作問者はたぶんそれを基礎事項だと思っている【2004年度センター2B】高校入試　数学　良問・難問

作問者はたぶんそれを基礎事項だと思っている【2004年度センター2B】

2019/10/10

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センター試験史上3番目に平均点が低い，2004年度数学2B。TOP（ワースト？）3の問題に共通なことは，

「三角関数が難しい」

である。基本的に三角関数何て，公式を適用していけばちゃらんぽらんに簡単な問題ばかりなのだが，この問題は下手したら最初でやられる。正攻法意外に，2つほど解法があるので，何が何でも思いついたものが勝ち。

まあでも，センター試験2Bはいまいち，「平均点を60点程度におさえる」のを忘れている気がする。どんなに上がったり下がったりしても，30～40点代，70～80点代はOUT。作問者は反省文。

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気分的な大学入試問題4
出典：2004年度　センター試験2B　三角関数
※現行過程に合わせ，rad表記にしている。radwimpsではない。
　αを，0f(θ)=sin⁡〖(θ-〗 a)-sin⁡θ
を考える。以下，　シ　～　セ　，　タ　には，あてはまるものは，選択肢の⓪～⑦から選べ。
【選択肢】
⓪
π/3 ①
π/4 ②
π/3 ③
π/2
④
2/3 π ⑤
3/4 π ⑥
5/6 π ⑦
π

（1）　方程式f(θ)=0解は，aを用いて，
θ=　シ　+a/2 と表される。さらに，この解θが，
sin⁡〖(θ-a)=1/2〗を満たすならば，a=　ス　である。

(2)　aを（1）で求めた角度とするとき，関数f(θ)は，
θ=　セ　のとき，最大値 √(　ソ　)/2 ，
θ=　タ　のとき，最小値-√(　チ　) である。

【解説】
（1）
f(θ)=0のとき，sin⁡〖(θ-a)=sin⁡θ 〗…①
0θ+(θ-a)=π　となり，θ=π/2+a/2
このとき，
sin⁡(θ-a)=sin⁡(π/2-a/2)=1/2
π/2-a/2=π/6　となるから，a=2/3 π

（2）
a=2/3 πのとき，
f(θ)=sin⁡(θ-2/3 π)-sin⁡θ
=sin⁡θ∙(-1/2)-cos⁡θ∙(√3/2)-sin⁡θ
=-√3/2 cos⁡θ-3/2 sin⁡θ=-√3 (1/2 cos⁡θ+√3/2 sin⁡θ )
=-√3 sin⁡(θ+π/6)
となり，
最大値は，θ=πのとき，√3/2
最小値は，θ=π/3 のとき，-√3
となる。

【コメント】
　最初が一番難しい問題。（その後の問題は公式を適用するだけ。）そのため点差がかなりついてしまう。そしてたぶん，作問者は，最初を「基本中の基本。」と思っている。いや基本だけどさ。
　地味に-√3でくくるの注意。
　たぶん基本的にちゃらんぽらんに簡単な三角関数が，少し変な問題出ると平均点が下がる。2004年度は，過去3番目に低い45.65点であった。作問者は反省文。

（1）解説の図

0
なお，万が一思いつかなかった場合，
和積公式（何と滅多に使われない公式をここで使える……。方程式の基本は因数分解に基づく。）
sin⁡(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β…①
sin⁡(α-β)=sin⁡α cos⁡β-cos⁡α sin⁡β…②
①－②より，
2 cos⁡α sin⁡β=sin⁡(α+β)-sin⁡(α-β)
α+β=θ-a，α-β=θとすると，
α=θ-a/2，β=-a/2 となり，
sin⁡〖(θ-〗 a)-sin⁡θ=2 cos⁡(θ-a/2) sin⁡(-a/2)=0
とすると，θ=a/2+π/2　となる。
その他逆算方法とかも無いわけでは無い。今回の問題の場合，
θ=　シ　+a/2 を，f(θ)=0に代入すると，楽。
　果たして新センターでそんなのが出るかは不明だが……。

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