2012年度 裁量問題 数学 解説

2019/11/11

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平成24年度,北海道高校入試,数学,裁量問題の解説です。

この年は,過去3年間が難しかったのを反省して,適度な難易度になりました。難しすぎると「裁量問題は捨てよう!」なんていう指導がされました。それじゃ意味ないですね。正答率も落ち着ています。

まあこの年は英語と社会がむごかったので,5教科平均点はそんなに変わらなかったのですが。

TITLE:2012年度 裁量問題 数学 解説

出題分野:2次方程式応用,円周角,関数
出典:平成24年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h31gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1nqNECqbpvUyMiEgbjqxQqRntxdpgABI3
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学校裁量問題の問題と解説④
【出典:2012年度 北海道 高校入試 過去問】
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問1 2つのさいころA,Bを同時に投げて,Aの出た目をa,Bの出た目をbとして,二次方程式
x^2+ax-ab=0を作ります。
   この2次方程式の1つの解がx=-6となるときのa,bの値ともう1つの解を,2組求めなさい。

問2 下の図のように,線分ACを直径とする円Oの円周上に,点B,D,Eをとり,線分ADとBEとの交点をFとします。弧ABが弧BCの2倍の長さ,弧DEが弧EAの2倍の長さ,∠CAD=33°のとき,次の(1),(2)に答えなさい。
(1)∠BOCの大きさを求めなさい。
(2)∠AFBの大きさを求めなさい。

問3 下の図のように,関数y=-x+8……①のグラフがあります。①のグラフとx軸,y軸との交点をそれぞれA,Bとします。x軸上に点C(-6, 0)を,線分AB上に点Pをとり,線分CPとy軸との交点をQとします。点Oは原点とします。
   △BPQ=△COQとなるとき,点Pの座標を求めなさい。
【解答例】            配点17点/60点
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問1(4点)正答率23%ぐらい
x^2+ax-ab=0 に,x=-6を代入して,
36-6a-ab=0 a(b+6)=36 36=2^2*3^2
b+6=9, 12, 18, 36
b=3のとき,a=4 x=2
b=6のとき,a=3 x=3
【(a, b)の組 各1点 xの値 各1点】
【コメント】
 4年連続出された整数問題ですが,最後の年で簡単になりましたね。でもこれぐらいの難易度が適切な気がします。
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問2(1)(3点)正答率 38.5%
AC直径で,弧AB:弧BC=2:1だから,中心角の合計180°なので,∠BOC=180°÷3=60°
問2(2)(4点)正答率12.0%
弧AE:弧ED=1:2で,円周角の合計は90-33=57°だから,∠EBD=57÷3×2=38° 弧ABの中心角は120°だから,円周角∠ADB=60° 外角の関係から,∠AFB=38+60=98°

【コメント】
 (1)は解けて当たり前(の割には正答率低い……。)(2)は,都立高校の独自問題でよく出題されますね。
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問3(6点)正答率5.8%

※BC//POのとき,△OPB=△OPCとなる。
△BPQ=△OPB-△OPQ,△COQ=△OPC-△OPQより,△BPQ=△COQとなる。記述式の答案でそこまでは書かなくて良い。
2点B,Cを通る直線と2点O,Pを通る直線が平行のとき,△BPQ=△COQとなる。
【どういうときに△BPQ=△CQQとなるか書かれている 2点】
直線BCの傾きは,4/3であるから,直線OPの式は,y=4/3 x…①となる。【OPの式 1点】
点Pは,y=-x+8…②と直線OPの交点であるから,①,②を連立した方程式を解いて,x=24/7,y=32/7 
P(24/7,32/7) 【x,y各1点,Pの座標1点】
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 裁量導入4年目,2011年度までがあまりにも難しくて「裁量は捨てよう。」という指導が全道でされた結果,それじゃ意味が無いので適度な難易度になりました。これぐらいで良い気がします。正答率も丁度良いですね。2013年度から迷走しますが……。


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