丁度良い角の二等分線公式(2014年度沖縄県)

2019/08/26

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お先真っ暗,雪国のスミオです。東京五輪が良い方向に動くのか悪い方向に動くのか,分かりませんね,教えてよ,小池百合子。

今回紹介するのは,丁度良い沖縄県の証明問題です。北海道と形式が非常に似ている証明問題。配点は厳しいですがね。

芸術的な高校入試第10回
出典:2014年度 沖縄県

難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★☆☆☆
総試験時間:50分 配点:5点/60点

円周上の3点A,B,Cを頂点とする△ABCについて,∠Bの二等分線と円との交点をDとし,∠ADB=∠CDEとなる点Eを円周上にとる。また線分BD,EDと辺ACとの交点をそれぞれP,Qとる。次の問いに答えなさい。
Screenshot_20190826-172550.png
問1 △ADP≡△CDQを証明しなさい。
問2 AB=9 cm,BC=12 cm,AC=14 cmのとき,PQの長さを求めなさい。

<PDF>
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.pdf URL:https://drive.google.com/open?id=1p8ds1l3LUL2I-Y4iKFF3UYbgchZqCGIU




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【解答例】

13点)

ADPと△CDQにおいて

仮定より∠ADP=CDQ…①

 

円周角の定理より,

ADに対する円周角は等しいから,

ABD=ACD

CDに対する円周角は等しいから,

CBD=CAD

仮定より∠ABD=CBDなので,∠ACD=CAD,すなわち∠DAP=DCQ…②

 

ゆえに,△DACは二等辺三角形なので,

DA=DC…③

 

①~③より,1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので,△ADP≡△CDQ

 

22点)

ABBC=912=34=APPC

AC=14 cmなので,AP=6 cmPC=8 cm

ADP≡△CDQだから,AP=CQ=6 cm

ゆえに,PQ=1412=2 cm

 
Point

ABCにおいて,角Aの二等分線を引き,辺BCとの交点をDとする。このとき,

Screenshot_20190826-174219.png

ABACBDDC (左:右=左:右!)

 【証明】

Cから,線分DAに平行な直線を引き,直線BAとの交点をEとする。

AD//ECより,平行線の錯角,同位角は等しいから,

DAC=∠ACE

DAB=∠AEC

仮定より,∠DAC=∠DABだから,∠ACE=∠AEC

したがって,2つの角が等しいから,△ACEは二等辺三角形なので,ACAE…①

平行線と線分の比より,ABAEBDDC,すなわち,ABACBDDC

 

【コメント】

高校数学でも覚えやすいから永遠とまとわりつく公式です。生きている限りは一生覚えていなければなりません。

今回の沖縄の問題は,図は美しくないですが,「丁度良い問題」だったので紹介しました。ただ配点厳しいですね。

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