2014年度 裁量問題 数学 解説

2019/11/18

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2014年度は昨年度みたいに露骨に易しい問題は出題されませんでしたが,露骨に難しい問題も出題されませんでした。バランスはよさげです。しかし,標準問題が易しすぎたという。

問1みたいにひたすら読解力試される整数問題は,北海道にしては珍しいですね。

TITLE:2014年度 裁量問題 数学 解説

出題分野:関数,整数問題,相似
出典:平成26年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1uwfjuNTq2C0jL9xVg12RPChpFRuG9TyW

<検索用コード>

学校裁量問題の問題と解説⑥
【出典:2014年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1  次のように,xとyについての2つの二元一次方程式
    ア x+ イ y=10…①
    ア x+ イ y=2…②
があります。
   この2つの方程式の ア には,1,3,5のいずれか1つの数を当てはめ, イ には2,4,6のいずれか1つの数を当てはめます。次の(1)(2)に答えなさい。
(1)①,②の方程式を組みにして,連立方程式をつくります。この連立方程式をみたすx,yの値がともに整数となるのは, ア , イ にそれぞれどのような数を当てはめたときですか,その数の組を4つ求めなさい。
(2)①,②の方程式のグラフをかき,①,②のグラフとy軸によって囲まれる三角形をつくります。この三角形の面積が最小となる値を,次のように求めるとき, ウ ~ オ に当てはまる数を,それぞれ書きなさい。
<解答>
 ①のグラフとy軸との交点をA,②のグラフとy軸との交点をBとし,①,②のグラフとy軸によって囲まれてできる三角形の底辺を辺ABとすると,辺ABの長さが最小となるときの値は
 ウ である。
 また,三角形の高さは,①のグラフと②のグラフの交点のx座標であるから,三角形の高さが最小となるのは,x座標が エ のときである。
 よって,①,②のグラフとy軸によって囲まれてできる三角形の面積が最小となる値は
 オ である。
問2 次の(1)(2)に答えなさい。
(1)下の図のように,線分ABを直径とする半円があります。点C,Dを弧AB上の点とし,点Aに近いほうから,点C,Dとします。AB//CD,AB:CD=2:1である線分CDを,定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし,点を表す記号C,Dをかき入れ,作図に用いた線は消さないこと。
(2)下の図のように,線分ABを直径とする半円があり,線分ABの中点を点Oとします。点Oを通り線分ABに垂直な直線と弧ABとの交点をEとし,線分OEの中点をFとします。点A,Fを通る直線と弧ABとの交点のうち,点Aと異なる点をGとします。△AOFの面積が10 cm2のとき,△AGBの面積を求めなさい。
【解答例】            配点18点/60点
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問1
(1)(1点×4)正答率55.6%
①+②より,2 ア x=12  ア x=6
よって, ア には6の約数である,1か3しか入らない。
①-②より,2 イ y=8  イ y=4
よって, イ には4の約数である,2か4しか入らない。となると,(ア,イ)の組み合わせは
(1, 2)(1, 4)(3, 2)(3, 4)しかない。
【コメント】
たぶん本番こんな鮮やかな解き方はできません。がむしゃらに代入して解いたら,「5と6は無いな。」と言うことに3分ぐらいで気づくと思われます。
(2)(ウエ各2点,オ1点)正答率3.0%
①とy軸との交点は,x=0を代入して
 イ y=10
y=10/イ
②とy軸との交点も,x=0を代入して,
y=-2/イ
イは2,4,6なので,ABの長さは
10/イ+2/イ=12/イ イ=6を代入して最小値 ウ)2

①と②との交点のx座標は,(1)より
x=6/ア 最小となるのはア=5を代入し,エ)6/5
よって,三角形の面積が最小値は
1/2×2×6/5=オ)6/5
【コメント】
ア,イがa,bで置かれていたら正答率上がった気がします。所詮文字で置いてコネコネ中2でも解けます。冷静になることが出来たらって話ですが。無理ですね。
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問2
(1)(4点)正答率47.9%
まず線分ABの垂直2等分線を引く。次に線分OA,線分OBの垂直2等分線を引く。
道教委の模範解答は,OA=AC,OB=BDとなるように作図している。(正三角形がたくさんできて,中点連結定理)
↑は,線分CDを定規で結ぶ必要があります。引くの忘れていました。
(2)(5点)正答率5.7%
半径をrとする。OA=r,OF=r/2 だから,
△AOF=1/2×r×r/2=r^2/4=10 r=2√10 
三平方の定理より,AF=5√2,AB=4√10
△AOF∽△AGBだから,面積比は,
AF^2:AB^2=50:160=5:16なので,
△AGB=10×16/5=32 cm^2
【コメント】
 ちょうどよい難易度な気がします。部分点は,半径とFAで2点,BAで1点,5:16で1点もらえます。
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 極端に易しい問題は出題されませんでした。この年は標準問題が非常に易しかったので(易しいと気づけば)裁量に割く時間がたっぷりありました。このぐらいの難易度だと嬉しいですね。
 問1のように,ひたすら読解力が試される問題は,北海道では珍しいです。

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