2016年度裁量問題 数学解説 立方体切断
2019/11/19
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2016年度は，難易度が若干ぶり返した......わけではないのですが，難易度見極めできなかった受験生が多く，難しい年となってしまいました。
難易度見極めの練習として，2016年度はちょうどよいでしょう。
立方体切断の話が出ています。知っていれば瞬殺，知らなければOUTです。知らない受験生の方が多かったので，プリント内で詳しく解説しておきました。後々にもっと詳しい解説を，別記事で載せようと思います。「向かい合う辺は平行！」これさえ知っていればなんとかなります。
TITLE：2016年度 裁量問題 数学 解説
出題分野：平面図形，規則性，関数，確率，立体切断
出典：平成28年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL：http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html
.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1otpw__-qW2UbDjBPbnED9snZbNllLdrl
＜検索用コード＞
学校裁量問題の問題と解説⑧
【出典：2016年度 北海道 高校入試 過去問】
-----------------------------------------------------------------------
問1 図1のように，半径が3 cmの円の円周を12等分する12個の点があり，そのうちの1つをSとします。
点P，Qは点Sを同時に出発し，Pは矢印アの方向へ，1秒ごとに円周上の点を1個ずつ，Qは矢印イの方向へ，1秒ごとに円周上の点を2個ずつ移動します。例えば，1秒後の3点S，P，Qのそれぞれの位置は図2のようになります。次の（1），（2）に答えなさい。
（1）5秒後に，3点S，P，Qを結んでできる三角形の∠SPQの大きさを求めなさい。
（2）155秒後に，3点S，P，Qを結んでできる△SPQをかき入れ，点P，Qをそれぞれ示しなさい。また，このときの△SPQの面積を求めなさい。
図1
図2 イ ア
問2 右の図のように，1辺が10 cmの正方形ABCDがあります。頂点Bから辺ABを10 cm延長したところに点Eをとり，辺AD，線分AE上にそれぞれ点P，Qを，2AP＝2AQとなるようにとります。APの長さをx cmとし，正方形ABCDと直角三角形APQが重なってできる部分の面積をy cm2とします。このときの横軸xと縦軸yの関係を表したグラフとして最も適当なものを，次のア～オから選びなさい。ただし，点Oは原点とします。
ア
イ
ウ
エ
オ
問3 図1のように，1辺が10 cmの立方体ABCD-EFGHがあります。辺AD，AE上にそれぞれ点P，Qを，2AP＝AQとなるようにとります。
次の（1），（2）に答えなさい。 図1
（1）図1の立方体を3点B，P，Qを通る平面で切ります。頂点Aをふくむ立体の体積が20 cm3のとき，APの長さは何cmになりますか。APの長さをx cmとして方程式をつくり，求めなさい。
（2）図2のように，1から9までの数字を1つずつ書いた9個のボールがあります。この9個のボールを袋に入れ，袋の中から1個のボールを取り出し，そのボールに書かれた数をaとします。
図3は，図1の立方体で，AP＝4 cmとしたものです。辺BC上に，点Rをとり，BRの長さをa cmとします。
図3の立方体を3点P，Q，Rを通る平面で切りとるときの切り口の図形が，五角形となる確率を求めなさい。
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨
図2
図3
【解答例】 配点21点/60点
-----------------------------------------------------------------------
問1（1）（3点）正答率63.2％
5秒後の位置は，指で数えるなりすれば分かる。
弧SQは円周の長さの1/6倍である。
よって，∠SPQ=180×1/6=30°
問1（2）（6点）正答率0.9％
Pについて，155＝12×12+11
（12周して，11進む）
Qについて，155＝6×25+5
（25周して5進む）
よってP，Qの位置は，下のようになる。
【P，Qの位置2点】
そのまま△SPQの面積を求めるのは辛いので，円の中心Oを利用する。
中心をOとする。
中心角と弧の長さの関係から，
∠POQ=360*3/12=90° ∠SOQ=360*2/12=60°
∠SOP=30° よって，
△SOQ=1/2*3*3/2 √3=(9√3)/4 〖 cm〗^2 （正三角形）
△SOP=1/2*3*3/2=9/4 cm^2 （SからOPに垂線）
△OPQ=1/2*3*3=9/2 cm^2 （直角二等辺三角形）
求める面積は，
(9√3)/4+9/4-9/2=(9√3)/4-9/4=(9√3-9)/4 cm^2
【コメント】
（2）は，やばいと思って逃げるべき。逃げなかった人が多くて，問2，問3の正答率低下につながった。
-----------------------------------------------------------------------
問2（4点）正答率37.8％
0≦x≦5のとき，
△APQ=y=1/2*2x*x=x^2
