(2021年度灘高校)正十二面体

2021/12/04
カテゴリ:@ 空間図形

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2011年度渋幕の正四面体展開図の問題のように,時間があればGeogebraで遊んでみると良い問題です。

よくある問題ですが,灘が出すとインパクト大きいですね。良問です。The私立って感じの問題ですが,余裕ある公立TOP校志望にも解いてみると良いです。入試に出なくても,高校で何らかのアドバンテージ。

正五角形の一辺の長さが1+√5と与えられていますが,どうしてこうなるか知らない方は「正五角形 一辺の長さ」とでも検索してみてください。意外に中学生は知らないかも。問題文を見る限り灘では常識みたいですね。

芸術的な難問高校入試 第67回
「正十二面体」
出典:令和3年度 灘 高校入試 過去問
範囲:空間図形 難易度:★★★★★★,美しさ:★★★★★☆
<問題>
2021 灘高校 数学 空間図形 正十二面体 難問 良問


<PDF,解答例はこちら↓↓>



<PDF>※A5サイズです
・Seesaaサーバー

<解答例>
2021 灘高校 数学 空間図形 正十二面体 難問 良問

2021 灘高校 数学 空間図形 正十二面体 難問 良問


<コメント>
とてもとても難関私立ぽい問題です。灘はともかく,普通に生きている中高生は,こんな空間図形を見ただけで逃げると思われます。実は見掛け倒しな問題です。普通の公立高校受けるような子でも解いてみてほしい問題。(1)の論証は少し書くの難しいかもだけど,恐らくそれなりに書けてあれば(計算式が書けてあれば)〇だと思われます。

なお,解答例では正十二面体を描いていますが,本番の試験で描くとおぞましく時間かかるので,立体OT-ABCDの部分だけ書いておけば良いです。

日頃からGeogebraで遊んでいると,このような問題も楽しいです。この問題の図も↓で作りましたので,遊んでみてください。特に,上から見るとどうなるか,横から見るとどうなるか,こういうので遊んでおくと,空間図形得意になるかもしれません。

Geogebrahttps://www.geogebra.org/m/qwawgagx

とは言っても,大半の中高生はこんなので遊んでいる時間ありませんよね。でもどうせ昨今の学生はスマホ依存なので(注意:子供に限らない,大人も高齢者もスマホ依存である!恐ろしい!)依存するぐらいならこういうので遊んでみてください,スマホ弄っていて親に怒られても「空間図形の勉強しているの!」でごまかせます。たぶん。

なお,この問題は有名な「正十二面体の体積を求める」の途中部分です。問題では正方形ABCDができていますが,この正方形の他に5つ,合計6つの正方形ができます。その正方形を組み合わせると立方体ができるので,正十二面体は,立体OT-ABCD×6+立方体の体積で求めることができますね。今回の1辺が2の正十二面体の場合は,

6×(7/3+√5)+(1+√5)^3=14+6√5+16+8√5=30+14√5

となります。詳しくは,手元のスマホなりタブレットなりで「正十二面体」とでも検索してみてください。

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