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芸術的な高校入試第10回
出典:2014年度 沖縄県
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★☆☆☆
総試験時間:50分 配点:5点/60点
<問題>
円周上の3点A,B,Cを頂点とする△ABCについて,∠Bの二等分線と円との交点をDとし,∠ADB=∠CDEとなる点Eを円周上にとる。また線分BD,EDと辺ACとの交点をそれぞれP,Qとる。次の問いに答えなさい。問1 △ADP≡△CDQを証明しなさい。
問2 AB=9 cm,BC=12 cm,AC=14 cmのとき,PQの長さを求めなさい。
<PDF,解答例はこちら↓↓>
2014okinawa_art10.pdf
【解答例】
問1(3点)
△ADPと△CDQにおいて 仮定より∠ADP=∠CDQ…①
円周角の定理より, 弧ADに対する円周角は等しいから, ∠ABD=∠ACD 弧CDに対する円周角は等しいから, ∠CBD=∠CAD 仮定より∠ABD=∠CBDなので,∠ACD=∠CAD,すなわち∠DAP=∠DCQ…②
ゆえに,△DACは二等辺三角形なので, DA=DC…③
①~③より,1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので,△ADP≡△CDQ |
問2(2点)
AB:BC=9:12=3:4=AP:PC
AC=14 cmなので,AP=6 cm,PC=8 cm
△ADP≡△CDQだから,AP=CQ=6 cm
ゆえに,PQ=14-12=2 cm
【Point】
△ABCにおいて,角Aの二等分線を引き,辺BCとの交点をDとする。このとき, AB:AC=BD:DC (左:右=左:右!) |
【証明】
点Cから,線分DAに平行な直線を引き,直線BAとの交点をEとする。 AD//ECより,平行線の錯角,同位角は等しいから, ∠DAC=∠ACE ∠DAB=∠AEC 仮定より,∠DAC=∠DABだから,∠ACE=∠AEC したがって,2つの角が等しいから,△ACEは二等辺三角形なので,AC=AE…① 平行線と線分の比より,AB:AE=BD:DC,すなわち,AB:AC=BD:DC |
【コメント】
高校数学でも覚えやすいから永遠とまとわりつく公式です。生きている限りは一生覚えていなければなりません。
今回の沖縄の問題は,図は美しくないですが,「丁度良い問題」だったので紹介しました。ただ配点厳しいですね。
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