円周角と偽りの図（2012年裁量問題解説）
2019/11/11
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平成24年度，北海道高校入試，数学，裁量問題の解説です。
この年は，過去3年間が難しかったのを反省して，適度な難易度になりました。難しすぎると「裁量問題は捨てよう！」なんていう指導がされました。それじゃ意味ないですね。正答率も落ち着ています。
まあこの年は英語と社会がむごかったので，5教科平均点はそんなに変わらなかったのですが。
問2が珍しく円周角の角度を求める問題です。図に注意。
TITLE：2012年度 裁量問題 数学 解説
出題分野：2次方程式応用，円周角，関数
出典：平成24年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL：http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html
.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1nqNECqbpvUyMiEgbjqxQqRntxdpgABI3
＜検索用コード＞
学校裁量問題の問題と解説④
【出典：2012年度 北海道 高校入試 過去問】
-----------------------------------------------------------------------
問1 2つのさいころA,Bを同時に投げて，Aの出た目をa，Bの出た目をbとして，二次方程式
x^2+ax-ab=0を作ります。
この2次方程式の1つの解がx＝－6となるときのa，bの値ともう1つの解を，2組求めなさい。
問2 下の図のように，線分ACを直径とする円Oの円周上に，点B，D，Eをとり，線分ADとBEとの交点をFとします。弧ABが弧BCの2倍の長さ，弧DEが弧EAの2倍の長さ，∠CAD＝33°のとき，次の（1），（2）に答えなさい。
（1）∠BOCの大きさを求めなさい。
（2）∠AFBの大きさを求めなさい。
問3 下の図のように，関数y＝－x＋8……①のグラフがあります。①のグラフとx軸，y軸との交点をそれぞれA，Bとします。x軸上に点C（－6, 0）を，線分AB上に点Pをとり，線分CPとy軸との交点をQとします。点Oは原点とします。
△BPQ＝△COQとなるとき，点Pの座標を求めなさい。
【解答例】 配点17点/60点
-----------------------------------------------------------------------
問1（4点）正答率23％ぐらい
x^2+ax-ab=0 に，x=-6を代入して，
36-6a-ab=0 a(b+6)=36 36=2^2*3^2
b＋6＝9, 12, 18, 36
b＝3のとき，a＝4 x＝2
b＝6のとき，a＝3 x＝3
【（a, b）の組 各1点 xの値 各1点】
【コメント】
4年連続出された整数問題ですが，最後の年で簡単になりましたね。でもこれぐらいの難易度が適切な気がします。
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問2（1）（3点）正答率 38.5％
AC直径で，弧AB：弧BC＝2：1だから，中心角の合計180°なので，∠BOC＝180°÷3＝60°
問2（2）（4点）正答率12.0％
弧AE：弧ED＝1：2で，円周角の合計は90－33＝57°だから，∠EBD＝57÷3×2＝38° 弧ABの中心角は120°だから，円周角∠ADB＝60° 外角の関係から，∠AFB＝38＋60＝98°
【コメント】
（1）は解けて当たり前（の割には正答率低い……。）（2）は，都立高校の独自問題でよく出題されますね。
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問3（6点）正答率5.8％
※BC//POのとき，△OPB＝△OPCとなる。
△BPQ＝△OPB－△OPQ，△COQ＝△OPC－△OPQより，△BPQ＝△COQとなる。記述式の答案でそこまでは書かなくて良い。
2点B，Cを通る直線と2点O，Pを通る直線が平行のとき，△BPQ＝△COQとなる。
【どういうときに△BPQ＝△CQQとなるか書かれている 2点】
直線BCの傾きは，4/3であるから，直線OPの式は，y=4/3 x…①となる。【OPの式 1点】
点Pは，y=-x+8…②と直線OPの交点であるから，①，②を連立した方程式を解いて，x=24/7,y=32/7
P(24/7,32/7) 【x,y各1点，Pの座標1点】
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裁量導入4年目，2011年度までがあまりにも難しくて「裁量は捨てよう。」という指導が全道でされた結果，それじゃ意味が無いので適度な難易度になりました。これぐらいで良い気がします。正答率も丁度良いですね。2013年度から迷走しますが……。
