どの三角形の合同を証明すべきか(2017年度北海道)

2020/07/04

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このブログは「図がシンプルだけど結構キツイ問題」を紹介する目的で最初は作りました。

だんだん色々な問題を紹介するようになりましたが。

今回は,初心に戻って,非常に図がシンプルだけど,何かキツイ問題です。北海道は,図がシンプルで,証明の書く量もそこまで多くないですが,何か難しい!




第27回芸術的な難問高校入試
「どの三角形」
出典:2017年度 北海道
過去問:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/h30gakuryoku.html
範囲:証明
難易度:★★★☆☆☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1d7vT38nAC-SGOtnsuRmYbXtx2sLX8x-e/view?usp=sharing

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下の図のように,頂点Aが共通な2つの△ABCと△ADEがあり,点C,A,Dは一直線上にあります。AB=AC,AD=AE,∠ACB=∠ADEとします。
次の問いに答えなさい。

問1 BC=4 cm,CD=14 cm,DE=3 cmのとき,辺ACの長さを求めなさい。

問2  BD=CEを証明しなさい。

【解答例】
問1(3点)
△ACB∽△ADEなので,AC=xとすると,
AC:AD=CB:DE
x∶(14-x)=4:3
56-4x=3x 7x=56 x=8 8 cm

問2(5点)

△ABDと△ACEにおいて,
仮定より AB=AC,AD=AE…①
△ABCと△ADEは底角が二等辺三角形なので,頂角が等しくなるから,∠BAC=∠DAE…②
(∠BAD=180°-∠BAC
∠CAE=180°-∠DAE)
よって∠BAD=∠CAE…③
①,③より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから,△ABD≡△ACE…④
したがって,BD=CE
①,②,③,④ 部分点各1点
( )内は書かなくても良い。

【コメント】
 まず図が非常にシンプルですね。ここまでシンプルな入試問題中々ないでしょう。
 次に,問題文の短さ。短くしたい趣味でもあるのでしょうかね。
 難易度調整も見事です。日頃から自分に図で条件を書き込める人は「△ABEと△ACE」だと気づけます。後は超簡単。書かない人アウト。ただ,この問題の場合,何を血迷ったのか「△DECと△CBD」など,最初に証明する三角形を間違えてしまうと泥沼にはまります。実際にいます。入試ですから。
 頂角が等しいと簡潔に書けるか。書けなかったら,長々書けばいいだけですが。

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