この時点で，イかオ。なんだけど，5≦xのとき，明らかに重なる部分面積増えている。増えているのはイである。よって イ
【コメント】
真面目に考えた人が可哀想。なお，5≦xでは以下のようになる。
QB＝2x－10，QA＝2x，AP＝xで，△QBR∽△QAPより，(2x-10):2x=BR:x BR=x-5
重なった部分の面積は，
1/2×(x+x-5)×10=5(2x-5)=10x-25
となる。直線となるから，どちらにせよイ。
もう少し選択肢を考えるべきだった。
-----------------------------------------------------------------------
問3（1）（4点）正答率39.3％
AP＝x，AQ＝2x，AB＝10なので，体積は
1/2*x*2x*10*1/3=20 【方程式2点】
10/3 x^2=20 x^2=6…①【1点】 x>0より，x=6
6 cm
【コメント】
明らかにサービス問題です。教科書レベル。しかし，前述の問1のせいで，簡単だと気づけなかった受験生が多かったと思われます。
問3（2）（4点）正答率9.0％
＜立体切断の大原則＞
１，同一平面にある点は結んでよい。
ということで，まずPQを結ぶ。
PRも結んでよい。
２，向かい合う辺は平行
Rから，PQに平行な線を引く。
このとき，点Mが線分BF上にあるなら，MとQを結べばいいだけなので，切り口は四角形となってしまう。BR＝1，2，3，4のときは，明らかにBF上にきてしまう。（AP≧BRだから。）
BR＝5のとき，AP：AQ＝1：2であることを考えると，BR：BM＝1：2となるから，BM＝10 cm。ギリギリ，BF上にあるので，四角形となる。
よって，残りの6～9が五角形となる。
ちなみにどうやって作図するのかと言うと，
２まで同じ。
Mから線分PRに平行な線を引き，EFとの交点をIとする。後は，IとQを結べばいいだけ。ご覧のとおり，切り口が五角形となる。
4/9
※ちなみに，同一平面にも無く，平行な線も無い場合
例） 辺EFの中点をI，辺FGの中点をJとします。3点D，I，Jを通る平面で立方体を切断します。
１，まずIJを結ぶ。
２，DIは，DIが（面を通り）最短距離となるように。
最短距離となるように引けばよいから，このとき，△DKA∽△IKEとなる。展開図を書いて，長方形DHFB
を書き，一直線を引けばわかりやすい。
３，後は，向かい合う辺と平行になるように引けばよい。
これで君も切断面マスターだ！
【コメント】
「知っていれば」瞬殺。知らない中学生が多かったと思われる。
-----------------------------------------------------------------------
問題が発表された当初，多くの塾の先生は「なんて簡単なんだ」と意見しましたが，問1（2）の難しさ，問2を真面目に解いてしまった，問3（1）を簡単だと見抜けない，問3（2）を知らない受験生が予想以上に多かったのか，平均点は低め。問題演習においては，難易度を見極める能力も重要になってきます。
難易度見極めの練習として，2016年度はちょうどよいでしょう。
立方体切断の話が出ています。知っていれば瞬殺，知らなければOUTです。知らない受験生の方が多かったので，プリント内で詳しく解説しておきました。後々にもっと詳しい解説を，別記事で載せようと思います。「向かい合う辺は平行！」これさえ知っていればなんとかなります。
TITLE：2016年度 裁量問題 数学 解説
出題分野：平面図形，規則性，関数，確率，立体切断
出典：平成28年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL：http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html
.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1otpw__-qW2UbDjBPbnED9snZbNllLdrl
＜検索用コード＞
学校裁量問題の問題と解説⑧
【出典：2016年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1 図1のように，半径が3 cmの円の円周を12等分する12個の点があり，そのうちの1つをSとします。
点P，Qは点Sを同時に出発し，Pは矢印アの方向へ，1秒ごとに円周上の点を1個ずつ，Qは矢印イの方向へ，1秒ごとに円周上の点を2個ずつ移動します。例えば，1秒後の3点S，P，Qのそれぞれの位置は図2のようになります。次の（1），（2）に答えなさい。
（1）5秒後に，3点S，P，Qを結んでできる三角形の∠SPQの大きさを求めなさい。
（2）155秒後に，3点S，P，Qを結んでできる△SPQをかき入れ，点P，Qをそれぞれ示しなさい。また，このときの△SPQの面積を求めなさい。
図1
図2 イ ア
問2 右の図のように，1辺が10 cmの正方形ABCDがあります。頂点Bから辺ABを10 cm延長したところに点Eをとり，辺AD，線分AE上にそれぞれ点P，Qを，2AP＝2AQとなるようにとります。APの長さをx cmとし，正方形ABCDと直角三角形APQが重なってできる部分の面積をy cm2とします。このときの横軸xと縦軸yの関係を表したグラフとして最も適当なものを，次のア～オから選びなさい。ただし，点Oは原点とします。
ア
イ
ウ
エ
オ
問3 図1のように，1辺が10 cmの立方体ABCD-EFGHがあります。辺AD，AE上にそれぞれ点P，Qを，2AP＝AQとなるようにとります。
