立体線分比と軌跡（オリジナル）高校入試　数学　良問・難問

立体線分比と軌跡（オリジナル）

2020/08/24

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「中1でも解ける空間図形」と題して可能な限り問題を集めたり作ったりしていますが，よくよく考えたら，北海道は元から立体図形の出題が少ないですね。問題作るの大変なんでしょうね。

今回は，私が作成した平成30年度の予想問題から抜粋。自分で作っておいて自分で好きな問題です。

～その予想問題～
https://hokkaimath.jp/blog-entry-47.html

（2）なら，ギリギリ相似以降カットの入試でも解けなくもない......？

立体線分比
範囲：中3図形，平方根　難易度：★★★★☆

1辺が6 cmの立方体ABCD-EFGHがあります。線分EF上に，PQ＝2x cmとなる点P，QF＝x cmとなる点Qを取ります。点Qを通り，正方形BCGFと平行な平面と，辺PB，辺PG，辺PCとの交点をそれぞれ点I，点J，点Kとします。次の問いに答えなさい。

（1）立方体ABCD-EFGHの体積Vが，立体QIKJ-FBCGの体積Wの5倍となるとき，xの値を求めなさい。

（2）xを0≦x≦2の変域で変化させます。このとき，線分DKが動いてできる図形の面積を求めなさい。ただし，x＝0のとき，点Kは，正方形BCGFの内部にあり，CK：KF＝1：2となる位置にあるとします。

PDFはmoreをクリック！

＜PDF＞

.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/14dHQd_H-I5Ad6pUBbA32G4pGn67EL3hb/view?usp=sharing

＜解答例＞
（1）（5点）
体積比，立体P-QIKJ：立体P-FBCG
=(2x)^3:(3x)^3=8x^3:27x^3=8:27なので，【1点】
W：立体P-FBCG＝19：27　【1点】
V＝S×6と表すと，
立体P-FBCG
=S×3x×1/3=Sx　よって，W=19/27 Sx　【1点】
5W=Vだから，
95/27 x=6【1点】　x=162/95 【1点】

（2）（3点）
長方形EFCDを考える。
常にKは，CK：KP＝x：2x＝1：2を維持しながら動く。よって，以下のように動く。
底辺2 cm，高さは
6√2×1/3=2√2 cmなので，求める面積は，
1/2×2×2√2=2√2 cm^2