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2015年度　裁量問題　数学　解説

2019/11/19

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2015年度は，正答率1桁の問題がないという，珍しい年です。正答率10％代の問題が多く，ある意味難易度調整に成功しています。

最上位高校では，差がつかないですね。1問ぐらいえげつない問題を用意してもいい気がします。

2013年度に三平方の定理を出しまっくた反動なのか，2014，2015と連続して，裁量問題で三平方の定理が出題されていません。難問に三平方がないって珍しいですね。

TITLE：2015年度　裁量問題　数学　解説
出題分野：関数，確率，平面図形，回転体
出典：平成27年度　北海道　公立高校入試　過去問
URL：http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1V1WysNk9ayXwsjP6aep7hvagTTi4vnJo
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学校裁量問題の問題と解説⑦
【出典：2015年度　北海道　高校入試　過去問】
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問1　大小2つのさいころを同時に投げ，下の図にルールIまたはルールIIにしたがって点Pをとります。点Oは原点とします。次の問いに答えなさい。

（ルールI）
　点Pのx座標は，大きいさいころの出た目の数とし，点Pのy座標は，小さいさいころの出た目の数とします。
　例えば，大きいさいころの出た目の数が1，小さいさいころの出た目の数が2のとき，点Pは（1，2）となります。
（ルールII）
　点Pのx座標は，大きいさいころの出た目の数が偶数ならばその数とし，奇数ならばその数の符号を負とした数とします。また，点Pのy座標は，小さいさいころの出た目の数が偶数ならばその数とし，奇数ならばその数の符号を負とした数とします。
　例えば，大きいさいころの出た目の数が1，小さいさいころの出た目の数が2のとき，点Pは（－1，2）となります。
(1)　ルールIにしたがうとき，点Pが関数y=6/x の
　グラフ上の点になる確率を求めなさい。
(2) ルールIIにしたがうとき，点Pと点(1/2,1/2)との距
　離が5以下になる確率を求めなさい。

問2　図1のように，OA＝5 cmの直角二等辺三角形OABがあります。次の（1）～（3）に答えなさい。ただし，円周率はπを用いなさい。

図1
（1）図1の△OABを，点Oを中心として矢印の方向に20°回転させるとき，点Bが動いてできる弧の長さを求めなさい。
（2）図1の△OABを，点Oを中心として矢印の方向に90°回転させるとき，辺ABが動いてできる図形の面積を求めなさい。
（3）図2のように，図1の△OABと平行で，距離が5 cmの直線lがあります。△OABを，辺OAを軸として1回転させてできる立体をP，直線lを軸として1回転させてできる立体をQとします。立体Pの体積を求めなさい。また，立体Pの体積は，立体Qの体積の何倍ですか，求めなさい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 l

【解答例】　　　　　　　　　　　　配点18点/60点
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問1（1）（3点）正答率68.3％
xy=6となる（x, y）の組は，（1, 6）（2, 3）（3, 2）（6, 1）
の4通り。
1/9
問1（2）（4点）正答率12.3％
コンパスを持っているので，以下のような図を描けば良い。

16通りあるから，
16/36=4/9
【コメント】
　（2）は，高校入試史上最も良い問題ですね。
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問2（1）（3点）正答率21.7％
半径OB，中心角20°の扇形の弧の長さを求めればいいだけ。
10√2×20/360×10√2×1/18×π=(5√2 π)/9 cm

問2（2）（4点）正答率12.5％
動かしてできる三角形を△OA’B’とする。
弧A’Aを延長して，OB’との交点をC，OBとの交点をC’とする。すると，扇形OC’Aと扇形OCAの面積が等しくなる。よって，求める面積は，
(5√2)^2×π×1/4-5^2×π×1/4=π/4 (50-25)=25/4 π 〖cm〗^2

問2（3）（4点）正答率13.1％
P:5×5×π×5×1/3=125/3 π〖 cm〗^3
BOを延長し，lとの交点をEとする。
すると，
Q:10×10×π×10×1/3-5×5×π×5-125/3 π
=π(1000/3-125-125/3)
=500/3 π　　P/Q=125/500=1/4 倍
【コメント】
　（2）は，2010年度高校入試で正答率0.0％だった問題と全く同じ考え方をする問題です。過去問演習がいかに大事かわかりますね。道教委の模範解答は，長々とわけわからんこと書いていますが，上記のような解答でよいと思われます。（ちゃんと等しい理由を書く。）
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　正答率1ケタ台の問題がないという，大変珍しい年になっております。最上位高校では差がつかないですね。

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