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円錐の軌跡の良問（2019年度立川高校）

2020/08/30

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空間図形の良問です。平成31年度入試の立川高校。

円錐という題材だけで，様々な方向から知識を問うています。

特に，問1，2は中3図形の知識がほとんど必要ないので，範囲が大幅削除された今年度の入試でも大いに有効活用できます。

一度解いておいて損はない！？

※（PDFは下のmoreをクリックすると表示されます）

第30回芸術的な難問高校入試
「円錐の軌跡の良問」
出典：2019年度　東京都立　立川高校　過去問（独自作成校）
URL：http://www.tachikawa-h.metro.tokyo.jp/zen/06005.html
※以前は平成19年度まであったけど，消されちゃいましたね......まあ仕方ないか。

図1は，底面の半径がr cm，母線の長さが a cmの円すいを，頂点Oを中心として，側面が平面上をすべらないように出発地点Aから転がす様子を表している。次の各間に答えよ。

図1

問1　
図1において，出発地点Aから転がり始めた円すいが，頂点Oのまわりをちょうどm周し，円すいがちょうどn回転したところで,出発地点Aに止まった。ただし，m，nは自然数とする。これを満たすrとaの値の組を，次の①～⑤から全て選び，番号で答えよ。
①，r＝3，a＝8 　　　 ②，r＝2.5，a＝7.6
③，r＝2，a＝2√5 ④，r＝√2，a＝3√2
⑤，r＝1，a＝2π

問2　
図2は，図1において，r=1，a=√2の場合を表している。円すいが，頂点0のまわりをちょうど1周する間に，円すいの底面の円周が通過してできる曲面の面積は何cm2か。

図2

問3
図3に示した立体は,底面の半径がl cm，母線の長さが4 cmの円すいVと，底面の半径がl cm，母線の長さが3 cmの円すいWの2つの円すいの底面をぴったり貼り合わせてできた立体である。　　
図4は，図3に示した立体を，円すいVの頂点Oを中心として，円すいVの側面が平面上をすべらないように転がす様子を表している。この立体が，頂点Oのまわりをちょうど1周する間に，円すいWの頂点Pが描く曲線の長さは何cmか。ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

図3

図4

解答例等はコチラ↓

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＜PDF＞

.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/1gX2mWUJFk5T-sTR2YutQaE4P_17M3Yoy/view?usp=sharing

＜解答例＞

問1（7点）
円錐がm周すると，頂点Oの周りを，
2πa×m=2πam
動き，n回転すると，底面の円は
2πr×n=2πrn
動く。
2πam=2πrn　とすると，a/r=m/n　右辺は有理数。
よって，a/r も，有理数となればよいので，①，②，④

問2（7点）
図のように，Aを通る直径を引き，円との交点をBとする。AB＝2，OA＝OB＝√2なので，△OABは∠O＝90°直角二等辺三角形である。したがって，△OABを1回転させると，円錐となる。

しかし，今回は円周が動いてできる図形である。点Oから円周上までの長さは，どこも母線長さ＝√2 cmなので，円周が動いてできる立体は半球となる。
したがって，求める面積は，半球の側面積だから，
4π×(√2)^2×1/2=4π cm^2

問3（10点）
円すいの底面上に，2点Q，RをQRが円の直径となるようにとる。O，P，Q，Rを結んだ四角形を，以下のように長方形で囲む。

頂点Pが動く曲線は，上の図で，半径をOSとする円周となる。
QX＝√15 だから，△OQX∽△UPTより，
TU=1/√15×1=1/√15
するとQUの長さは，QT＝2√2なので，
QU=2√2-1/√15　
△OQX∽△UQSだから，
QS=√15 (2√2-1/√15)×1/4=(2√30-1)/4
よって，OSの長さは
OS=4+(2√30-1)/4=(2√30+15)/4
求める曲線の長さは，
2π×(2√30+15)/4=(√30+15/2)π cm

＜コメント＞

問1は図形問題の顔した数式問題（整数問題？），問2は発想と勘が試される非常に素晴らしい問題です。円すいがくるくるする問題はよく見ますが，まさか半球を考えさせるなんて思わないでしょう。こういう問題なら，範囲が大幅削除された入試でも使える良い問題ですね。1度やっておいて損はない！？

問3は都立独自校でありがちな問題です。回答欄に図を描いて，少しでも部分点貰っておきましょう。数字が汚いので不安になりますね。

とにかく，一つの大問で，円錐だけでようまあ色んな問い方が出来るなと感心します。

※試験的に，画像で解答例を貼付......。