立体線分比と軌跡(オリジナル)

2020/08/24

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「中1でも解ける空間図形」と題して可能な限り問題を集めたり作ったりしていますが,よくよく考えたら,北海道は元から立体図形の出題が少ないですね。問題作るの大変なんでしょうね。


今回は,私が作成した平成30年度の予想問題から抜粋。自分で作っておいて自分で好きな問題です。

~その予想問題~

https://hokkaimath.jp/blog-entry-47.html

(2)なら,ギリギリ相似以降カットの入試でも解けなくもない......?

立体線分比
範囲:中3図形,平方根 難易度:★★★★☆


1辺が6 cmの立方体ABCD-EFGHがあります。線分EF上に,PQ=2x cmとなる点P,QF=x cmとなる点Qを取ります。点Qを通り,正方形BCGFと平行な平面と,辺PB,辺PG,辺PCとの交点をそれぞれ点I,点J,点Kとします。次の問いに答えなさい。

rittai.png


(1)立方体ABCD-EFGHの体積Vが,立体QIKJ-FBCGの体積Wの5倍となるとき,xの値を求めなさい。

(2)xを0≦x≦2の変域で変化させます。このとき,線分DKが動いてできる図形の面積を求めなさい。ただし,x=0のとき,点Kは,正方形BCGFの内部にあり,CK:KF=1:2となる位置にあるとします。

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<PDF>

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/14dHQd_H-I5Ad6pUBbA32G4pGn67EL3hb/view?usp=sharing

<解答例>

(1)(5点)
体積比,立体P-QIKJ:立体P-FBCG
=(2x)^3:(3x)^3=8x^3:27x^3=8:27なので,【1点】
W:立体P-FBCG=19:27 【1点】
V=S×6と表すと,
立体P-FBCG
=S×3x×1/3=Sx よって,W=19/27 Sx 【1点】
5W=Vだから,
95/27 x=6【1点】 x=162/95 【1点】

(2)(3点)
長方形EFCDを考える。
常にKは,CK:KP=x:2x=1:2を維持しながら動く。よって,以下のように動く。
底辺2 cm,高さは
6√2×1/3=2√2 cmなので,求める面積は,
1/2×2×2√2=2√2 cm^2
rittaikisekikaitou.png


いかに立体を平面(2次元)で考えるかがポイント!
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