正四角錐の体積と比率

2019/08/25

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久々に,オリジナル問題を投下します。
正四角錐の体積は,重心などの知識が必要なため,高校数学でしか普通は解けませんが,以下のように,小学校,中学校数学でも解くことが可能です。ただ何かしらの誘導は入るでしょうね。

正四角錐の体積と比率
範囲:中1図形,中3計算 難易度:★★★☆☆ 目標時間:3分
下の図1のように,1辺がa cmの立方体ABCD-EFGHがあります。点B,D,E,Gを結び,正四角錐B-DEGを作ります。次の問いに答えなさい。

pira1.png

(1)1辺b cmの正四角錐の体積が,√2/12 b^3 cm^3であることを,上の図を用いて,次のように説明しました。 ア ~ ウ に入るaの式, エ に入るbの式を書きなさい。
 正四角錐B-DEGの体積は,立方体ABCD-EFGHから,合同な4つの四角錐の体積を引くことで求められる。aを用いて,立方体ABCD-EFGHの体積は, ア cm3と表せ,四角錐A-BCEの体積は, イ cm3と表せる。
したがって,正四角錐B-DEGの体積は, ア -4× イ = ウ cm3となる。
 ここで,正四角錐B-DEGの1辺の長さをb cmとすると,aはbを用いて,a= エ と表せる。これを, ウ に代入すると,1辺がb cmの正四角錐の体積は,√2/12 b^3 cm^3となる。

pira2.png

(2)図2は,正四角錐B-DEGを切り取ったものです。辺DE,DR,DQ上にそれぞれDP:PE=1:1,DQ:QG=2:1,DR:RB=3:1となる点P,Q,Rを取ります。DE=12 cmのとき,四角錐R-DPQの体積を求めなさい。

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