【正答率0.4％】配点不適切な関数（2012年度埼玉県）高校入試　数学　良問・難問

【正答率0.4％】配点不適切な関数（2012年度埼玉県）

2019/08/07

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今回から，入試問題としては大失敗な問題も紹介していきます。

今回の問題は，問題自体は良い問題ですが，配点，出題方法は最悪です。

ちなみに，2020年に都立西高校が問1をパクりましたが，埼玉の問題文をそのままコピペしたせいで，不要な問題文があります，(笑)

配点不適切な関数
出典：2012年度　埼玉県高校入試　大問3
難易度：★★★★★☆
総試験時間：50分配点：11点/100点

　下の図で，曲線は関数y＝ax＾2（aは正の定数）グラフであり，曲線上に，x座標がそれぞれ－5，5の点A，Bをとります。点Aを通り傾きがこの曲線の式の係数と同じaである直線と，この曲線との交点をDとします。点Bから直線ADへ垂線をひいたときの交点をCとしたとき，点Cのx座標は正であり，△ABCの面積が20 cm＾2となりました。次の問いに答えなさい。ただし，座標軸の単位の長さを1 cmとします。

（1）aの値を求めなさい。（5点）
（2）線分CDの長さを求めなさい。（6点）

＜PDF，解答例はこちら↓↓＞

PDF
2012saitama_hen1.pdf

【コメント1】
　正答率0.4％，埼玉県議会でも議題となった問題らしいです。「おもしろ問題」としては良いですが，「入試問題」としては最悪です。（1）が解けないと（2）が解けないのに，（1）の方が大分難しい，配点が低いというバランス，おかしい。

【解答例】

（1）（5点）
＜発想＞
三角形の面積は，底辺×高さ÷2で求められる。△ABCの面積は，AB×高さ÷2で普通は求めることから，Cから垂線CHを下ろす。すると，CHの長さがすぐ分かり，∠C＝90°だから，相似な三角形を利用できる。
AB＝10 cmだから，点Cから辺ABに垂線CHを下ろすと，CH＝4 cmとなる。
△AHC∽△CHBより，AH：HC＝CH：HB
AH＝xと置くと，x：4＝4：（10－x）
x(10-x)=16　x^2-10x+16=0　(x-8)(x-2)=0
図より，AH＞5だから，x＝8
a=yの増加量/xの増加量=CH/AH=4/8=1/2

（2）（6点）
直線ADは，傾き1/2で，点Aを通るから，
AD：y=1/2 x+15　すると，C（3,33/2）
y=1/2 x+15と，y=1/2 x^2 を連立した方程式を解いて，
x=-5，6　D（6, 18）（※）
CD=√((6-3)^2+(36/2-33/2)^2 )=√(9+9/4)=√(45/4)
=(3√5)/2 cm

（※）
y=ax^2上に，B（b,ab^2），C（c,ac^2）を取ります。このとき，直線BCの傾きは，
yの増加量/xの増加量＝(ab^2-ac^2)/(b-c)=a(b+c)(b-c)/(b-c)=a(b+c)
であることを利用して，点Dのx座標をpとし，
1/2 (-5+p)=1/2　p=6　としてもよい。

【コメント2】
　（1）の最初の関門は，CHを引けるかにかかっています。まあこの補助線は比較的思いつきやすいでしょう。問題はその後，上手く相似を使えるかです。無理やりaを使って直線の式とかC，Dの座標を出そうとすると，泥沼にはまります。
　正答率0.4％らしいですが，入試としては大失敗ですね。y＝ax2のグラフ問題が解けなくても，高校に受かってしまいます。しかも（1）解けたら（2）は余裕なので，大いにこの問題だけで差がついてしまいます。どこかのネットで「解けるか解けないか見極めるべき問題。ハイセンス。」とかほざいている奴いましたが，こういう奴が酷い入試問題作るのでしょうね。見極め問題出すなら，もう少し配点は控えめにすべきです。
　まあ問題自体は面白いですが。（後で都立西でもパクられているし）

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