塩と不定方程式(2014年度札幌第一高校)

2020/07/07

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google解析で検索ワードを見たら「連立方程式 難問」で検索して訪問されてる方がいました。ごめんなさい,連立方程式の難問は無かったですね。

また来てくれるか分かりませんが,今回は札幌の私立高校の連立方程式,不定方程式の難問を紹介します。

中学生には少し難しい不定方程式です。(でも札幌市中央区の定期テストには平気で出題されてるらしい。怖いね,文教地区。)

連立方程式の方も,結構良い捻り方されています。塩分問題としてgood。食塩水の良問です。

※ちなみによく”塩分濃度”という誤用がありますね。「分」に,濃度の意味は含まれているので,「塩分濃度」だと意味が重なってしまいます!ただ,そのうち広辞苑に「こちらも可」と載りそうな勢いですが......。

第28回芸術的な難問高校入試
「塩と不定方程式」
出典:2014年度 札幌第一高校 過去問
過去問:https://school.js88.com/scl_h/22052640?page=9
範囲:連立方程式,不定方程式,塩分
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★☆☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1oO25kkaNJRFXCndKouHjFZfXjINIzbBG/view?usp=sharing

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<検索用>

次の空欄に当てはまる数値を求めなさい。

 A,B,2種類のビーカーがそれぞれ10個ずつあり,Aのビーカーには4%食塩水が50 cc,Bのビーカーには12%食塩水が50 cc入っている。
 Aのビーカーを【 ア 】個とBのビーカーを【 イ 】個混ぜ合わせると8%食塩水が600 ccできる。また,真水を加えてもよいとすると,8%食塩水600 ccの作り方は【 ウ 】通りあり,この中で真水を最も多く加えるのは,Aのビーカーを【 エ 】個とBのビーカーを【 オ 】個混ぜ合わせたときである。ただし,混ぜ合わせに用いたビーカーの食塩水はすべて使用し,1種類のビーカーだけを用いて作ってもよいものとする。
【解答例】

Aをx個,Bをy個使うとする。

【ア】【イ】(各2点)
Aがx個で合計50x cc,Bがy個で合計50y ccであるから,50x+50y=600 すなわちx+y=12⋯①
Aの4%食塩水50 ccには,塩は2 cc,
Bの12%食塩水50 ccには,塩は6 cc入っているから,
(2x+6y)/600=8/100 すなわち2x+6y=48⋯②
①,②を連立した方程式を解いて,x=6,y=6
【ア】6【イ】6

【ウ】(4点)
8%食塩水600 ccには,塩は48 g入っているから,
2x+6y=48 これを満たす自然数(x, y)の組を考えればよい。yについて解くと,
y=8-x/3 これを満たす自然数xは,0,3,6,9の4通り
したがって,              【ウ】4

【エ】【オ】(各2点)
真水を最も多く加えるには,食塩水の量は少なければいいので,x+yが小さい(x, y)=(0, 8)とすればよい。
【エ】0【オ】8

【コメント】
 札幌の最近はめちゃんこ頑張っている私立,札幌第一高校の過去問です。
 【ア】【イ】は,ビーカーをたくさん使うという,ちょっと工夫された問題。しかし,結局左記のように,教科書などで基本を理解していれば解ける問題。……塩分問題自体が結構難しめですが。あんまり数学でやる必要あるか?という感じではあります。
 【ウ】が非常に良い問題です。「塩の量のみに注目するか」これができるかどうかです,結構難しい。気づけても,中学生には難しい不定方程式。さらなる難関として,x=0を忘れないというものがあります。
 【エ】【オ】は出題意図が少しわかりません。【ウ】が分かれば余裕です。配点も?なので,芸術度を-1して4としておきました。
 【ア】【イ】は解けて当たり前にし,【ウ】のような考え方を理解しておきましょう。


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