不定方程式（ax+by=c）は係数を小さく【2018年度センター試験数学1A】高校入試　数学　良問・難問

不定方程式（ax+by=c）は係数を小さく【2018年度センター試験数学1A】

2019/08/07

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不定方程式，3x＋2y=1は，整数に限っても，満たす（x,y）は無数にあります。

高校入試でも簡単なものは出題され，大学入試でも主にセンター試験でよく見かける問題です。

今回は，2018年度センター試験数学IAを用いて，「係数を小さくして解を見つけやすくする」方法を学んでいきましょう。ごくたまに高校入試でも役に立ちます。たぶん。

気分的な大学入試1
出典：2018年度センター試験IA　第4問　整数

（1）144を素因数分解すると，
144=2^【ア】×【イ】^【ウ】
であり，144の正の約数の個数は【　エオ　】個である。

（2）不定方程式は
144x-7y=1
の整数解x，yの中で，xの絶対値が最小になるのは
x=【　カ　】，y=【　キク　】　
　であり，すべての整数解は，kを整数として
x=【　ケ　】k+【　カ　】，y＝【コサシ】k+【　キク　】　
　と表される。

（3）144の倍数で，7で割ったら余りが1となる自然数のうち，正の約数の個数が18個である最小のものは144×【　ス　】であり，正の約数の個数が30個である最小のものは144×【　セソ　】である。

＜PDF，解答例はこちら↓↓＞

PDF
2018center1a_kai1.pdf

【解答】
ア，イ，ウ 4，3，2 3
エオ 15 3
カ 2 2
キク 41 2
ケ 7 2
コサシ 144 2
ス 2 3
セソ 23 3

【解説】
（1）
144＝122＝(22×3)2＝24×32
144の正の約数は，2m×3nの（m, n）を変えることによって得られる。（m＝0，1，2，3，4　n＝0，1，2）
（m，n）の選び方は，5×3＝15通り。

（2）
【Point】
不定方程式の係数が大きかったら，係数を小さくして考える！
144x-7y=1は，7(20x-y)+4x=1と変形できる。これを満たす（x, y）のうち，xの絶対値が最小にになるものは，
x=2，y=41
144x-7y=1…①
144∙2-7∙41=1…②
①－②より，144(x-2)-7(y-41)=0
144(x-2)=7(y-41)
x－2と，y－41は互いに素だから，
x－2は7の倍数，y－41は144の倍数なので，kを整数とし，x-2=7k　y-41=144k
x=7k+2　y=144k+41

（3）
＜解法1＞～誘導にしっかり乗る～
144xは7で割ったら1余るので，144x＝7y＋1と表せる。よって，（2）より，x＝7k＋2
正の約数を18個にするためには，144＝24×32に，2か3いずれか1つをかければ良い。
k＝0のとき，x＝2　最小の整数は2。

144xの正の約数を30個にするには，
「2か3以外の素数をかける。」または
「2と3の指数（m, n）を（5, 4）か（4, 5）か（9, 2）にする。（つまり，18か，27か，32をかける。）」
である。
18，27，32はいずれも7k＋2を満たさない。よって，2か3以外の素数をかければ良い。最小の素数は，
k＝3のとき，7×3＋2＝23となる。　

＜解法2＞～誘導に乗れなかった場合～
144≡4　（mod7）より，
288≡8≡1　（mod7）　2をかければ，正の約数の個数が18個である最小のものとなる。

　正の約数を30個とするためには，24×32に，
「2か3以外の素数をかける。」または
「2と3の指数（m, n）を（5, 4）か（4, 5）か（9, 2）にする。（つまり，18か，27か，32をかける。）」
である。
144×2≡4×2≡1（mod7）より，
mod7で2と合同な整数のうち，条件を満たす最小の数は，23。

【コメント】
　中学生でも参考になるのは（1）（2）ですね。特に，不定方程式において，係数を小さくする方法は，全人類覚えておくべきです。何よりも理解しやすいですからね。
　（3）は誘導に上手く乗れば余裕です。ただ気づけるかどうかですね。割と露骨ですが，気づかない場合はmodで無理やりやりましょう。こういうときにmodは大変役に立ちます。

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