良い文字の練習（2017年度埼玉県）高校入試　数学　良問・難問

良い文字の練習（2017年度埼玉県）

2019/10/17

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関数においては，「文字のままいかに計算するか」が重要です。高校入試だけでなく，高校数学でも大変重要。苦手な子多いけど。
（入試もそうですが，学力テストABC（北海道の公立中学校で受けさせられる色々と謎な模試）で出題されると，多くの中学生が撃沈する。）
丁度良い練習問題です。解けるとよいことあります。

TITLE：良い文字の練習
出典：2017年度埼玉県　範囲：中3関数

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=15wIjIxG0mNs-ErIqjcc4P35Vmzqzut2w

埼玉県が発表している模範解答は，相似を利用していました。そっちの方が計算が楽で，エレガントですが，多くの受験生が出来る解答はこちらでしょう。

＜検索用コード＞

出典：2017年度埼玉県
　下の図で，曲線は関数y＝ax2のグラフです。曲線上にx座標が－2，4である2点A，Bをとり，この2点を通る直線lをひきます。直線lがy軸と点C（0, 2）で交わるとき，次の各問に答えなさい。
　ただし，座標軸の単位の長さを1 cmとします。

問1　△OBCの面積を求めなさい。
問2　aの値を求めなさい。
問3　x軸上の0≦x≦4の範囲に点Pをとり，点Pを通ってy軸に平行な直線mをひきます。直線mと直線lとの交点をD，直線mと線分OBとの交点をEとします。
　　　△OABと△BDEの面積の比が4：1のとき，点Pのx座標を途中の説明も書いて求めなさい。その際，解答用紙の図を用いて説明してもよいものとします。

y=ax2の文字練習　解答例
範囲：中3関数難易度：★★★☆☆
問1（3点）
△OBC=1/2×2×4=4 〖cm〗^2

問2（3点）
A（－2, 4a），B（4, 16a）と表せるから，直線ABの
変化の割合=12a/6=2a　　AB:y=2ax+2
ここに，A（－2, 4a）を代入して，
a=1/4

問3（4点）
△OAB=△OCA+△OCB
=1/2×2×2+4=6 cm^2 より，
△BDE=6×1/4=3/2 cm^2
OB:y=x，AB:y=1/2 x+2だから，
Pのx座標をtとすると，D(t,1/2 t+2) ，E(t,t)
△BDE=1/2×(1/2 t+2-t)×(4-t)=3/2
2(1/2 t-2)(t-4)=6　　(t-4)^2=6
t-4=±√6　　0≤t≤4より，t=4-√6
4-√6

【コメント】
　埼玉県が発表している模範解答では，問3を相似を用いて解いていました。その方が計算が楽でエレガントなのですが，たぶん大半の受験生が思いつく解答がこれでしょう。
　文字の扱いの良い練習となります。良い問題。

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