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芸術的な高校入試第10回
出典：2014年度 沖縄県
難易度：★★★★☆☆ 美しさ：★★★☆☆☆
総試験時間：50分 配点：5点/60点
＜問題＞
円周上の3点A，B，Cを頂点とする△ABCについて，∠Bの二等分線と円との交点をDとし，∠ADB=∠CDEとなる点Eを円周上にとる。また線分BD，EDと辺ACとの交点をそれぞれP，Qとる。次の問いに答えなさい。
問2 AB＝9 cm，BC＝12 cm，AC＝14 cmのとき，PQの長さを求めなさい。
＜PDF，解答例はこちら↓↓＞
2014okinawa_art10.pdf
【解答例】
問1（3点）
△ADPと△CDQにおいて 仮定より∠ADP=∠CDQ…①
円周角の定理より， 弧ADに対する円周角は等しいから， ∠ABD=∠ACD 弧CDに対する円周角は等しいから， ∠CBD=∠CAD 仮定より∠ABD=∠CBDなので，∠ACD=∠CAD，すなわち∠DAP=∠DCQ…②
ゆえに，△DACは二等辺三角形なので， DA=DC…③
①～③より，1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，△ADP≡△CDQ |
問2（2点）
AB：BC=9：12=3：4=AP：PC
AC=14 cmなので，AP=6 cm，PC=8 cm
△ADP≡△CDQだから，AP=CQ=6 cm
ゆえに，PQ=14－12=2 cm
【Point】
△ABCにおいて，角Aの二等分線を引き，辺BCとの交点をDとする。このとき，
AB：AC＝BD：DC （左：右＝左：右！） |
【証明】
点Cから，線分DAに平行な直線を引き，直線BAとの交点をEとする。 AD//ECより，平行線の錯角，同位角は等しいから， ∠DAC＝∠ACE ∠DAB＝∠AEC 仮定より，∠DAC＝∠DABだから，∠ACE＝∠AEC したがって，2つの角が等しいから，△ACEは二等辺三角形なので，AC＝AE…① 平行線と線分の比より，AB：AE＝BD：DC，すなわち，AB：AC＝BD：DC |
【コメント】
高校数学でも覚えやすいから永遠とまとわりつく公式です。生きている限りは一生覚えていなければなりません。
今回の沖縄の問題は，図は美しくないですが，「丁度良い問題」だったので紹介しました。ただ配点厳しいですね。
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