47.3%
(1)のように考えると,
y=(x+1-2)*6+4=6x-2
思いつかなくても,高校入試は,1次関数か,原点を通る2次関数しか出ないことを逆手にとって,
【1次関数と仮定する】
y=ax+bとする。(2, 10)(3, 18)なので,連立方程式を解くと良い。
【原点を通る2次関数と仮定する】
(2, 10),(3, 18)を通るy=ax^2のグラフは無い。
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問2(アイ各1点,連立方程式1点,ab各1点)
正答率8.7%
ア)1/2*a*√3/2 a=√3/4 a^2 ア)√3/4 b^2
a^2-b^2=イ)49 (a+b)(a-b)=イ)49
a,bも自然数であるから,(a+b)も(a-b)自然数である。a+b>a-bであるから,
{█(a+b=49@a-b=1)┤
これを解いて,a=25, b=24
【コメント】
 北海道,整数問題好きですね。
ア)イ)は常識だから埋めよう。それ以外は……なんでこんなに正答率高いのかが不思議である。
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問3(1)(3点) 正答率30.2%
半径rとする。AC=BCだから,△ABCは直角二等辺三角形。
P) おとなしく,△OACと△OBCに分ける。
体積同じなので,2倍すればよい。
P:πr^2*r*1/3*2=2/3 πr^3
Q) ただの球。
Q:4/3 πr^3 PはQの 1/2 倍
(2)(4点) 正答率30.7%
△ABCは直角三角形であるから,
AB^2=BC^2+CA^2
x^2=(x-2)^2+(x-1)^2【2点】
x^2-6x+5=0 【1点】
(x-5)(x-1)=0
2<xであるから,x=5 5 cm【1点】

(3)4点 正答率3.3%

∠CAB+∠CBA=90°で一定で,∠OAD+∠OBDはその半分だから,∠OAD+∠OBD=45°で一定。よって,∠ADBは常に135°だから,同一円周上を動くと言える。
すると,どこかに中心がある。円の中心Eは,弦(線分AB)の垂直2等分線上にあるので,直線DO上にある。円周角の定理より,∠ADB=135°だから,∠AEBの大きい方の角は135°×2=270°より,∠AEBの小さいほうの大きさは90°
OB=2 cmだから,Dが動くおうぎ形の半径は,
2×√2=2√2 cm 中心角90°なので,
4√2×90/360×π=√2 π cm
【コメント】
 円のように動くんだろうなという認識が大事です。より詳しい解説をブログに乗せています。
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 極端に難しい問題は出題されませんでした。


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