【正答率0%!?】2010年度北海道高校入試 軌跡の問題

2019/08/12

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どうもこんばんは,雪国のスミオです。
今回は,2010年度北海道,まさかの正答率0.0%の問題を紹介していきます。(0.01%等で,四捨五入されている可能性はアリ。)

ナンセンスな高校入試第3回
出典:2010年度 北海道高校入試 裁量大問6
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★☆☆☆☆☆
総試験時間:45分 配点:9点/60点

 下の図1のように,1辺の長さが4 cmの立方体ABCD-EFGHが平面Pの上にあります。辺CDの中点をMとします。この立方体に,次の【1】,【2】の操作を順に行います。図2は,【1】の操作を行った後の立方体です。このとき,次の(1),(2)に答えなさい。ただし,円周率はπを用いなさい。

【1】辺EFを軸として,2点A,Bが平面P上の点となるように,90°まわす。
【2】【1】によって動いた図2の立方体の辺AEを軸として,2点D,Hが平面P上の点となるように90°まわす。
図1
Screenshot_20190812-020826.png
図2
Screenshot_20190812-021129.png
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【解答例】
(1)(4点)正答率2.6%
20101.png
【1】8π×1/4=2π
【2】8√2×1/4=2√2 π
合計(2+2√2)π cm

(2)(5点)正答率0.0%
201002.png

【1】~【2】の操作で,上図のように動く。
【1】は,DもMも,円弧の一部を描く。したがって,
DMが縦の長さ,Dが作る弧が横の長さの長方形となるので,面積は,2×2√2 π=4√2 π

【2】は,赤い(網掛け)部分の面積が同じなので,結局おうぎ形の面積を求めればよい。
線分AMによるおうぎ形の面積
AM=√(16+4)=2√5 cm
2√5×2√5×π*1/4=5π

線分ADによるおうぎ形の面積
4×4×π×1/4=4π
5π-4π=π

合計面積は,(1+4√2)π cm^2

【コメント1】
 何故こんな正答率になってしまったのか。(本番思いつけるかは別にして)(1)は基礎的な問題である。(2)も,0.0%の問題には見えない。それは,2010年度の北海道公立高校入試数学,全体に問題があった。
問題のURL:
http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/H22gakuryoku/h22suu_sai.pdf

【コメント2】標準問題部分からかなり難解
 北海道では,2009年度~2021年度まで「学校裁量問題」というのを導入している。難関校では,差を付けやすくするために,大問1の簡単な問題(15~21点)を,今回紹介したような問題と差し替えるという制度である。
 2010年度は裁量問題以外も難しかったのである。大問2の方程式の文章題は良い感じに捻られているし,何より,図形の証明問題の捻り具合が完璧である(垂直を証明しろと言う,中々見ない問題)。普通なら楽々解けるはずであった問題が難しく,この裁量問題までたどり着いた受験生がそもそも少なかったであろうと予測できる。
現に道コン(北海道大手模試)の追跡調査による平均点は27点程度(45%)であった。「高いじゃん。」と思われるかもしれないが,裁量問題は,当時上位高しか採用していない,更に道コン追跡に協力するような人は比較的上位層である。全体合わせたら大変なことになってそうだ。(教育委員会が発表している資料は見つかりませんでした。すいません。)

これ以降反省したのか,ここまで難しい数学の入試は作られておりません,(片鱗が見られたのは,2018年度。)
2019年度は,大変易しすぎる問題が出題されました。2020年度はどうなるでしょう。
裁量問題が廃止され,応用問題とかいう訳分からないものになる2022年度からはどうなるでしょう。
いずれにせよ,受験生の実力,勉強した証がしっかり反映されるものであって欲しいですね。難しすぎても,易しすぎても,公平な入試とは言えません。
全受験生が納得する入試を作るのは難しいのですがね。
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