2015年度 裁量問題 数学 解説

2019/11/19

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2015年度は,正答率1桁の問題がないという,珍しい年です。正答率10%代の問題が多く,ある意味難易度調整に成功しています。

最上位高校では,差がつかないですね。1問ぐらいえげつない問題を用意してもいい気がします。

2013年度に三平方の定理を出しまっくた反動なのか,2014,2015と連続して,裁量問題で三平方の定理が出題されていません。難問に三平方がないって珍しいですね。

TITLE:2015年度 裁量問題 数学 解説
出題分野:関数,確率,平面図形,回転体
出典:平成27年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1V1WysNk9ayXwsjP6aep7hvagTTi4vnJo
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学校裁量問題の問題と解説⑦
【出典:2015年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1 大小2つのさいころを同時に投げ,下の図にルールIまたはルールIIにしたがって点Pをとります。点Oは原点とします。次の問いに答えなさい。

(ルールI)
 点Pのx座標は,大きいさいころの出た目の数とし,点Pのy座標は,小さいさいころの出た目の数とします。
 例えば,大きいさいころの出た目の数が1,小さいさいころの出た目の数が2のとき,点Pは(1,2)となります。
(ルールII)
 点Pのx座標は,大きいさいころの出た目の数が偶数ならばその数とし,奇数ならばその数の符号を負とした数とします。また,点Pのy座標は,小さいさいころの出た目の数が偶数ならばその数とし,奇数ならばその数の符号を負とした数とします。
 例えば,大きいさいころの出た目の数が1,小さいさいころの出た目の数が2のとき,点Pは(-1,2)となります。
(1) ルールIにしたがうとき,点Pが関数y=6/x の
 グラフ上の点になる確率を求めなさい。
(2) ルールIIにしたがうとき,点Pと点(1/2,1/2)との距
 離が5以下になる確率を求めなさい。

問2 図1のように,OA=5 cmの直角二等辺三角形OABがあります。次の(1)~(3)に答えなさい。ただし,円周率はπを用いなさい。

図1
(1)図1の△OABを,点Oを中心として矢印の方向に20°回転させるとき,点Bが動いてできる弧の長さを求めなさい。
(2)図1の△OABを,点Oを中心として矢印の方向に90°回転させるとき,辺ABが動いてできる図形の面積を求めなさい。
(3)図2のように,図1の△OABと平行で,距離が5 cmの直線lがあります。△OABを,辺OAを軸として1回転させてできる立体をP,直線lを軸として1回転させてできる立体をQとします。立体Pの体積を求めなさい。また,立体Pの体積は,立体Qの体積の何倍ですか,求めなさい。
                     l












【解答例】            配点18点/60点
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問1(1)(3点)正答率68.3%
xy=6となる(x, y)の組は,(1, 6)(2, 3)(3, 2)(6, 1)
の4通り。
1/9
問1(2)(4点)正答率12.3%
コンパスを持っているので,以下のような図を描けば良い。

16通りあるから,
16/36=4/9
【コメント】
 (2)は,高校入試史上最も良い問題ですね。
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問2(1)(3点)正答率21.7%
半径OB,中心角20°の扇形の弧の長さを求めればいいだけ。
10√2×20/360×10√2×1/18×π=(5√2 π)/9 cm



問2(2)(4点)正答率12.5%
動かしてできる三角形を△OA’B’とする。
弧A’Aを延長して,OB’との交点をC,OBとの交点をC’とする。すると,扇形OC’Aと扇形OCAの面積が等しくなる。よって,求める面積は,
(5√2)^2×π×1/4-5^2×π×1/4=π/4 (50-25)=25/4 π 〖cm〗^2

問2(3)(4点)正答率13.1%
P:5×5×π×5×1/3=125/3 π〖 cm〗^3
BOを延長し,lとの交点をEとする。
すると,
Q:10×10×π×10×1/3-5×5×π×5-125/3 π
=π(1000/3-125-125/3)
=500/3 π  P/Q=125/500=1/4 倍
【コメント】
 (2)は,2010年度高校入試で正答率0.0%だった問題と全く同じ考え方をする問題です。過去問演習がいかに大事かわかりますね。道教委の模範解答は,長々とわけわからんこと書いていますが,上記のような解答でよいと思われます。(ちゃんと等しい理由を書く。)
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 正答率1ケタ台の問題がないという,大変珍しい年になっております。最上位高校では差がつかないですね。


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