最終手段座標設定【2016年度北海道大学】高校入試　数学　良問・難問

最終手段座標設定【2016年度北海道大学】

2019/11/13

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大学入試で図形問題が出た時，様々な解法があります。今の過程だと，数Aの幾何的に解く，数2の図形と方程式を利用する，数Bのベクトル，数3の複素数平面がありますね。

解けないとき，最終手段として，数2の図形と方程式があります。計算量は多くなりますが，機械的に解くことが出来ます。こういうところで紹介されています。

大抵は，60°や45°など，有名角が出てくると使いやすいですね。

ちなみに中学数学でもたまに使えます。（そのうち問題紹介します。）

今回は，2016年度北大の問題で，例を紹介します。模範解答は他のサイト見てください。（笑）

TITLE：最終手段座標設定
出典：2016年度　北海道大学　過去問　範囲：三角比，三角関数，ベクトル

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1BtKUPNXFJPa7cCwFTwoUSOLuSwo2YgBZ

検索用コード

最終手段座標設定　　　　　得点　　　　/60
【出典：2016年度　北海道大学　数学2B】
　△ABCが，AB＝2，AC＝1+√3，∠ACB＝45°をみたすとする。
（1）β=∠ABCとおくとき，sin⁡β および cos⁡2β の値を求めよ。
（2）（1）の β の値を全て求めよ。
（3）△ABCの外接円の中心をOとする。△ABCが鋭角三角形であるとき，(OC) ⃗=s(OA) ⃗+t(OB) ⃗をみたす実数s，tを求めよ。
【解答例】
（1）

図より，
AP=AC/√2=(1+√3)/√2=((√2+√6))/2
AB sin⁡β=APより，sin⁡β=((√2+√6)/2)/2=(√2+√6)/4
cos⁡2β=1-2 sin^2⁡β=1-1/8 (√2+√6)^2=-√3/2

（2）
0<β<πより，0<2β<2πであるから，
(1)より，2β=5/6 π，7/6 π
β=75°,105°

（3）
【最終手段の解答】

△ABCは鋭角三角形なので，β=5/12 π=75°となり，
∠BAC＝60°となる。このとき，CB＝√3となる。
図より，xy平面で，Cを原点とすると，
A(1+√3,0),B(√3,√3)となる。
点Oは3点A，B，Cを通る円の中心である。この円は，x^2+y^2+ax+by=0と表せ，
Aの座標を代入し，
4+2√3+(1+√3)a=0⋯①
Bの座標を代入し，
6+√3 (a+b)=0⋯②
①より，
a=-(4+2√3)/(1+√3)=-(4+2√3)(√3-1)/2
=-(2√3+2)/2=-√3-1であるので，②に代入し，
6+√3 (-√3-1+b)=6-3-√3+√3 b=0
b=(√3-3)/√3=1-√3
よって，x^2+y^2+(-1-√3)x+(1-√3)y=0
O((√3+1)/2,(√3-1)/2)となる。
(OC) ⃗=((-√3-1)/2,(-√3+1)/2)
(OA) ⃗=((√3+1)/2,(-√3+1)/2)，(OB) ⃗=((√3-1)/2,(√3+1)/2)
(OC) ⃗=s(OA) ⃗+t(OB) ⃗とすると，
(-√3-1)/2=(√3+1)/2 s+(√3-1)/2 t⋯①
(-√3+1)/2=(-√3+1)/2 s+(√3+1)/2 t⋯②
①＋②より，-√3=s+√3 t
①－②より，-1=√3 s-t
この連立方程式を解いて，
s=-√3/2，t=-1/2

【コメント】
　有名角が出てきて，ベクトル，複素数平面等分からなかったら，最終手段座標設定があります。

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