次の（1），（2）に答えなさい。 図1
（1）図1の立方体を3点B，P，Qを通る平面で切ります。頂点Aをふくむ立体の体積が20 cm3のとき，APの長さは何cmになりますか。APの長さをx cmとして方程式をつくり，求めなさい。
（2）図2のように，1から9までの数字を1つずつ書いた9個のボールがあります。この9個のボールを袋に入れ，袋の中から1個のボールを取り出し，そのボールに書かれた数をaとします。
図3は，図1の立方体で，AP＝4 cmとしたものです。辺BC上に，点Rをとり，BRの長さをa cmとします。
図3の立方体を3点P，Q，Rを通る平面で切りとるときの切り口の図形が，五角形となる確率を求めなさい。
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨
図2
図3
【解答例】 配点21点/60点
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問1（1）（3点）正答率63.2％
5秒後の位置は，指で数えるなりすれば分かる。
弧SQは円周の長さの1/6倍である。
よって，∠SPQ=180×1/6=30°
問1（2）（6点）正答率0.9％
Pについて，155＝12×12+11
（12周して，11進む）
Qについて，155＝6×25+5
（25周して5進む）
よってP，Qの位置は，下のようになる。
【P，Qの位置2点】
そのまま△SPQの面積を求めるのは辛いので，円の中心Oを利用する。
中心をOとする。
中心角と弧の長さの関係から，
∠POQ=360*3/12=90° ∠SOQ=360*2/12=60°
∠SOP=30° よって，
△SOQ=1/2*3*3/2 √3=(9√3)/4 〖 cm〗^2 （正三角形）
△SOP=1/2*3*3/2=9/4 cm^2 （SからOPに垂線）
△OPQ=1/2*3*3=9/2 cm^2 （直角二等辺三角形）
求める面積は，
(9√3)/4+9/4-9/2=(9√3)/4-9/4=(9√3-9)/4 cm^2
【コメント】
（2）は，やばいと思って逃げるべき。逃げなかった人が多くて，問2，問3の正答率低下につながった。
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問2（4点）正答率37.8％
0≦x≦5のとき，
△APQ=y=1/2*2x*x=x^2
この時点で，イかオ。なんだけど，5≦xのとき，明らかに重なる部分面積増えている。増えているのはイである。よって イ
【コメント】
真面目に考えた人が可哀想。なお，5≦xでは以下のようになる。
QB＝2x－10，QA＝2x，AP＝xで，△QBR∽△QAPより，(2x-10):2x=BR:x BR=x-5
重なった部分の面積は，
1/2×(x+x-5)×10=5(2x-5)=10x-25
となる。直線となるから，どちらにせよイ。
もう少し選択肢を考えるべきだった。
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問3（1）（4点）正答率39.3％
AP＝x，AQ＝2x，AB＝10なので，体積は
1/2*x*2x*10*1/3=20 【方程式2点】
10/3 x^2=20 x^2=6…①【1点】 x>0より，x=6
6 cm
【コメント】
明らかにサービス問題です。教科書レベル。しかし，前述の問1のせいで，簡単だと気づけなかった受験生が多かったと思われます。
問3（2）（4点）正答率9.0％
＜立体切断の大原則＞
１，同一平面にある点は結んでよい。
ということで，まずPQを結ぶ。
PRも結んでよい。
２，向かい合う辺は平行
Rから，PQに平行な線を引く。
このとき，点Mが線分BF上にあるなら，MとQを結べばいいだけなので，切り口は四角形となってしまう。BR＝1，2，3，4のときは，明らかにBF上にきてしまう。（AP≧BRだから。）
BR＝5のとき，AP：AQ＝1：2であることを考えると，BR：BM＝1：2となるから，BM＝10 cm。ギリギリ，BF上にあるので，四角形となる。
よって，残りの6～9が五角形となる。
ちなみにどうやって作図するのかと言うと，
２まで同じ。
Mから線分PRに平行な線を引き，EFとの交点をIとする。後は，IとQを結べばいいだけ。ご覧のとおり，切り口が五角形となる。
4/9
※ちなみに，同一平面にも無く，平行な線も無い場合
例） 辺EFの中点をI，辺FGの中点をJとします。3点D，I，Jを通る平面で立方体を切断します。
１，まずIJを結ぶ。
２，DIは，DIが（面を通り）最短距離となるように。
最短距離となるように引けばよいから，このとき，△DKA∽△IKEとなる。展開図を書いて，長方形DHFB
を書き，一直線を引けばわかりやすい。
３，後は，向かい合う辺と平行になるように引けばよい。
これで君も切断面マスターだ！
【コメント】
「知っていれば」瞬殺。知らない中学生が多かったと思われる。
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問題が発表された当初，多くの塾の先生は「なんて簡単なんだ」と意見しましたが，問1（2）の難しさ，問2を真面目に解いてしまった，問3（1）を簡単だと見抜けない，問3（2）を知らない受験生が予想以上に多かったのか，平均点は低め。問題演習においては，難易度を見極める能力も重要になってきます。
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