円錐の軌跡の良問(2019年度立川高校)

2020/08/30

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空間図形の良問です。平成31年度入試の立川高校。

円錐という題材だけで,様々な方向から知識を問うています。

特に,問1,2は中3図形の知識がほとんど必要ないので,範囲が大幅削除された今年度の入試でも大いに有効活用できます。

一度解いておいて損はない!?

※(PDFは下のmoreをクリックすると表示されます)

第30回芸術的な難問高校入試
「円錐の軌跡の良問」
出典:2019年度 東京都立 立川高校 過去問(独自作成校)
URL:http://www.tachikawa-h.metro.tokyo.jp/zen/06005.html
※以前は平成19年度まであったけど,消されちゃいましたね......まあ仕方ないか。

図1は,底面の半径がr cm,母線の長さが a cmの円すいを,頂点Oを中心として,側面が平面上をすべらないように出発地点Aから転がす様子を表している。次の各間に答えよ。

図1
スライド1

問1 
図1において,出発地点Aから転がり始めた円すいが,頂点Oのまわりをちょうどm周し,円すいがちょうどn回転したところで,出発地点Aに止まった。ただし,m,nは自然数とする。これを満たすrとaの値の組を,次の①~⑤から全て選び,番号で答えよ。
①,r=3,a=8     ②,r=2.5,a=7.6
③,r=2,a=2√5 ④,r=√2,a=3√2
⑤,r=1,a=2π

問2 
図2は,図1に おいて,r=1,a=√2の場合を表している。円すいが,頂点0のまわりをちょうど1周する間に,円すいの底面の円周が通過してできる曲面の面積は何cm2か。

図2
スライド2

問3
図3に示した立体は,底面の半径がl cm,母線の長さが4 cmの円すいVと,底面の半径がl cm,母線の長さが3 cmの円すいWの2つの円すいの底面をぴったり貼り合わせてできた立体である。  
図4は,図3に示した立体を,円すいVの頂点Oを中心として,円すいVの側面が平面上をすべらないように転がす様子を表している。この立体が,頂点Oのまわりをちょうど1周する間に,円すいWの頂点Pが描く曲線の長さは何cmか。ただし,答えだけでなく,答えを求める過程が分かるように,途中の式や計算なども書け。

図3
2019tachikawa.jpg
図4
スライド3


解答例等はコチラ↓



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<PDF>

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1gX2mWUJFk5T-sTR2YutQaE4P_17M3Yoy/view?usp=sharing

<解答例>

問1(7点)

円錐がm周すると,頂点Oの周りを,
2πa×m=2πam
動き,n回転すると,底面の円は
2πr×n=2πrn
動く。
2πam=2πrn とすると,a/r=m/n 右辺は有理数。
よって,a/r も,有理数となればよいので,①,②,④

問2(7点)
図のように,Aを通る直径を引き,円との交点をBとする。AB=2,OA=OB=√2なので,△OABは∠O=90°直角二等辺三角形である。したがって,△OABを1回転させると,円錐となる。
Screenshot_20200830-182212.jpg

しかし,今回は円周が動いてできる図形である。点Oから円周上までの長さは,どこも母線長さ=√2 cmなので,円周が動いてできる立体は半球となる。
したがって,求める面積は,半球の側面積だから,
4π×(√2)^2×1/2=4π cm^2

問3(10点)
円すいの底面上に,2点Q,RをQRが円の直径となるようにとる。O,P,Q,Rを結んだ四角形を,以下のように長方形で囲む。
Screenshot_20200830-183501.jpg

頂点Pが動く曲線は,上の図で,半径をOSとする円周となる。
QX=√15 だから,△OQX∽△UPTより,
TU=1/√15×1=1/√15
するとQUの長さは,QT=2√2なので,
QU=2√2-1/√15 
△OQX∽△UQSだから,
QS=√15 (2√2-1/√15)×1/4=(2√30-1)/4
よって,OSの長さは
OS=4+(2√30-1)/4=(2√30+15)/4
求める曲線の長さは,
2π×(2√30+15)/4=(√30+15/2)π cm


<コメント>

問1は図形問題の顔した数式問題(整数問題?),問2は発想と勘が試される非常に素晴らしい問題です。円すいがくるくるする問題はよく見ますが,まさか半球を考えさせるなんて思わないでしょう。こういう問題なら,範囲が大幅削除された入試でも使える良い問題ですね。1度やっておいて損はない!?

問3は都立独自校でありがちな問題です。回答欄に図を描いて,少しでも部分点貰っておきましょう。数字が汚いので不安になりますね。

とにかく,一つの大問で,円錐だけでようまあ色んな問い方が出来るなと感心します。

※試験的に,画像で解答例を貼付......。
kaitorei.png


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