この年は，過去3年間が難しかったのを反省して，適度な難易度になりました。難しすぎると「裁量問題は捨てよう！」なんていう指導がされました。それじゃ意味ないですね。正答率も落ち着ています。
まあこの年は英語と社会がむごかったので，5教科平均点はそんなに変わらなかったのですが。
問2が珍しく円周角の角度を求める問題です。図に注意。
TITLE：2012年度 裁量問題 数学 解説
出題分野：2次方程式応用，円周角，関数
出典：平成24年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL：http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html
.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1nqNECqbpvUyMiEgbjqxQqRntxdpgABI3
＜検索用コード＞
学校裁量問題の問題と解説④
【出典：2012年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1 2つのさいころA,Bを同時に投げて，Aの出た目をa，Bの出た目をbとして，二次方程式
x^2+ax-ab=0を作ります。
この2次方程式の1つの解がx＝－6となるときのa，bの値ともう1つの解を，2組求めなさい。
問2 下の図のように，線分ACを直径とする円Oの円周上に，点B，D，Eをとり，線分ADとBEとの交点をFとします。弧ABが弧BCの2倍の長さ，弧DEが弧EAの2倍の長さ，∠CAD＝33°のとき，次の（1），（2）に答えなさい。
（1）∠BOCの大きさを求めなさい。
（2）∠AFBの大きさを求めなさい。
問3 下の図のように，関数y＝－x＋8……①のグラフがあります。①のグラフとx軸，y軸との交点をそれぞれA，Bとします。x軸上に点C（－6, 0）を，線分AB上に点Pをとり，線分CPとy軸との交点をQとします。点Oは原点とします。
△BPQ＝△COQとなるとき，点Pの座標を求めなさい。
【解答例】 配点17点/60点
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問1（4点）正答率23％ぐらい
x^2+ax-ab=0 に，x=-6を代入して，
36-6a-ab=0 a(b+6)=36 36=2^2*3^2
b＋6＝9, 12, 18, 36
b＝3のとき，a＝4 x＝2
b＝6のとき，a＝3 x＝3
【（a, b）の組 各1点 xの値 各1点】
【コメント】
4年連続出された整数問題ですが，最後の年で簡単になりましたね。でもこれぐらいの難易度が適切な気がします。
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問2（1）（3点）正答率 38.5％
AC直径で，弧AB：弧BC＝2：1だから，中心角の合計180°なので，∠BOC＝180°÷3＝60°
問2（2）（4点）正答率12.0％
弧AE：弧ED＝1：2で，円周角の合計は90－33＝57°だから，∠EBD＝57÷3×2＝38° 弧ABの中心角は120°だから，円周角∠ADB＝60° 外角の関係から，∠AFB＝38＋60＝98°
【コメント】
（1）は解けて当たり前（の割には正答率低い……。）（2）は，都立高校の独自問題でよく出題されますね。
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問3（6点）正答率5.8％
※BC//POのとき，△OPB＝△OPCとなる。
△BPQ＝△OPB－△OPQ，△COQ＝△OPC－△OPQより，△BPQ＝△COQとなる。記述式の答案でそこまでは書かなくて良い。
2点B，Cを通る直線と2点O，Pを通る直線が平行のとき，△BPQ＝△COQとなる。
【どういうときに△BPQ＝△CQQとなるか書かれている 2点】
直線BCの傾きは，4/3であるから，直線OPの式は，y=4/3 x…①となる。【OPの式 1点】
点Pは，y=-x+8…②と直線OPの交点であるから，①，②を連立した方程式を解いて，x=24/7,y=32/7
P(24/7,32/7) 【x,y各1点，Pの座標1点】
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裁量導入4年目，2011年度までがあまりにも難しくて「裁量は捨てよう。」という指導が全道でされた結果，それじゃ意味が無いので適度な難易度になりました。これぐらいで良い気がします。正答率も丁度良いですね。2013年度から迷走しますが……。
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